反函数复合函数隐函数初等函数PPT学习教案

1、会计学1反函数复合函数隐函数初等函数反函数复合函数隐函数初等函数0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o习惯上仍将反函数习惯上仍将反函数)(yx 记为记为);()(1xfxy 第1页/共41页)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(1xfy 反反函函数数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 在同一个坐标平面内在同一个坐标平面内, , 直接函数直接函数)(xfy 和反和反函数函数的图形关于直线的图形关于直线xy是对称的是对称的. .)()(1xfxy第2页/共41页定理（反函数存在定理）：定

2、理（反函数存在定理）：单调函数单调函数 f 必存在单调必存在单调的反函数的反函数 ，且此反函数与，且此反函数与 f 具有相同的单调性具有相同的单调性.)(),(11xffxxffx牢记反函数的下列关系式牢记反函数的下列关系式例如例如 ：sinx arcsinx； cosx arccosx； tanx arctanx； cotx arccotx；第3页/共41页例例1求函数求函数114114xyx 的反函数的反函数. .解解令令14 ,zx则则1,1zyz 故故1,1yzy 即即114,1yxy 解得解得2211()1,4 1(1)yyxyy 改变变量的记号改变变量的记号, , 即得到所求反函数

3、即得到所求反函数: :2.(1)xyx 第4页/共41页例例2 已知已知1,0sgn0,01,0 xxxx (符号函数符号函数)求求2(1)sgnyxx的反函数的反函数. .解解由题设由题设, , 易得易得2221,(1)sgn0,(1),xyxxx 0 x 0 x 0 x 第5页/共41页解解2221,(1)sgn0,(1),xyxxx 0 x 0 x 0 x 第6页/共41页解解2221,(1)sgn0,(1),xyxxx 0 x 0 x 0 x 1,0,(1),yxy 1y 0y 1y 所以反函数为所以反函数为1,0,(1),xyx 1x 0 x 1x . .第7页/共41页复合函数复合

4、函数引例引例 设设,uy 21xu .12xy 定义定义 设函数设函数的定义域为的定义域为)(ufy ,fD而函数而函数的值域为的值域为)(xu , R若若, RDf则称函数则称函数为为 的的复合函数复合函数. .)(xfy x注注: :其中其中自变量自变量, ,x中间变量中间变量, ,u因变量因变量y， f(1) f函数函数与函数与函数 构成的复合函数构成的复合函数即即).()(xfxf 通常记为(2)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函不是任何两个函数都可以复合成一个复合函第8页/共41页复合函数复合函数(2)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函不是任何两个函数都可以复合成一个复合函例

5、如例如,arcsinuy .22xu 因前者定义域为因前者定义域为,1 , 1 而后者而后者, 222 xu故此两函数不能复故此两函数不能复合成复合函数合成复合函数. .数的数的. .(3)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构复合函数可以由两个以上的函数经过复合构例如例如:2cotxy ,uy ,cot u.2x 成的成的. .第9页/共41页例例3设设( )arctan ,yf uu1( ),utt 2( )1,txx 求求 ( ).fx 解解 ( )arctanfxu 21arctan.1x 1arctant 第10页/共41页例例4 将下列函数分解成基本初等函数的复合将下列函数分解成基

6、本初等函数的复合: :2(1)lnsin;yx 2arctan(2);xye 22(3)cos ln(21).yx解解(1)2lnsinyx 是由是由,yu ln ,uv 2,vw sinwx 四个函数四个函数(2)2arctan xye 是由是由三个函数三个函数复合而成复合而成;复合而成复合而成;,uey ,arctanvu 2xv )3(是由是由)12ln(cos22xy 第11页/共41页例例4 将下列函数分解成基本初等函数的复合将下列函数分解成基本初等函数的复合: :22(3)cos ln(21).yx解解(2)2arctan xye 是由是由三个函数三个函数复合而成复合而成;,ney

7、 ,arctanvu 2xv )3(是由是由)12ln(cos22xy 第12页/共41页例例4 将下列函数分解成基本初等函数的复合将下列函数分解成基本初等函数的复合: :22(3)cos ln(21).yx解解(2)2arctan xye 是由是由三个函数三个函数复合而成复合而成;,ney ,arctanvu 2xv )3(是由是由)12ln(cos22xy 六个函数复合在而成六个函数复合在而成. .,2uy ,cosvu ,lnwv ,2tw ,ht 21xh 第13页/共41页分段函数的复合运算分段函数的复合运算例例5设设,1( ),1xexf xx x 22,0( ),1,0 xxxx

8、x 求求 ( ).fx 解解(), ( )1 ( )( ), ( )1xexfxxx (1)当当( )1x 时时, ,( )21xx 1,x 或或0,x 2( )11xx 02;x或或0,x 第14页/共41页解解(1)当当( )1x 时时, ,( )21xx 1,x 或或0,x 2( )11xx 02;x或或0,x 第15页/共41页解解(1)当当( )1x 时时, ,( )21xx 1,x 或或0,x 2( )11xx 02;x或或0,x (2)当当( )1x 时时, ,( )21xx 10,x 或或0,x 2( )11xx 2.x 或或0,x 所以所以10 x 02x2x 1x .)(x

9、f ,2 xe, 2 x,12 xe, 12 x第16页/共41页隐函数隐函数当函数的因变量与自变量的对应关系是由方程当函数的因变量与自变量的对应关系是由方程则称此函数为则称此函数为隐函数隐函数. .所确定，所确定，0),( yxF它的确切含义是对任意的它的确切含义是对任意的x,由方程由方程只能唯一计算出一个只能唯一计算出一个y与之对应。与之对应。当函数用数学式子当函数用数学式子y=f(x)这种形式给出时，它明这种形式给出时，它明确给出因变量与自变量的对应关系，这是常见确给出因变量与自变量的对应关系，这是常见的函数形式，称为显函数。的函数形式，称为显函数。0),( yxF例如：例如：( , )

10、40 xyF x yeexy是一个隐函数是一个隐函数第17页/共41页1.1.幂函数：幂函数：2.2.指数函数：指数函数：3.3.对数函数：对数函数：4.4.三角函数：三角函数：5.5.反三角函数：反三角函数：（ 是常数）yx xya （ 是常数 , ）a0,1aa logayx （ 是常数， ）a0,1aa sin ,cos ,yx yx tan ,cotyx yxarcsin ,arccos ,yx yx arctan ,arccotyx yx四、初四、初 等等 函函 数数第18页/共41页(一)幂函数的图形 第19页/共41页第20页/共41页同一坐标系中同一坐标系中幂函数的图象幂函数的

11、图象)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 第21页/共41页(二)指数函数的图形 第22页/共41页同一坐标系中指数函数的图象同一坐标系中指数函数的图象)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( 第23页/共41页(三)对数函数的图形 第24页/共41页同一坐标系中对数函数的图象同一坐标系中对数函数的图象)1, 0(log aaxyaxyalog xya1log )1( a)0 , 1( 第25页/共41页正弦函数的图象正弦函数的图象xysin xysin(四)三角函数的图形 第26页/共41页xycos xycos余弦函数的图

12、象余弦函数的图象第27页/共41页第28页/共41页第29页/共41页(五)反三角函数的图象第30页/共41页第31页/共41页第32页/共41页第33页/共41页例如21yx2sinyx cot2xy 1sinyx 第34页/共41页符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x 0,1xyo11取整函数xy 当Znnxn,1,nxyo134212第35页/共41页若则称 f (x) 为双曲余弦.若则称 f (x) 为双曲正弦. 2)(xxeexfyxchxyoxexexych记2)(xxeexfyxhs记xyoxexexysh第36页/共41页而双曲余双曲正弦、双曲可以验证：xx

13、ychshxxxxeeee正切都是奇函数，oyx11xth称为双曲正切. 记xyth弦是偶函数. 容易验证；122xshxch它们满足下列公式：xshxchxchchxshxxsh222;22chxshyshxchyyxsh )(shxshychxchyyxch )(第37页/共41页求双曲正弦函数的反函数.,21uuy,exu 令则双曲正弦函数为由此得, 0122 yuu解得)0(, 12uyyu即, 12yyex故得),1ln(2yyx所以，双曲正弦的反函数为).1ln(2xxy2xxeey第38页/共41页且0)0(f,)()(1xcxfbxfa,ba 证明)(xf证证: 令,1xt 则,1tx t ctfbfat)()(1由xcxfbxfa)()(1xcxfbfax)()(1消去),(1xf得)0()(22xxaxbabcxf),()(xfxf显然, 0)0(f又)(xf故0 x时其中a, b, c 为