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文档简介

1、第四节多元复合函数微分法 一一. 多元复合函数求偏导多元复合函数求偏导设函数 ( , )( , )ux yvx y，在点 ( , )x y处都具有偏导数 uuvvxyxy， 与，zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy那么复合函数 ( , ),( , )zfx yx y在点x,y处的两个偏导数存在，并有求导公式:定理定理5.4.1例例5.4.1 设设 cos ,2uzev uxy vxy求 ,.zzxy解解 zzuzvxuxvxcos(sin ) 2uuev yev cos(2) 2sin(2)xyeyx yx yzzuzvyuyvycos(sin ) ( 1)uuev xev cos(2)s

2、in(2)xyexxyxy 例例5.4.2 设设 2,sin ,xzu v ue vx求 .dzdx解解 这是一个自变量这是一个自变量 x, u v两个中间变量 的复合关系，那么 z 对 x 的全导数为 dzz duz dvdxu dxv dx22cosxuv eux2(2sincos )xexx例例5.4.3 设设 22( ,),.yzzzfxyxxy求解：记 1zfu表示 对第一个中间变量的偏导数f2zfv表示 对第二个中间变量的 f偏导数 那么 121222zuvyfffxfxxxx 121212zuvfffyfyyyx一一. 隐函数求导法那么隐函数求导法那么1. 一元隐函数求导公式一元隐函数求导公式FdyxFdxy ，即 dyFxdxFy ,( )0F x f x2. 二元隐函数求导公式二元隐函数求导公式 ( , ,( , )0F x y f x yyxzzFzFzxFyF ， Fxy (图5.4.4)Fxyzxyxy(图5.4.5)例例5.4.4 设设 223dyxyxdx，求。解解 设设 23 ,Fyx2（x,y)=x那么 23,2xyFxFy所以 233222dyFxxxdxFyyy 例例5.4.5 设设 321z yxz ，求 .zzxy,解解 令令 32( , , )1,F x y zz yxz那么 232,32,xyzFzFz Fz yxz 所以

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