高等数学微积分第七章 第5节ppt课件

1、第四节第四节 分式线性映射分式线性映射 分式线性映射分式线性映射 分式线性映射的性质分式线性映射的性质分式线性映射分式线性映射一一、 1(0)(4.1), , ,.azbwadbcczda b c d 定定义义 复复变变函函数数称称为为分分式式线线性性映映射射 其其中中为为常常数数 ,.Mobius分分式式线线性性映映射射又又称称分分式式线线性性变变换换变变换换等等 它它是是共共形形映映射射基基本本又又很很重重要要的的一一类类映映射射 , , ,:(1);(2)(0);1(3)();(4).ia b c dwzbwrz rwe zwz 对对取取特特殊殊值值可可得得到到下下列列下下列列最最基基本

2、本的的分分式式线线性性映映射射平平移移映映射射伸伸缩缩映映射射旋旋转转映映射射为为实实数数反反演演映映射射21100,0,10dwzzwdzzzwwz 当当时时所所以以当当时时反反演演映映射射是是共共形形映映射射 如如果果规规定定两两条条伸伸向向无无穷穷远远点点的的曲曲线线在在无无穷穷远远点点的的交交角角等等于于它它们们由由反反演演映映射射所所映映成成的的过过原原点点图图7-16,.,前前三三个个映映射射的的几几何何意意义义很很清清楚楚 它它们们的的导导数数均均不不为为零零所所以以都都是是全全平平面面的的共共形形映映射射下下面面侧侧重重说说明明反反演演映映射射1,iiezrewzr 令令则则1

3、()1(),()(),zwzzwz 所所以以当当 在在单单位位圆圆内内 外外 时时在在单单位位圆圆外外 内内 当当 在在上上 下下 半半平平面面时时在在下下 上上 半半平平面面 1,01,wzzwz 的的两两条条曲曲线线在在原原点点的的交交角角则则可可以以认认为为在在也也是是共共形形的的因因此此反反演演变变换换在在扩扩充充复复平平面面是是共共形形映映射射 根根据据这这样样的的约约定定 平平移移、旋旋转转、伸伸缩缩在在扩扩充充复复平平面面是是共共形形映映射射11,.iiiwazarewre zze z wrzwaz 可可由由旋旋转转和和伸伸缩缩复复合合得得到到 假假定定则则用用可可复复合合得得到

4、到,.wazb 称称为为整整线线性性映映射射 它它可可由由旋旋转转、伸伸缩缩和和平平移移复复合合得得到到 :(4.1).现现在在我我们们证证明明 一一般般的的分分式式线线性性映映射射可可由由平平移移、旋旋转转、伸伸缩缩和和反反演演四四个个基基本本映映射射复复合合得得到到这这时时否否则则则则若若, 0, 00 bcaddc ,.abwzdd 它它是是整整线线性性映映射射 可可由由平平移移、旋旋转转、伸伸缩缩得得到到2(4.2)()abcaddcczc 12322131(),(),(),()(4.1).,.dbcadzzzzzczcawzc 令令平平移移反反演演旋旋转转和和伸伸缩缩平平移移 由由它

5、它们们的的复复合合得得到到分分式式线线性性映映射射另另一一方方面面 直直接接计计算算可可知知 两两个个分分式式线线性性映映射射的的复复合合仍仍是是分分式式线线性性映映射射1 azbwdczc 0,(4.1)c 若若则则改改写写为为()1dada zbccdczc 11111 11122222222,(0), 2,(0),abwa db ccda zba db cc zd 例例如如 设设 ,.azbwczd 把把后后式式代代入入前前式式 复复合合后后得得 11221122, , ,(4.3)a b c dabababcdcdcd 在在直直接接算算出出后后 可可以以证证明明成成立立等等式式 111

6、 12222()()0.adbca db ca db c 因因此此 1(4.1),.定定理理分分式式线线性性映映射射可可由由平平移移、旋旋转转、伸伸缩缩和和反反演演四四种种变变换换复复合合得得到到 分分式式线线性性映映射射的的复复合合仍仍为为分分式式线线性性映映射射分分式式线线性性映映射射的的性性质质二二、 1(4.1)(),.性性质质分分式式线线性性映映射射是是在在扩扩充充复复平平面面上上的的双双方方单单值值共共形形映映射射 保保角角映映射射 它它的的逆逆映映射射也也是是共共形形映映射射 1,(4.1).(4.1),(4.5)dwbzcwa 证证明明 由由定定理理 知知分分式式线线性性映映射

7、射可可由由平平移移、旋旋转转、伸伸缩缩和和反反演演四四种种变变换换复复合合得得到到 而而这这四四种种变变换换在在扩扩充充复复平平面面都都是是双双方方单单值值的的共共形形映映射射 因因此此分分式式线线性性映映射射也也是是在在扩扩充充复复平平面面上上双双方方单单值值的的共共形形映映射射 直直接接计计算算可可知知的的逆逆映映射射为为 ()()0,(4.5).dabcadbc 因因所所以以是是分分式式线线性性映映射射 1.把把性性质质 说说成成分分式式线线性性映映射射具具有有保保角角性性 2(4.1).zw性性质质分分式式线线性性映映射射把把扩扩充充 平平面面的的圆圆周周映映为为扩扩充充 平平面面的的

8、圆圆周周 :1).2).3).4).zwzwzwzw这这一一性性质质包包含含下下述述四四种种情情况况把把 平平面面的的通通常常圆圆周周映映为为 平平面面的的通通常常圆圆周周把把 平平面面的的通通常常圆圆周周映映为为平平面面的的直直线线把把 平平面面的的直直线线映映为为 平平面面的的圆圆周周把把 平平面面的的直直线线映映为为 平平面面的的直直线线.2保保圆圆性性说说成成分分式式线线性性映映射射具具有有把把性性质质 2,.zw性性质质 的的证证明明 因因为为圆圆周周或或直直线线经经过过平平移移、旋旋转转、伸伸缩缩仍仍旧旧是是圆圆周周或或直直线线因因此此只只需需证证明明扩扩充充 平平面面上上的的直直

9、线线经经反反演演映映射射后后是是扩扩充充 平平面面的的圆圆周周 z扩扩充充 平平面面的的圆圆周周在在直直角角坐坐标标系系下下可可写写成成)6 . 4(0)(22 dcybxyxa 222210(4.6),1,awzzzxiy wuivwuvxyuvuv 当当且且仅仅当当时时表表示示直直线线 把把反反演演映映射射改改写写为为将将代代入入 并并分分开开实实部部和和虚虚部部可可得得 221(4.6):(4.6)()0(4.7)wzd uvbucva 代代入入化化简简可可知知经经映映射射后后的的像像为为 ,0.wd 这这是是扩扩充充 平平面面的的圆圆周周 当当时时表表示示直直线线 ,(6.1),z根根

10、据据这这个个性性质质容容易易推推知知 在在分分式式线线性性映映射射下下 如如果果在在给给定定的的 平平面面的的圆圆周周或或直直线线上上没没有有点点被被映映射射为为无无穷穷远远点点 ,.如如果果有有一一点点被被映映成成无无穷穷远远点点那那末末它它就就被被映映成成半半那那末末它它就就映映成成径径为为有有限限的的圆圆周周直直线线 1,0,(4.8)(716( )?kzwkza 例例设设试试问问分分式式线线性性映映射射把把相相交交于于点点 与与 的的两两圆圆弧弧围围成成的的区区域域 见见图图映映成成何何图图形形图图7-16平面经过平面经过由性质由性质平面的无穷远点平面的无穷远点映为映为把把原点原点平面

11、的平面的映为映为把把所以所以时时时时当当解解zwzwzzzkwwzwz, 2, 0 .)(,.,.,2121221121212121相等相等即其切线的交角即其切线的交角处的交角处的交角在在和和与与应当应当这个角形的角度这个角形的角度根据保角性根据保角性平面的一个角形域平面的一个角形域围成围成和和通向无穷远点通向无穷远点从原点沿从原点沿时时到达到达沿沿从从当当通向无穷远点通向无穷远点从原点沿从原点沿时时到达到达沿沿从从当当射线射线是两条从原点出发的是两条从原点出发的和和因此因此通过无穷远点通过无穷远点和和且且和和平面的圆弧平面的圆弧平面上扩充平面上扩充映成映成和和的圆弧的圆弧和和 zllwLLL

12、wlzLwlzLLLLLLwwllwazkz716( ),.,. 把把二二圆圆域域映映射射今今后后将将把把图图这这样样由由两两圆圆弧弧围围成成的的区区域域称称为为二二圆圆域域因因此此根根据据边边界界对对应应原原理理此此外外还还应应注注意意 因因为为直直线线段段被被看看作作扩扩充充复复平平面面的的圆圆弧弧 所所以以诸诸如如半半圆圆内内部部或或半半圆圆外外为为顶顶点点在在原原部部等等也也是是点点的的形形域域二二圆圆域域角角 211,2(717),?zzziwzi 例例中中心心分分别别在在与与半半径径为为的的二二圆圆弧弧所所围围成成的的区区域域 图图在在映映射射下下映映成成何何区区域域图图7-17

13、,.iiii解解 所所设设两两个个圆圆弧弧的的交交点点为为与与交交点点映映射射成成无无穷穷远远点点 映映射射成成原原点点 因因此此所所给给的的区区域域经经映映射射后后映映射射成成以以原原点点为为顶顶点点的的角角形形区区域域 2221( 21)1( 21).21( 21)12iiiwi 由由于于+ +2 11(21)2 12iiwi 且且。D 35():arg717.44ziwziw Dww 由由边边界界对对应应原原理理，映映射射将将区区域域 映映成成的的角角形形域域, ,如如图图所所示示 121212212,zzzaRa zzzzazazaR复复平平面面上上两两点点 和和 关关于于圆圆周周对对

14、称称 意意指指和和 三三点点共共线线且且 和和 在在 同同侧侧 同同时时图图7-181122122():(1):;(2)(4.9);(3).(zzzaRzza zKaRz 引引理理下下列列陈陈述述等等价价和和 关关于于圆圆周周对对称称过过 与与 的的任任一一圆圆周周 均均与与圆圆周周正正交交 212(4.9)(4.9)Rzaza 有有时时写写成成121212123(0).,.azbwadbcczdzzzwwwzzww 性性质质设设分分式式线线性性映映射射把把扩扩充充 平平面面的的圆圆周周及及两两点点 和和 分分别别映映成成扩扩充充 平平面面的的圆圆周周及及两两点点和和若若 和和 关关于于对对称

15、称 则则和和关关于于对对称称12121212,.,2,.wwwKKKzzzzzKKww 证证明明 根根据据上上面面的的引引理理 只只需需证证明明 平平面面上上经经过过和和的的任任一一圆圆周周都都与与正正交交 设设的的原原像像为为由由性性质质 知知它它是是 平平面面的的圆圆周周通通过过点点 与与因因 与与 关关于于圆圆周周对对称称 故故由由引引理理知知 与与正正交交 又又因因分分式式线线性性映映射射具具有有保保角角性性 故故它它们们的的像像与与也也正正交交 再再由由引引理理知知和和关关于于对对称称3.把把性性质质 说说成成分分式式线线性性映映射射具具有有保保圆圆对对称称性性 3Im( )01.z

16、w 例例求求将将上上半半平平面面映映成成单单位位圆圆的的分分式式线线性性映映射射图图7-19 0,01,zwzzwwwzw 由由于于上上半半平平面面总总有有一一点点要要映映成成，而而与与是是关关于于实实轴轴的的一一对对对对称称点点与与是是与与之之对对应应的的关关于于圆圆周周的的一一对对对对称称点点 所所以以根根据据分分式式线线性性映映射射具具有有保保圆圆对对称称性性知知必必映映成成 ,-0azbwad bcczd 解解 设设所所求求的的分分式式线线性性映映射射根根据据边边界界对对应应原原理理，实实轴轴映映为为单单位位圆圆周周。.(),.zwkkz 从从而而所所求求的的分分式式线线性性映映射射具

17、具有有下下列列形形式式其其中中 为为常常数数= ,1,1,1,.izwkz xwzzxkkezx 因因为为而而实实轴轴上上的的点点对对应应着着上上的的点点 故故所所以以即即这这里里 是是任任意意常常数数= ,(4.10)Im( )01.,zwz x 反反之之 形形如如的的分分式式线线性性映映射射必必将将上上半半平平面面映映成成单单位位圆圆这这是是因因为为当当取取实实数数时时 有有(),(Im( )0)(4.10)izwez 因因此此所所求求的的分分式式线线性性映映射射一一般般形形式式为为1.iizxweezx 1.0,(4.10)Im( )01.wzwzw 即即把把实实轴轴映映射射成成又又因因

18、上上半半平平面面中中的的映映射射成成所所以以必必将将映映射射成成 ,(4.10).据据上上所所论论 把把上上半半平平面面映映射射成成单单位位圆圆的的分分式式线线性性映映射射必必是是具具有有形形式式的的分分式式线线性性映映射射 411.zw 例例求求将将单单位位圆圆映映射射成成单单位位圆圆的的分分式式线线性性映映射射 110.11(0zzawwwazwwa 解解 设设 平平面面上上单单位位圆圆内内部部的的一一点点 映映射射成成 平平面面上上的的单单位位圆圆的的中中心心这这时时与与点点 对对称称于于单单位位圆圆周周的的点点应应该该被被映映射射成成 平平面面上上的的无无穷穷远远点点 即即与与对对称称

19、 1).0,.:()()11(),.1zawzwazazawkkaazzazakkkaaz 的的点点 因因此此当当时时时时满满足足这这些些条条件件的的分分式式线线性性映映射射具具有有如如下下的的形形式式图图7-20 ,11.1,11.1zwzwzakwa 由由于于 平平面面上上单单位位圆圆周周上上的的点点映映成成 平平面面上上单单位位圆圆周周上上的的点点 所所以以当当时时将将代代入入上上式式 得得)(, 1,11是是任任意意实实数数即即 iekkaa ,:()(1)(4.11)1izaweaaz 由由此此可可知知 所所求求的的分分式式线线性性映映射射具具有有如如下下的的形形式式 = ,(4.1

20、1)11:1()1.1iiiiiiizweaeaweeeaeea 反反之之 形形如如的的分分式式线线性性映映射射必必将将单单位位圆圆周周映映射射成成单单位位圆圆周周上上的的点点 110,(4.11)11.zzawwzw 同同时时单单位位圆圆内内有有一一点点映映射射成成单单位位圆圆的的圆圆心心所所以以必必将将单单位位圆圆映映射射成成单单位位圆圆 15( )0,21( )0.2ww 例例求求将将单单位位圆圆映映射射成成单单位位圆圆且且满满足足条条件件的的分分式式线线性性映映射射1( )0,121121.(4.11)(),1212iwzzzwwez 解解 由由条条件件知知 所所求求的的映映射射要要将

21、将内内的的点点 映映射射成成的的中中心心 所所以以由由得得21211 1(1)()1422 2( ),123(1)2iizzzweez 由由此此得得1212.1212zzwzz 所所以以所所求求的的映映射射为为1( )002iwe 由由于于cos0, sin0 1,ie 因因此此6Im( )022(2 )2 ,arg(2 ).2zwiwiiwi 例例求求将将映映射射成成且且满满足足条条件件的的分分式式线线性性映映射射2221.2wiwi 解解映映射射将将映映射射成成 (721)22().22iwiziezi 故故有有 图图(2 )0.Im( )01(2 )02().2iiziziezi 这这时

22、时将将映映射射成成且且满满足足的的映映射射为为 1(2 )2,4iwiei 由由此此得得1|(2 )|2wi 图图7-21 2222(1).222wizizwizizi 于于是是所所求求的的映映射射为为或或 4,.在在陈陈述述分分式式线线性性映映射射的的性性质质 之之前前 先先介介绍绍复复比比的的概概念念 =arg(2 )12(2 )4|(2 )|iiwiewiiwie 于于是是211,22iei 21,iei 从从而而31411234324212342:(,;,),.zzzzz z z zzzzzz z zz 定定义义比比式式称称为为和和 的的复复比比.复复比比又又称称交交比比或或反反调调和

23、和比比1234123412344,( )(0)()(1,2,3,4),(,;,)(,;,)(4.12)iiz z zzzazbwf zadbcczdwwf ziz z z zw w w w 性性质质分分式式线线性性映映射射保保复复比比不不变变 即即若若和和 是是平平面面的的四四点点 经经分分式式线线性性变变换换分分别别映映成成 平平面面的的四四点点则则()(1,2,3,4),jjjjazbwf zjczd 证证明明直直接接计计算算可可知知 313312313232312321()()()();()()wwazbazbazbazbczdczdczdczdwwzzczdzzczd 41412424

24、21()().()()wwzzczdwwzzczd 314112343242(,;,):wwwww w w wwwww 故故12342134,(, ;,)z z z zzzz z 必必须须指指出出 如如果果在在四四个个数数中中有有一一个个是是例例如如则则复复比比理理解解为为 314112343242:(,;,).zzzzz z z zzzzz 23131411343242412(, ;,)lim:,1.zzzzzzzzz zzzzzzzz 即即把把复复比比表表达达式式包包含含的的项项均均作作为为4,.利利用用性性质质可可以以建建立立下下述述关关于于利利用用三三对对对对应应点点可可唯唯一一决决定定分分式式线线性性映映射射的的定定理理1231231231232,( ),.zz zzww wwwf zz zzw ww 定定理理在在 平平面面上上任任意意给给定定互互异异三三点点和和在在 平平面面也也任任意意给给定定互互异异三三点点和和则则存存在