函数的最值教案

1、.第二节 函数的最大（小）值教学目的 ：（ 1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（ 2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点 ：函数的最大（小）值及其几何意义教学难点 ：利用函数的单调性求函数的最大（小）值教学过程 ：一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：1 说出 y=f(x) 的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（ 1） f (x)2x 3（2）（ 3） f (x)x22x1（4）f ( x)2x3 x1,2f ( x) x 22x 1 x 2,2二、新课教学（一）函数最大（小）值定义1最大值一般

2、地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：（ 1）对于任意的 xI ，都有 f(x) M ；（ 2）存在 x0I ，使得 f(x 0) = M 那么，称 M 是函数 y=f(x) 的最大值（ Maximum Value ）思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x) 的最小值（ Minimum Value ）的定义（学生活动）注意： 函数最大 （小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0 I ，使得 f(x 0) = M ； 函数最大 （小）12应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ，都有 f(x) M （ f(x) M ）2利用函数单调性的判断函数的

3、最大（小）值的方法 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值1 利用图象求函数的最大（小）值2 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值3如果函数 y=f(x) 在区间 a， b上单调递增，在区间b， c上单调递减则函数y=f(x) 在 x=b 处有最大值f(b) ；如果函数 y=f(x) 在区间 a， b上单调递减，在区间b， c上单调递增则函数y=f(x) 在 x=b 处有最小值f(b) ；（二）典型例题例 1：如图为函数 yf ( x) ， x4,7 的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间【解】由图可以知道：当 x1.5时，该函数取得最小值2 ；当 x 3 时，函数取得最大值为3

4、 ；函数的单调递增区间有个：( 1.5,3) 和 (5,6) ；该函数的单调递减区间有三个：( 4, 1.5)、 (4,5) 和(6,7).例 2：求下列函数的最小值：（1） yx22x ； （ 2） f ( x)1， x 1,3 x【解】（） y x22x(x1)21 当 x 1 时， ymin1；（）因为函数 f ( x)1在 x 1,3上是单调减函数， 所以当 x3 时函数 f (x)1取得最小值为1 xx3例 3（教材 P36 例 3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的

5、性质或利用图象确定函数的最大（小）值巩固练习：如图，把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为 x，面积为 y 试将 y 表示成 x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例 4（新题讲解）25旅馆定价一个星级旅馆有150 个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：房价（元）住房率（ %）16055140651207510085欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160 元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160 相比降低的房

6、价，因此当房价为(160x) 元时，住房率为 (55x10)% ，于是得20y =150 · (160x) · (55x10)% 20x由于 (5510 )% 1，可知 0 x 9020因此问题转化为：当 0 x 90 时，求 y 的最大值的问题将y的两边同除以一个常数0.75，得y = x2 50 x 176001由于二次函数y 1 在 x =25 时取得最大值，可知y 也在 x =25 时取得最大值，此时房价定位应是160 25=135 （元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为 13668.75（元）所以该客房定价应为 135 元（当然为了便于管理，定价140

7、 元也是比较合理的）2例 5（教材 P37 例 4）求函数yx1在区间 2， 6上的最大值和最小值解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式巩固练习：（教材P38 练习 4）例 6:求 f (x)x22ax ， x0,4) 的最小值.【解】 f (x)( x a)2a2 ，其图象是开口向上，对称轴为xa 的抛物线若 a0 ，则 f (x) 在 0,4)上是增函数，f ( x) minf (0)0 ；若 0a4 ，则f ( x) minf (a)a2 ；若 a4，则 f ( x) 在 0,4) 上是减函数，f ( x) 的最小值不存在点评 :含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了我们再进行讨论！例 7: 已知二次函数 f (x)ax22ax 1在3,2上有最大值4，求实数 a 的值解：函数 f ( x)ax22ax1的对称轴为 x1，当 a0 时，则当 x 2 时函数取最大值 4 ，即 8a14 即 a3；8当 a0 时，则当 a1 时函数取得最大值 4 ，即 1a4 ，即 a3所以， a33 。或 a8三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值作差变形定号下结论四、作业布置书面作业：课本P45 习题