高等数第11章 概率论ppt课件

1、第十一章第十一章 概率论概率论11.1 随机事件的概率随机事件的概率11.2 事件的独立性事件的独立性11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布11.4 延续型随机变量延续型随机变量11.5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征11.6 运用与实际运用与实际11.7 拓展与提高拓展与提高 一 知识构造图 第十一章第十一章 概率论概率论第十一章第十一章 概率论概率论二二 教学根本要求和重点、难点教学根本要求和重点、难点第十一章第十一章 概率论概率论1. 教学根本要求教学根本要求 (1) 随机事件、古典概型、伯努里概型、条件 概率、事件的独立性的概念；(2) 随机事件之间的关系和运算；

2、古典概型的 计算；概率的加法、乘法、及全概率公式。(3) 随机变量及随机变量函数的概念，离散型 随机变量及延续型随机变量的概念分布函 数的概念；两点分布、二项分布、泊松分 布、均匀分布。第十一章第十一章 概率论概率论(4) 离散型随机变量概率分布及性质；两点分 布、二项分布、泊松分布的概率分布及性 质，利用概率分布求随机变量的概率。(5) 延续型随机变量概率密度及性质,均匀分布、 正态分布概率密度及性质。利用概率密度会 求随机变量概率。(6) 数学期望与方差的性质及计算；二项分布、 泊松分布、均匀分布、正态分布的数学期 望与方差。第十一章第十一章 概率论概率论2 教学重点与难点教学重点与难点(

3、1)(1)重点重点 掌握随机事件之间的关系和运算；古典概型 的计算；概率的加法、乘法、及全概率公式。掌握二项分布、泊松分布的概率分布及性质， 会利用概率分布求随机变量的概率。掌握均匀分布、正态分布数学期望与方差的 概念及性质。会利用概率密度会求随机变量 概率。掌握数学期望与方差的性质及计算。第十一章第十一章 概率论概率论 (2) (2)难点难点 随机事件之间的关系、运算和全概率随机事件之间的关系、运算和全概率公公式，利用二项分布求随机变量概率。式，利用二项分布求随机变量概率。11.1 随机事件的概率随机事件的概率第十一章第十一章 概率论概率论11.1.1 随机实验和随机事件随机实验和随机事件

4、客观世界中存在着各种景象，其中一类景象是在一样条件下进展的实验或察看(简称为实验)中，其能够结果不止一个，而且事先无法确定。 例如：抛硬币；灯泡寿命值抽检。例如：抛硬币；灯泡寿命值抽检。这类景象叫做随机景象。 11.1 随机事件的概率随机事件的概率 在概率论中，将具有如下两个特点的实验在概率论中，将具有如下两个特点的实验叫做随机实验叫做随机实验(简称实验简称实验)，记作，记作E。 (1) (1)可以在一样条件下反复进展可以在一样条件下反复进展, , 每次实验的每次实验的能够结果不止一个；能够结果不止一个； (2) (2)每次实验之前不能确定哪一个结果会出每次实验之前不能确定哪一个结果会出现现,

5、 , 但事先明确实验的一切能够结果。但事先明确实验的一切能够结果。11.1 随机事件的概率随机事件的概率随机事件，简称事件，用字母随机事件，简称事件，用字母A, B, C等表示。等表示。根身手件，记作根身手件，记作12，必然事件，用符号必然事件，用符号 表示。表示。不能够事件，用符号不能够事件，用符号 表示。表示。 样本空间样本空间 11.1 随机事件的概率随机事件的概率 例例 1 袋中有袋中有3个红球个红球a1,a2,a3和一个白球和一个白球b，从中每次任取两个，写出该实验的样本空间，并从中每次任取两个，写出该实验的样本空间，并指出以下事件指出以下事件A：“取出的两球中有一个是白球，取出的两

6、球中有一个是白球，B：“取出的两个球都是白球，取出的两个球都是白球，C：“取出的两取出的两球中红球数不少于一个所包含多少根身手件。球中红球数不少于一个所包含多少根身手件。 11.1 随机事件的概率随机事件的概率解：样本空间：解：样本空间： )(),(),(),(),(),(321323121bababaaaaaaa事件事件A: )(),(),(321bababa事件事件B: 该事件是不能够事件，即该事件是不能够事件，即 ；B事件事件C： )(),(),(),(),(),(321323121bababaaaaaaaC11.1 随机事件的概率随机事件的概率2. 事件间的关系与运算事件间的关系与运算

7、(1)(1)包含关系包含关系 假设事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的每一个根身手件也都属于B，那么称事件B包含事件A，记作 。AB 显然，对于任一事件A，有A11.1 随机事件的概率随机事件的概率(2)(2)相等关系相等关系 假设事件A包含事件B，事件B也包含事件A，那么称事件A与事件B相等。 即A与B中包含的根本事件完全一样, 记作A=B。11.1 随机事件的概率随机事件的概率(3)(3)和事件和事件 假设两个事件中至少有一个事件发生，那么该事件叫做事件A与B的和。和事件是由属于的一切根身手件构成的集合, 记作A+B。11.1 随机事件的概率随机事件的概率(4)(4)积事件积事件 假设

8、两个事件A与B同时发生，那么该事件叫做事件A与B的积。积事件是由既属于A又属于B的一切公共根身手件构成的集合, 记作AB。11.1 随机事件的概率随机事件的概率(5)(5)互斥关系互斥关系 假设事件A与B不能同时发生，那么称事件A与B互斥(或称互不相容), 即A与B没有公共根身手件。(6)(6)互逆关系互逆关系 假设事件A与B满足： ，那么称事件A与B 互逆(或称事件A与B对立)，记作ABAB ，AB 11.1 随机事件的概率随机事件的概率(7) (7) 差事件差事件 假设事件A发生而事件B不发生，那么该事件叫做事件A与B的差。差事件是由属于A但不属于B的那些根身手件构成的集合， 记作A-B。

9、摩根律摩根律 BABABAAB11.1 随机事件的概率随机事件的概率 例例2 从一批产品中每次取出一个产品进展从一批产品中每次取出一个产品进展检验检验(每次取出的产品不放回每次取出的产品不放回)，事件，事件Ai表示第表示第i次取到合格品次取到合格品(i =1，2，3)。试用事件。试用事件Ai(i =1，2，3)表示以下事件：表示以下事件：(1)三次都取到合格品；三次都取到合格品；(2)三次中至少有一次取到合格品；三次中至少有一次取到合格品；(3)三次中三次中恰有两次取到合格品。恰有两次取到合格品。11.1 随机事件的概率随机事件的概率解：解：(1)三次都取到合格品：三次都取到合格品： 123A

10、 A A；(2)三次中至少有一次取到合格品： 321AAA(3)三次中恰有两次取到合格品： 321321321AAAAAAAAA11.1 随机事件的概率随机事件的概率11.1.2 事件的概率事件的概率1. 频率与概率频率与概率 定义定义11.1 在在n次反复实验中，假设事件次反复实验中，假设事件A发生发生了了m次，那么把次，那么把m/n叫做事件叫做事件A发生的频率。发生的频率。11.1 随机事件的概率随机事件的概率定义定义11.2 概率的统计定义概率的统计定义 在一样条件下，反复进展n次实验，事件A发生的频率稳定在某一常数p附近。且n越大，摆动幅度越小，那么把常数p称为事件A的概率。记作 P(

11、A)。11.1 随机事件的概率随机事件的概率事件概率具有的根本性质：事件概率具有的根本性质： (1)恣意事件的概率都在0与1之间，即0( )1P A 。(2)必然事件的概率为1，即 ( )1P 。(3)不能够事件的概率为0，即 ()0P 。11.1 随机事件的概率随机事件的概率2古典概型古典概型 (1)抛掷一枚硬币，能够出现正面与反面两种结果，并且这两种结果出现的能够性一样。 (2)200个同型号产品有6个废品，从中每次抽取3个进展检验，共有 种不同的能够抽取结果，并且恣意3个产品被取到的时机一样。 3200C 这两个实验都具有两个共同的特点：这两个实验都具有两个共同的特点： (1)实验的样本

12、空间的元素只需有限个；实验的样本空间的元素只需有限个； (2)实验中每个根身手件发生的能够性一样。实验中每个根身手件发生的能够性一样。具有上述特点的实验叫做古典概型。具有上述特点的实验叫做古典概型。11.1 随机事件的概率随机事件的概率定义定义11.3 概率的古典定义概率的古典定义 在古典概型中，假设实验的根身手件总数为n，事件A中包含的根身手件个数为m，那么事件A发生的概率为 ( )mP An。11.1 随机事件的概率随机事件的概率 例例3 一批产品共一批产品共200个，有个，有6个废品，从这个废品，从这产品中任取产品中任取3个，求：个，求：(1)恰有恰有1个是废品的概个是废品的概率；率；(

13、2)3个全是正品的概率。个全是正品的概率。 解：设事件解：设事件A表示从这批产品中任取表示从这批产品中任取3个，个， 恰有恰有1个是废品个是废品, 事件事件B表示从这批产品中任取表示从这批产品中任取3个全是正品，根身手件总数：个全是正品，根身手件总数： 3200Cn 11.1 随机事件的概率随机事件的概率(1)事件A包含的根身手件个数： 2194161CCm 1261943200( )0.0855C CP AC(2)事件B包含的根身手件个数：31942Cm 31943200( )0.9122CP BC11.1 随机事件的概率随机事件的概率11.1.3 概率的加法概率的加法1互斥事件概率的加法公

14、式互斥事件概率的加法公式定理定理11.1 假设事件假设事件A与与B互斥，即互斥，即那么那么 AB ，()( )( )P ABP AP B。推论推论1 假设假设 两两互斥，那么两两互斥，那么 nAAA,21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP推论推论2 )(1)(APAP11.1 随机事件的概率随机事件的概率 例例4 袋中有袋中有20个球个球, 其中有其中有3个白球、个白球、17个个黑球，从中任取黑球，从中任取3个，求至少有一个白球的概率。个，求至少有一个白球的概率。 分析分析 用用Ai表示取到表示取到i个白球，用个白球，用A表示至表示至少有一个白球。少有一个白球。解法一解法一 利用

15、古典定义利用古典定义5723)(320017331172321713CCCCCCCAP11.1 随机事件的概率随机事件的概率解法二解法二 利用概率的加法公式利用概率的加法公式 由于A1，A2，A3两两互斥 )()()()(321APAPAPAP1221303173173173332020202357C CC CC CCCC解法三解法三 利用互逆事件的概率公式利用互逆事件的概率公式 A的逆事件表示没有取到白球，故 57231)(1)(32031703CCCAPAP11.1 随机事件的概率随机事件的概率2恣意事件概率的加法公式恣意事件概率的加法公式 定理定理11.2 对于恣意两个事件对于恣意两个事

16、件A、B，有，有()( )( )()P ABP AP BP AB。推论推论1 A、B 、C为恣意三个事件，那么为恣意三个事件，那么()P ABC( )( )( )()P AP BP CP AB()()()P ACP BCP ABC11.1 随机事件的概率随机事件的概率 例例5 如下图，电路中元件如下图，电路中元件a、b发生故发生故障的概率分别为障的概率分别为0.05、0.06， a、b同时发生同时发生缺点的概率为缺点的概率为0.003，求该电路断路的概率。，求该电路断路的概率。解解: 设设A=元件元件a发生缺点发生缺点， B=元件b发生缺点，C=电路断路， 由电学知识，可得C=A+B，所以)(

17、)()()()(ABPBPAPBAPCP0.050.060.0030.10711.2 事件的独立性事件的独立性第十一章第十一章 概率论概率论11.2.1 条件概率条件概率 1条件概率条件概率 定义定义11.4 在事件在事件B曾经发生的条件下，事件曾经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件发生的概率，称为事件A在事件在事件B下的条件概率，下的条件概率，简称为简称为A对对B的条件概率，记作的条件概率，记作 (|)P A B 。11.2 事件的独立性事件的独立性 例例6 甲、乙两厂消费同类产品，如下表所示。甲、乙两厂消费同类产品，如下表所示。从中任取一件产品，试求从中任取一件产品，试求 (1)获得

18、甲厂产品的概率；获得甲厂产品的概率； (2)获得的产品是次品的概率；获得的产品是次品的概率； (3)获得甲厂产品且是次品的概率。获得甲厂产品且是次品的概率。11.2 事件的独立性事件的独立性 解：设解：设A表示取一件是甲厂产品，表示取一件是甲厂产品，B表示取表示取一件是次品，一件是次品，AB表示取一件是甲厂产品且是次表示取一件是甲厂产品且是次品。这样根身手件总数是品。这样根身手件总数是100，显然，显然7071( )10010P A （ ） 2512( )1004P B （ ） 2013()1005P AB （ ） 11.2 事件的独立性事件的独立性由于甲厂产品有由于甲厂产品有70件，其中次品

19、有件，其中次品有20件，故件，故727020)|(ABP类似地类似地 542520)|(BAP从上例可引出求条件概率的计算方法，即从上例可引出求条件概率的计算方法，即()(|)( )0( )P ABP A BP BP B，()(|)( )0( )P ABP B AP AP A，11.2 事件的独立性事件的独立性2乘法公式乘法公式 定理定理11.3 两个事件两个事件A、B乘积的概率等于乘积的概率等于其中任一个事件其中任一个事件(其概率不为零其概率不为零)的概率乘以另的概率乘以另一个事件在知前一个事件发生下的条件概率。一个事件在知前一个事件发生下的条件概率。()( ) (|)( )0P ABP A

20、 P B AP A，()( ) (|)( )0P ABP B P A BP B，推论推论 A、B、C为恣意三个事件，那么为恣意三个事件，那么 )|()|()()(ABCPABPAPABCP11.2 事件的独立性事件的独立性 例例7 一批产品中有一批产品中有3%的废品，而合格品的废品，而合格品中一等品占中一等品占45%，从这批产品中任取一件，求，从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率。该产品是一等品的概率。 解：设解：设A=取出一等品取出一等品，B=取出合格品取出合格品，C=取出废品取出废品，那么，那么( )0.03(|)0.45P CP A B，)|()()()(BAPBPABPAP1(

21、 ) (|)(10.03)0.450.4365P C P A B11.2 事件的独立性事件的独立性11.2.2 事件的独立性事件的独立性 定义定义11.5 假设两个事件假设两个事件A和和B，其中任何，其中任何一个事件能否发生，都不影响另一个事件发生一个事件能否发生，都不影响另一个事件发生的概率，即的概率，即或或那么称事件与相互独立。那么称事件与相互独立。 )()|(APBAP)()|(BPABP11.2 事件的独立性事件的独立性独立性的几个性质：独立性的几个性质： (1)事件A与B独立的充分必要条件是 )()()(BPAPABP(2)假设事件A与B独立，那么 与B 、 A与 、 与 都相互独立

22、。 ABAB11.2 事件的独立性事件的独立性(3) 假设事件 相互独立，那么 nAAA,21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP(4) 假设事件 相互独立，那么 nAAA,21)()()(1)(2121nnAPAPAPAAAP11.2 事件的独立性事件的独立性 例例8 甲、乙两人向目的各射击一次，甲甲、乙两人向目的各射击一次，甲击中目的的概率为击中目的的概率为0.4，乙击中目的的概率为，乙击中目的的概率为0.3，求甲、乙两人中至少有一人击中目的的概率。求甲、乙两人中至少有一人击中目的的概率。 解一设解一设A表示甲击中目的，表示甲击中目的，B表示乙击中表示乙击中目的。那么，目的。那

23、么， 表示甲没有击中目的，表示甲没有击中目的， 表示乙表示乙没有击中目的。依题意知没有击中目的。依题意知AB11.2 事件的独立性事件的独立性( )0.4( )1( )0.6P AP AP A ，( )0.3( )1( )0.7P BP BP B ， 由于甲乙射击相互独立，所以甲、乙两人中至少有一人击中目的的概率()1( ) ( )1 0.420.58P ABP A P B 解二解二 ()( )( )( ) ( )P ABP AP BP A P B= 0.4 + 0.3 - 0.40.3 = 0.58 11.2 事件的独立性事件的独立性11.2.3 全概率公式全概率公式 定义定义11.6 假设

24、事件假设事件 两两互斥，两两互斥，并且并且 ，那么称，那么称 构成一完备事件组。构成一完备事件组。 nAAA,21nAAA21nAAA,211.完备事件组完备事件组11.2 事件的独立性事件的独立性2. 全概率公式全概率公式定理定理11.4 全概率公式全概率公式 假设假设 为一完备事件组，为一完备事件组，那么对于恣意事件那么对于恣意事件B，有，有 nAAA,21()0(1,2, )iP Ain，)|()()(1niiiABPAPBP11.2 事件的独立性事件的独立性 例例9 设袋中共有设袋中共有10个球，其中个球，其中2个带有个带有中奖标志，两人分别从袋中任取一球，中奖标志，两人分别从袋中任取

25、一球，求第二个人中奖的概率。求第二个人中奖的概率。 解：设解：设A表示表示“第一个人中奖，第一个人中奖， 表示表示“第一个人不中奖，那么它们构成一个完备第一个人不中奖，那么它们构成一个完备事件。于是事件。于是 A28( )( )1010P AP A，设B表示“第二个人中奖，由全概率公式，得2 18 21( )( ) (|)( ) (|)10 910 95P BP A P B AP A P B A11.2 事件的独立性事件的独立性11.2.4 伯努利概型伯努利概型 定义定义11.7 假设实验假设实验E单次实验的结果只需两单次实验的结果只需两个个A、B，且，且P(A)=p坚持不变，将实验在一样条坚

26、持不变，将实验在一样条件下反复进展件下反复进展n次，假设各次实验的结果互不影响，次，假设各次实验的结果互不影响，那么称该那么称该n次实验为次实验为n重独立实验，这种实验称为重独立实验，这种实验称为n重独立实验，或称为重独立实验，或称为n重伯努利概型。重伯努利概型。11.2 事件的独立性事件的独立性定理定理11.5 伯努利定理伯努利定理 假设单次实验中事件A 发生的概率为p(0p1)，那么在n重独立实验中，事件A恰好发生k次的概率Pn(k)为( )(1;0,1,2, )kkn knnP kC p qqp kn 11.2 事件的独立性事件的独立性 例例10 一条自动消费线上产品的一级品率一条自动消

27、费线上产品的一级品率为为0.6，现检查了，现检查了10件，求件，求(1)有两件一级品的概有两件一级品的概率；率；(2)至少有两件一级品的概率。至少有两件一级品的概率。 解：解：(1)由题意知，每次抽取一件产品，由题意知，每次抽取一件产品，A表示表示“一级品；一级品； 所以所以P(A)=0.6。 于是，于是，“一级品恰好一级品恰好有两件的概率为有两件的概率为2281010(2)0.6 0.40.0106PC(2)设B表示“至少有两件一级品，由伯努利定理，有) 1 ()0(1)()(101010210PPkPBPk998. 04 . 06 . 04 . 01911010C11.3 离散型随机变量及

28、其分布离散型随机变量及其分布第十一章第十一章 概率论概率论11.3.1 随机变量随机变量 普通地，对于随机实验，假设其实验结果可以用一个变量的取值表示，这个变量取值带有随机性，并且取这些值的概率是确定的，那么称这样的变量为随机变量。 11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 例例11 投掷一枚均匀硬币一次，有两个试投掷一枚均匀硬币一次，有两个试验结果：验结果：A表示出现正面，表示出现正面， 表示出现反面。表示出现反面。假设用假设用X表示出现正面的次数，那么有两种能够值，表示出现正面的次数，那么有两种能够值，即即X = 1表示事件出现；表示事件出现； X = 0表示事件表示事件 出

29、现。出现。所以，随机变量所以，随机变量X的取值描画了随机实验的结的取值描画了随机实验的结果，其概率为果，其概率为AA11(1)(0)22P XP X，。11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 例例12 某选手射击的命中率为某选手射击的命中率为p=0.4，现射，现射击击5次，用次，用X表示命中的次数，由于随机变量的表示命中的次数，由于随机变量的取值是随机的，能够的结果有取值是随机的，能够的结果有0，1，2，3，4，5。显然。显然X=i表示表示5次射击恰有次射击恰有i次命中次命中(i=0,1,2,3,4,5)。又各次射击是独立进展的，由伯努利定。又各次射击是独立进展的，由伯努利定理

30、得理得55()0.4 0.60,1,2,3,4,5iiiP XiCi，（）11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 例例13 在在10件同类型产品中，有件同类型产品中，有3件次品，件次品，先任取先任取2件，用随机变量表示件，用随机变量表示2件中的次品数，件中的次品数，由于的取值是随机的，能够的结果有由于的取值是随机的，能够的结果有0，1，2。显然显然Y=i表示表示2件中有件中有i件次品，由古典定义得件次品，由古典定义得237210()(0,1,2)iiC CP YiiC， 11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布11.3.2 离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布

31、 假设随机变量X的一切能够取值可以一一列举(能够取值是有限个或无限可列个)，这样的随机变量称为离散型随机变量。 11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布1. 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 定义定义11.8 设离散型随机变量设离散型随机变量X的一切取值的一切取值为为 并且并且X取各个能够值的概率取各个能够值的概率分别为分别为 12,kxxx， ， ，()1,2,kkP Xxpk，（）那么把 称为离散型随机变量的概率分布，简称分布列。 kkpxXP)(11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布离散型随机变量的概率分布的表示法有两种：离散型随机变量的概率

32、分布的表示法有两种：(1)(1)公式法公式法()12kkP Xxpk，（， ， ）(2)(2)列表法列表法Xx1xnPp1 pn 11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布离散型随机变量的概率分布满足如下性质：离散型随机变量的概率分布满足如下性质：kp1012kpk（ ），（， ， ）21kkp （ ）11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 例例 14 某人投掷一枚骰子直到出现某人投掷一枚骰子直到出现6点点为止。用为止。用X表示投掷的次数，求表示投掷的次数，求X的概率分布。的概率分布。解：解： 由题意知，各次实验是相互独立的。由题意知，各次实验是相互独立的。当X=1

33、表示第一次投掷就出现6点，其概率为 61) 1(XP当X=2表示第二次投掷才出现6点(第一次投掷不是6点)，其概率为3656165)2(XP11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布当当X=k表示第表示第k次投掷才出现次投掷才出现6点，其概率为点，其概率为61)65()(1kkXP所以，所以，X的概率分布为的概率分布为 151()( )(1,2,)66kP Xkk， 11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布2几种常见离散型随机变量的概率分布几种常见离散型随机变量的概率分布(1)(1)两点分布两点分布假设随机变量X的概率分布为) 1 , 0()1 ()(1kppkXPk

34、k其中p满足0p1，那么称服从两点分布。 11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布两点分布的特点：一次实验只需两种结果两点分布的特点：一次实验只需两种结果A， A(1)检验产品的“合格与“不合格；(2)登记新生儿的性别“男与“女；(3)投掷硬币的“正面与“反面等等。随机变量X表示为 10AXA，出现， 出现11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 例例 15 一批产品的废品率为一批产品的废品率为5%。从中任。从中任取一个进展检验，用随机变量取一个进展检验，用随机变量X来描画废品出来描画废品出现的个数，并写出现的个数，并写出X的概率分布。的概率分布。 解：设解：设X表

35、示废品的个数，显然表示废品的个数，显然X只能够取只能够取0和和1。即。即X =0表示产品为合格品，其概率为表示产品为合格品，其概率为 ； X =1表示产品为废表示产品为废品，其概率品，其概率 。于是分布列如下表。于是分布列如下表 %95%51)0(XP%5) 1(XPX01P0.950.0511.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布(2)(2)二项分布二项分布 在n次独立实验中，每次实验时事件A出现的概率为p。假设随机变量X为n次实验中事件A出现的次数，它的概率分布为( )()(1)(0,1,2, )kkn knnP kP XkC ppkn，其中0p1，那么称随机变量X服从参数为n

36、，p的二项分布，记作 ( , )XB n p 。11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 例例16 设设100件产品中有件产品中有10件次品，每次随件次品，每次随机地抽取一件，检验后放回去，延续抽三次，机地抽取一件，检验后放回去，延续抽三次，求最多取到一件次品的概率。求最多取到一件次品的概率。 解：设随机变量解：设随机变量X为三次取到的次品的件数。为三次取到的次品的件数。由于有放回地抽取，每次取到次品的概率一样，由于有放回地抽取，每次取到次品的概率一样，假设假设A表示抽到次品，那么表示抽到次品，那么 并且各次抽取结果互不影响。于是，并且各次抽取结果互不影响。于是，1( )10P

37、A 。(3,0.1)XB972. 0)9 . 0() 1 . 0()9 . 0() 1 . 0() 1 ()0() 1(2113300333CCPPXP11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布(3)(3)泊松泊松(Poisson)(Poisson)分布分布假设随机变量X的概率分布为()0120!kP Xkekk，（， ， ， ；）那么称X服从参数为 的泊松分布，记作 ( )XP11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 例例17 交换台每分钟收到的的呼叫交换台每分钟收到的的呼叫次数次数X为随机变量，设为随机变量，设X P(3)，求在一分钟内，求在一分钟内呼叫次数不超越

38、呼叫次数不超越1的概率。的概率。解：由于解：由于X P(3) ，即，即 33()012!kP Xkekk，（， ， ， ）333(1)(0)(1)340.199P XP XP Xeee假设随机变量X，对恣意实数x )()(xXPxF该函数称为随机变量X的分布函数。11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布11.3.3 离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布 定义定义11.9 假设离散型随机变量假设离散型随机变量X的取值为的取值为x时，时，随机变量随机变量Y的取值由函数的取值由函数y=f(x)确定，那么随机变确定，那么随机变量量Y就叫做随机变量就叫做随机变量X的函数，记

39、作的函数，记作 ()Yf X11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布例例18 知随机变量的概率分布为知随机变量的概率分布为X-1012P0.2 0.3 0.4k(1)求参数k； (2)求 和 的概率分布。 21YX221YX11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布解：解：(1)根据分布列的性质可知根据分布列的性质可知(2)由于X的取值分别为-1，0，1，2，所以Y1的取值分别为0，1，4，并且11.3 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布即即 的概率分布为的概率分布为21YXY1010.4P0.30.60.1同理，Y2的取值分别为-3，-1，1，3，概率分布

40、为Y2-3-113P0.20.30.40.111.4 延续型随机变量延续型随机变量11.4.1 延续型随机变量的概率密度延续型随机变量的概率密度 定义定义11.10 对延续型随机变量对延续型随机变量X，假设在实，假设在实数集上存在非负可积函数数集上存在非负可积函数f(x)，使对于恣意实数，使对于恣意实数a,b(ab)都有都有 ()( )dbaP aXbf xx那么X称为延续型随机变量。函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。11.4 延续型随机变量延续型随机变量由定义知道，概率密度由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质：具有以下性质：1( )0f xx（ ），(- ,+ )2( )d

41、1f xx（ ） 11.4 延续型随机变量延续型随机变量两个结论：两个结论： (1)延续型随机变量X取区间内任一值的概率为零，即 (2)延续型随机变量X在任一区间上取值的概率与能否包含区间端点无关，即11.4 延续型随机变量延续型随机变量例例19 设随机变量的概率密度为设随机变量的概率密度为2,01( )0,Axxf x其他求 (1)系数A；(2)X落在区间(-1,0.5)内的概率。解：解：(1)由概率密度的性质由概率密度的性质2，得，得 1)()()(1010dxxfdxxfdxxf1021dxAx3A(2) 5 . 002125. 03)5 . 01(dxxXP11.4 延续型随机变量延续

42、型随机变量11.4.2 常见的延续型随机变量的分布常见的延续型随机变量的分布1均匀分布均匀分布 定义定义11.11 假设延续型随机变量假设延续型随机变量X的概率的概率密度是密度是 1,( )0,axbf xba其他那么称X在区间a，b上服从均匀分布，记作 , .XU a b11.4 延续型随机变量延续型随机变量在区间在区间a，b上服从均匀分布，那么对恣意满足上服从均匀分布，那么对恣意满足ac0有)()(hXPXhP(2)当 时取到最大值，即 11.4 延续型随机变量延续型随机变量当 时，称服从规范正态分布。 分布函数记为分布函数记为( )()xP Xx11.4 延续型随机变量延续型随机变量是偶

43、函数 对于恣意对于恣意ab，有，有)()(ab=-11.4 延续型随机变量延续型随机变量定理定理11.6 假设假设 2( ,)XN 那么 (0,1)XYN于是， 假设 ，那么 2( ,)XN 对于恣意区间(x1,x2，有=11.5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第十一章第十一章 概率论概率论11.5.1 数学期望数学期望1.离散型随机变量的数学期望的概念离散型随机变量的数学期望的概念 例例20 设一盒产品共设一盒产品共10件，其中件，其中1件次品，件次品，3件二等品知次品、二等品和一等品每件件二等品知次品、二等品和一等品每件售价分别为售价分别为5元、元、8元、元、10元，求这盒产品的元，

44、求这盒产品的平均售价。平均售价。 11.5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征解：设产品的平均售价为解：设产品的平均售价为 ，那么，那么x9 . 81061010381015)6103815(101x单价单价( (xk) )5 58 81010件数件数( (nk) )1 13 36 6P1/101/103/103/106/106/10 即平均售价等于各能够价钱即平均售价等于各能够价钱xk与产品概率与产品概率pk的乘积之和。的乘积之和。 11.5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征定义定义11.14 设设X的概率分布为的概率分布为()kkP Xxpk，( =1,2)假设级数 绝对收敛，那么级

45、数 称为离散型随机变量的数学期望，简称期望或均值，记作E(X)，即1kkkpx1kkkpx1()kkkE Xx p11.5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2. 延续型随机变量的数学期望延续型随机变量的数学期望 定义定义11.15 设延续型随机变量设延续型随机变量X的概率密度的概率密度是是f(x)，假设积分，假设积分 绝对收敛，那么该积分绝对收敛，那么该积分叫做延续型随机变量叫做延续型随机变量X的数学期望，记作的数学期望，记作E(X) ，即即 ( )xf x dx()( )E Xxf x dx11.5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 定理定理11.8 设延续型随机变量设延续型随机变量

46、X的概率密度的概率密度 是是f(x)，假设延续型随机变量，假设延续型随机变量X的函数的函数Y=g(x)相应相应的的 绝对收敛，那么有绝对收敛，那么有( ) ( )g x f x dx( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx11.5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 例例21 设随机变量设随机变量X服从均匀分布，服从均匀分布， X的概的概率密度为率密度为1,0( )0,xaf xa其他求 2()(5)E XEX，。解：解： 01()( )2aaE Xxf x dxxdxa2222015(5)5( )53aEXx f x dxxdxaa11.5 随机变量的数字特征随机变量

47、的数字特征3. 数学期望的性质数学期望的性质(1) 设C是常数，那么E(C)=C； (2)设X是一个随机变量，C是常数，那么 E(CX)=CE(X) ； (3)设X是一个随机变量，a，b是常数，那么 E(aX+b)=aE(X)+b ；(4)设X,Y是恣意两个随机变量，那么 E(X+Y)=E(X)+E(Y)。 11.5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征11.5.2 方差方差1.方差的概念方差的概念 定义定义11.16 设设X是一个随机变量，假设是一个随机变量，假设存在，那么称其为存在，那么称其为X的方差，记作的方差，记作D(X)，即，即2)(XEXE2()()D XE XE X。而 称为X的

48、规范差。 )(XD11.5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征常用的随机变量的概率分布及数字特征常用的随机变量的概率分布及数字特征 11.5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2. 方差的性质方差的性质(1)常数C的方差等于零，即D(C)=0；(2) (C为常数)；)()(2XDCCXD(3) (C为常数)；)()(XDCXD(4)假设X，Y独立，那么 。)()()(YDXDYXD11.6 运用与实际运用与实际第十一章第十一章 概率论概率论11.6.1 运用运用 例例22知导致出现的各种缘由的概率知导致出现的各种缘由的概率求出现的概率求出现的概率 某大型水电站工程，根据长某大型水电站工程，

49、根据长期观测的数据，得到出现低强度混凝土的各期观测的数据，得到出现低强度混凝土的各种缘由的概率数值如表所示：种缘由的概率数值如表所示： 11.6 运用与实际运用与实际其中A1=“水泥质量差， A2= “水泥用量缺乏， A3=“水过量， A4=“杂质过多，A5=“沙石配料比例失当， A6= “成份及配比符合规范， B= “出现低强度混凝土。求该工程工地，出现低强度混凝土的概率P(B)。 解：出现低强度混凝土的各种能够要素解：出现低强度混凝土的各种能够要素是是两两互不相容的，且两两互不相容的，且 621AAA61( )() (|)0.170iiiP BP A P B A11.6 运用与实际运用与实际 例例23知各开封锁合的概率求电