平面向量知识点与考点精讲

1、平面向量知识点与考点精讲知识网络第1讲 向量的概念与线性运算知识梳理1.平面向量的有关概念：(1) 向量的定义：既有(2) 表示方法：用有向线段来表示向量大小又有方向的量叫做向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向2)3)4)5)2.如图，已知向量 a，b，+在平面内任取一点作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记.表示向量的方向.用字母a, b,或用 AB , BC ,表示.特别提醒:1)模：向量的长度叫向量的模，记作I a|或I AB |.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量 .共线向量：方向相同

2、或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.向量的线性运算1. 向量的加法：(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法作 a+b，即卩 a+b = AB + BC = AC特殊情况:B(1)a + bBC(2)a+bAB(3)=a平行四边形法则(a+b) +c=a+ (b+c).对于零向量与任一向量 a,有a+0 = 0 +(2)法则： 三角形法则,(3 )运算律：a+b=b+a；2. 向量的减法：(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 已知向量a、b,求作向量(a-b) + b = a + ( -b) + b = a + 0

3、 = a 减法的三角形法则作法：在平面内取一点 0,作 OA= a, OB = b,贝U BA= a - b即a _b可以表示为从向量 b的终点指向向量 a的终点的向量, 注意：1） AB表示a -b强调：差向量“箭头”指向被减数2）用“相反向量”定义法作差向量, 显然，此法作图较繁，a II b / c3.实数与向量的积：（1）定义：实数方向与a的方向相同；（2 ）运算律：a _ b = a但最后作图可统一，a - b = a + (-b)+(-b)(a - b1入与向量a的积是一个向量, 当入V 0时，入a的方向与 入（卩a）=（入卩）a，入a,规定: a的方向相反；当 （入 + g） a

4、=入 a+ g a,记作入II a|.当入 0时，入a的 入a与a平行.入 a|=|入=0时，入（a+b）=入 a+ 入 b.特别提醒：向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。重要定理：向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数入，使得b=入a,即b / au b=（az0）.1)2)向量重难点突破1.重点:形法则、理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角 平行四边形法则.2.难点:掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算.3.重难点：.问题1：相等向量与平行向量的区别答案：向量平行是向量相等的必要条件。问题

5、2：向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别 答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。问题3：对于两个向量平行的充要条件：a / bu a=入b,只有bz 0才是正确的.而当b=0时，a / b是a= b的必要不充分条件. 问题4;向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量 就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段热点考点题型探析向量及与向量相关的基本概念 概念判析考点一：题型1.例1判断下列各命题是否正确（1）零向量没有方向单

6、位向量都相等向量就是有向线段 两相等向量若共起点，则终点也相同右 a=b , b=c，贝y a=c；r r -_.(7)若 a/b , b/c ,则 a/c(8)若四边形ABCD是平行四边形,则 AB = CD, BC = DA(9)a=b的充要条件是|a|=|b|且a/b ；解题思路:正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。 解析：解：(1)不正确， 量的模为1,方向很多零向量方向任意，(2)不正确，说明模相等，还有方向(4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式(5)(3) 不正确，单位向 正确，(6)正确,向量相等有传递性(7)不正确，因若b=0，则不共线的向量 a,

7、C也有a/0，0/C ° (8)不正确，如= CD,BC hDA(9)不正确，当a/b，且方向相反时，即使|aHb|，也不能得到a = b ；【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。【新题导练】1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由向量AB与CD是共线向量，则A B C、D四边形ABCDI平行四边形的充要条件是 AB = DC 模为0 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、 AC在同一直线上. 不正确.单位向量模均相等且为 1,但方向

8、并不确定. 不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的、正确.不正确.如图AC与BC共线，虽起点 -C 不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须 把握好.2.下列命题正确的是(A. a与b共线，b与C共线，则a与cB.B. 向量a与b不共线，则a与bC. 有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，

9、与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C,其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即 a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有 a与b都是非零向量，所以应选C.考点二：向量的加、减法题型1:考查加加、减法运算及相关运算律例 2化简(AB-CD)-(AC-BD) 解题思路:考查向量的加、减法，及相关运算律。 解法一（统一成加法）(AB-CD) -(AC -BD) = AB-CD-AC + BD = AB + DC + CA + BD=AB +BD +DC + CA = O解法二（利用 OA - OB = B

10、A）(AB -CD) -(AC -BD) = AB-CD - AC + BD(AB-AC) - CD +BDCB-CD+BD =DB+BD =0解法三（利用 AB=OB-OA）设 O是平面内任意一点，贝y (AB-CD)-(AC-BD) = AB-CD-AC + BD= (OB -OA) -(OD -OC) -(OC -OA) +(OD -OB)=OB -OA-OD +OC -OC +OA + OD -OB =0【指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识.在求解时需将杂乱的向量运算式 有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律.题型2:结合图型考查向量加、减法例3 （200

11、9）在MBC所在的平面上有一点P，满足PA+PB + PC=AB，则也PBC与 MBC的面积之比是（）C1C2f3A.-3解题思路: 求解.B.C.D2 34本题中的已知向量都集中体现在三角形中为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施解题思路:A、B、C三点共线的一个充要条件是存在实数入，使得AC =入蟲.很显然，题设条件中向【解析】由 PA + PB + P C=AB,得 PA + PB + BA + PC= 0,即PC =2AP,所以点P是CA边上的第二个三等分点，如图所示.故 S应BC _ BC "PC _ 2S缈c BC -AC 35-1-2【名师指引】三角形中两边对应向量

12、已知， 可求第三边所对应的向量. 值得注意的是，向量的方向不能搞错.当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行.【新题导练】3.若3m+ 2n = a, m 3 n= b，其中a , b是已知向量，求 解析：记3m + 2n = am 3 n= b33得 3 m 9 n = 3 b 一得 11 n= a -3 b .将代入有：m= b +3 nn = a 3 b 11 113 丄2 ba + b11 114.如图，在 ABC中，D E为边AB的两个三等分点， CA=3 a,CB=2 b,求 CD , CE .解析：Ab =Ac +CB = 3a+2b,因D、E为AB的两

13、个三等分点,故aD= -AB= a+ -b =DE ,33Cd =CA + AD=3 a a+ -b =2 a+ - b, 33CE=CD + DE=2 a+ 2b a+ - b=a + - b.333考点三：向量数乘运算及其几何意义 题型1:三点共线问题例4设弓（2是不共线的向量，已知向量AB = 2ei +ke2，CB=e, +3e2，CD = 2e, e?,若a,b,d三点共线,求k的值解题思路:证明存在实数 A，使得AB = ZBD解析：BD=CDCB=e, 4e2 ,使 AB =几 BD 二 2e, + ke a (e - 4e2)得 A =2,k =k = -8例5已知A B、C

14、P为平面内四点，求证：A B C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数使 PC=mPA+nPB，且 m+n=1.解析：证明： E是对角线AC和BD的交点值得一提的是，一个向量拆成两量表达式并未涉及 AC、AB，对此，我们不妨利用 PC =PA + AC来转化，以便进一步分析求证.解析：证明充分性，由 PC =mPA +nPB , m+n=1,得AAAA APA + AC=mPA + n （PA + AB ）（m+n） Pa + nAB=pA + nAB ,AC=nAB A B、C三点共线.必要性：由A、B、C三点共线知，存在常数 入，使得AC=入AB ,即 aP +pC =入（AP+PB ）

15、.PC=（入1） AP + 入 PB= （1 入）PA +入"PB , m=1入，n=入，mi+ n=1,PC =mPA + nPB .【指引】1、逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便， 个向量的和，一定要强化目标意识.2、这是一个重要结论，要牢记。题型2:用向量法解决几何问题例6已知口ABCD的两条对角线 AC与BD交于E, 0是任意一点,求证：OA+OB + OC + OD =40E解题思路:由平行四边形的对角线互相平分和相等向量的定义可得。 AE = EC = -CE , BE = ED=-DE在 OAE中，0A+AE=OE同理 OB + BE = OE

16、 , OC+CE=OE , OD + DE=OE以上各式相加，得OA+OB + OC+OD=4OE【指引】用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语 言与图形语言的互译*【新题导练】5.已知a、b是两个不共线的向量，若它们起点相同,-1 fa、一 b、t2(a + b )三向量的终点在一直线上,则实数t=【解析】如图， a、1 -b、t ( a + b )三向量的终点在一直线上2存在实数几使:tT f1 ff1 f(a + b) b = A ( a b )2 "又 a、b不共线， t A =0且丄1=021解得t=丄36.向量方法证明：对角线

17、互相平分的四边形是平行四边形。已知四边形 ABCD AC与BD交于 O, AO=OC DO=OB 求证：ABCD是平行四边形。证：如图： AB =AO+OB, DC =DO+OC又由已知 AO =0C, DO' =0BALX =$一 AB =DC，故AB与DC平行且相等，所以 ABCD是平行四边形。基础巩固训练1.判断下列命题是否正确，并说明理由:(1)(2)共线向量一定在同一条直线上。 所有的单位向量都相等。向量7与"b共线，7与:共线，则a与C共线。(4)向量向量T TAB/CD，贝U AB /CD。平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。2. 在四边形ABCD中, “

18、AB= 2DC是“四边形 ABCD为梯形”A充分不必要条件 条件B必要不充分条件C充要条件D、既不充分也不必要3.已知向量10,R, ah+打2, b =2，若向量a和b共线，则下列关系一定成立的是()、丨2=0 C 、11 / 12 D 、12=0 或几=04. . D E、F分别是 ABC的BC CA AB上的中点，且 BC = a , CA = b，给出下列命题，其中正确命题的个数是()、25.ADCFA、 1已知:A、A,C、C,1 - u =a b21 -1 r=_a +b2 2BAB =3(0 +e2).B, C三点共线A, D三点共线-T1 f BE=a+ b2 AD +BE +

19、CF =0、A,、B,CD =2ei +e2，则下列关系一定成立的是(B, D三点共线C D三点共线6.若|OA+OB|mOA-OB|则向量OA, OB的关系是(A.平行 B.重合C.垂直 D.不确定综合拔咼训练7.如图，已知AB =a, AC =b, BD =3DC，用a,b表示 AD，则 AD =()A.1 - - 1 - 1 -B. a +b C. a +b4444答案：B解析：AD =AB +BD =AB +3BC = AB +3(AC -AB)=4444&已知 a + b = 01 +3e2 , a - b =e1 -2e2，用 ©、e2 表示 a= ACo答案：e

20、1+2e29.已知a2 * * * -* *=te1+(k2 -1)e2,b =(2t+1)e1-3e2，且 a / b，试求 t 关于 k 的函数。答案:十口21 +2k210.如图,在 OAB中, OC= OA , OD = OB , AD与 BC交于 M点，设 OA = a , OB = b , (1 )试 42用a和b表示向量OM ( 2)在线段AC上取一点E,线段BD上取一点F,使EF过M点，设0E = aOA ,OF = HOB 。第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示知识梳理i 平面向量基本定理：如果01 , 02是同一平面内的两个不共线.不共线向量，那么对于这一平面内的 任一_向

21、量a ,有且只有_一对实数入i,入2使a = iei +入2e2特别提醒:（1）我们把不共线向量e,、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;（2）基底不惟一，关键是不共线;（3）由定理可将任一向量 a在给出基底e,、e，的条件下进行分解;（4）基底给定时，分解形式惟一，入i,入2是被a , q , 02唯一确定的数量2.平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与X轴、y轴方向相同的两个.单位向量_ i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数X、y，使得 a =xi +yj, O i我们把（X, y）叫做向量a的（直角）坐标，记作其中X叫做a在X轴上的坐标

22、，y叫做a在y轴上的坐标，O2式叫做向量的坐标表示* 与a相等的向量的坐标也为（X, y）.* *特别地，i =(i,0) , j =(O,i), 0 =(0,0).特别提醒：设0A = xi + yj，则向量0A的坐标（x, y）就是点A的坐标；反过来，点 A的坐标（x, y）也就是向量0A的坐标*因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3. 平面向量的坐标运算 若 a=(xi,yi), b=(x2,y2)，则 a + b = (xi +x2,yi +y2),a -b= (Xi -X2，yi -y2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差(2)若 A

23、(xi, yi), B(X2,y2)，则 AB = (x?花，y? % )一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标（3）右a =（X, y）和头数入，则Aa = （x,几y）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标4. 向量平行的充要条件的坐标表示：设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2)其中ba / b ( b hO)的充要条件是xiy2 X2yi=0重难点突破1. 重点：(1) 了解平面向量基本定理及其意义，了解基底和两个非零向量夹角的概念，会进行向量的分解及正交分解；(2) 理解平面向量的坐标的概念 ，掌握平面向量的坐标运算，会用坐

24、标表示平面向量的加、减与 数乘运算；2. 难点：用坐标表示的平面向量共线的条件，能用向量的坐标形式判断两向量以及三点是否共线.3. 重难点：(1)平行的情况有方向相同和方向相反两种 问题1：和a= (3, 4)平行的单位向量是-3a，即(5 ,- - 1因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量就是 -5错因:在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。正解:因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量是+丄5热点考点题型探AMM 设 OA=a,C考点一：平面向量基本定理题型1.利用一组基底表示平面内的任一向量* 1 * * 1 *例 1在 OABK OC = OAQD = OB AD与 BC交于点4

25、2OB = b，用 a, b表示 OM .解题思路:若e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的任何向B量都可用e,e2线性表示.本例中向量a, b可作基底，故可设OM =ma+ nb,为求实数 m n,需利用向量AM与AD共线,向量CM与CB共线,建立关于m n的两个方程.解析：设 OM =ma+ nb ,则 AM =(mT)a+ nb, AD =-a+-b2点A M D共线， AM与 AD共线,On5，-卄.而 CM =OM OC =(m-)a + nb , CB=-a+b44 C M B共线, CM与cB共线,1m -44 4m+n=1.1联立解得：mF丄

26、,73n=- , OM =-a77例2已知P是MBC所在平面内一点，AP的中点为的中点为S.证明：只有唯一的一点 P使得S与P重合.解题思路:要证满足条件的点是唯一的，只需证明向量 AP可用一组基底唯一表示.解析：证明设AB=a, AC=b ,贝y A1(AR +AC)=丄丄(AB + AQ) + AC 2 2 2=AB +AC +AP ,428由题设知：AS = AP二一AP =丄AB +丄AC842一 2 - 4 -”AP = a + b77由于a, b是确定的向量，所以AP是唯一的一个向量，即AABC所在平面内只有唯一的一点P使得S与P重合.【名师指引】解决此类类问题的关键在于以一组不共

27、线的向量主基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件, 把其它相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程，从而解出相应的值。【新题导练】1.若已知e,、e2是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是A.e,与一e2B3© 与 262C . e, + 62 与 G e2D . G 与 2e,答案：D2 .在 ABC中,已知AM：AB=1 : 3, AN： AC=1 : 4, BN与 CM交于点 P,且AB =a, AC =b，试解： AM AB=1 : 3,用a, b表示AP .AN： AC=1 : 4, _ 1 一 1 - AM = AB = a ,

28、 AN =AC =b ,3344 M P、C三点共线，故可设 MP = t MC , t R,于是,ILm 1-fc1 tAP =AM +MP = a+tMC = a+t(b-a)=()a+tb,3 3333同理可设设 NP = sNB , s R , AP= AN+nP-一)b + sa ,4 41 t-1 s -由得(一-_s)a +(t - )b =0 ,3 34 4AP3 -2 -=a +b -11 11考点二：平面向量的坐标表示与运算 题型1:向量加、减、数乘的坐标运算例 3已知 A ( 2,4 )、B ( 3, 1)、C ( 3, 4)且 CM = 3CA, CN = 2CB,求点

29、 M N 的坐标及向 量MN的坐标.解题思路:利用平面向量的基本本概念及其坐标表示求解。解析：/ A ( 2, 4)、B (3, 1)、C ( 3, 4).CA = (1,8), CB = (6,3) CM =3CA=3 (1, 8) = (3, 24), CN =2CB=2 (6, 3) = (12, 6)设 M(X, y)，则 CM =(x+3,y+4)x+3=3因此（yW24 得；：0, M (0,20 )同理可得 N ( 9 ,2 ) , MN =(90, 2 20) = (9, 18)【名师指引】灵活运用向量的坐标运算公式。【新题导练】3.若 A(0, 1),B(1,2), C(3,

30、 4)则 Ab -2BC =答案：（-3,-3）解：AB -2 BC :=(1 , 1 )-2 (2, 2) =(-3,-3)4.若 M(3, -2)N(-5, -1)且 1 MP ：= MN , 求P点的坐标;2解：设 P（X, y）则(x-3, y+2)=11 (-8,1)=(-4,-)22ix 3 = Yf X h-1 <3y = _ c P点坐标为(-1, -3)2考点三：向量平行的充要条件题型1:平行、共线问题【例4(广东省高明一中2009届高三月考)1已知向量 a = (1sin0,1), b= (,1 +sinS)，若 a / b，则锐角 9 等于()2A. 30 

31、6; B45。C. 60。 D . 75。解题思路:已知a、b的坐标，当求 a/ b时，运用两向量平行的充要条件X1y2 X2y1=0可求sinQ值.解析：B 解: (1-sin0)(1+sin8)-1 旷=0，故选 b2【名师指引】 数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键.本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到.【新题导练】5.若向量 a=(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，求x解： a=(-l,x)与b =(-x, 2) 共线(-1) 3 2- X?(- x)=0 a与b方向相同 x= J26.已知点

32、 0(0, 0) , A(1 , 2) , B(4 , 5)及 OP = OA + tAB ,求(1)t为何值时，P在x轴上？ P在y轴上？ P在第二象限。(2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的 t值；若不能，请说明理由。 rrO解：(1) OP = OA+tAB=(1+3t,2+3t)，若 P 在 x 轴上，只需 2+3t=0 , t=-；若 P 在 y 轴上,3只需 1+3t=0 , t=-1 ;若P在第二象限，只需31+3tc012 + 3t >0-rt1< -3(2) OA =(1,2), P B=(3-3t, 3-3t)若 OABP为平行四边形,贝y

33、OA = PB由于 3t 一1无解，故四边形 OABF不能构成平行四边形。l3-3t =2抢分频道基础巩固训练1. (广东省惠州市2009届高三第二次调研考试)设平面向量 a=(3,5)b=(2,1)，则 a2b=()A. (6,3) B . (7,3)C . (2,1)D.(7,2)答案：B 解析：a-2b=(3,5)2f2,1) = (7,3)2.(广东省深圳外国语学校在 ABC 中，AB= C , A2-1-A.b + c332009届高三统测(数学理)AC = b 若点 D 满足 BD =2DC，贝U AD =()5 - 2 - c b33答案：A 解析：由 AD-AB =2(AC -

34、 AD ),3.已知 a= (1,A 142), b= ( 3,14答案：C解析:由已知a=(1,a 3b= (10, 4),1 2 -C31 - . 2 -D. b +33AD = AB+2AC =c + 2b ,2）,当ka+b与a 3b平行，k为何值（1 D32), b= ( 3, 2),k a+ b= (k 3, 2k + 2).因(ka+ b)/( a 3b),故 10 (2k +2)+ 4 ( k 3) =0.4.（广东省黄岐高级中学 2009届高三月考）如图，线段AB与CD互相平分，则BD可以表示为 （AB+CD2 2A . ABCD B.C. (AB-CD) D.-(AB -C

35、D)答案：B线段AB与CD互相平分，所以5.如图，设P、ABC内的两点，且AP = 2 AB +1 AC ,5A. 15AQ = 2 AB3/IBD =；(CD - AB)AC，则 ABP勺面积与C.D. 13答案：B解析如图,设AM =-AB,5AD =-c + -b3ABQ的面积之比为C 1 -AN = AC则AP = AM + AN由平行四边形法则知 NP/ AB,所 5以進也ABCANAC1，同理可得签H。故处Mbq4 ,即选B.5BC =3，厶 ABC =60。所以"MH6. (2009年广东省广州市高三年级调研测试数学(理 科)如图，在 ABC中，已知 AB =2 , B

36、C =3, ZABC =60。, AH丄BC于H , M为AH的中点，若 AAM =aAB+PBC，则2答案：2 解析：AB =2 ,3所以BH=1, M为AH的中点,AA amPah=2(ab+Bh)AAAA= -(AB tBC) =-AB +- BC2 326综合拔高训练7.(广东省深圳外国语学校2009届高三统测(数学理)已知向量a =(1,sin0) , b =(1,J3cos 0)，贝U a b的最大值为3"答案：2 解析:a -b=sin 日-胎cosQ = 2sin(0 厶)<2.& (江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知向量a = (2,2), b

37、 = (5,k),若a + b不超过5，则k的取值范围是.答案：-6 , 2解析:+ b =|(3,2+k)|= j9+(2+k)2 <5解得 k 的取值范围是-6 , 29.已知a = (1,2), b = ( 3,2),当实数k取何值时，k a + 2b与2舌4b平行?【解析】方法 2 a 4b H0,二 存在唯一实数 几使 k a + 2b = A(2a 4b )将a、b的坐标代入上式得(k 6, 2k + 4) =A(14, 4)得k 6=14几且2 k + 4= 4几，解得k = 1方法二：同法一有 k a + 2b =几(2a 4b ),即(k 2几)a +( 2+ 4几)b

38、=0k - 2 A = 0k = 12 + 4 Z - 0 a与b不共线，10.已知点0( 0, 0), A (1 , 2) , B (4, 5),且 3P =OA + tAB .(1)当t变化时，点P是否在一条定直线上运动?(2)当t取何值时，点P在y轴上?OABP能否成为平行四边形？若能求出相应的t值；若不能，请说明理由.解：(1)由Op= OA + tAB可得AP = tABr , AP / Ab，又AP、AB都过a点，故 A p、b三点在同一条直线上，而 A B为定点，所以P点恒在直线 AB上运动.(2) OP= (1+ 3t , 2+ 3t),若P在y轴上，则1+ 3t=0 , t=

39、 -. (3) A、B P三点在同一条直线上，OABP不可能为平行四边形，若用 oA = PeT可列方3程组，但方程组无解.第3讲平面向量的数量积知识梳理1两个非零向量夹角的概念已知非零向量 a与b，作OA = a , OB = b，则_/ AO B= 0 (o< 0 w n ) 叫 a与b的夹角.特别提醒：向量a与向量b要同起点。2. 平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是0，则数量| a | b |cos日_叫a与b的数量积，记作a b，即有a_.b = | a| b |cos e特别提醒:(1) (ow 0 w n ).并规定0与任何向量的数量积为 0(

40、2) 两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量*P1)e a = a e =| a|cos 6；2)3)当a与b同向时，a b=| a| b| ；当 a与 b 反向时，a ”b = a| b4)特别的a a = |a|2或| a| = Ja acos e =聖|a|b|“投影”的概念:如图A5)a| b|3.特别提醒：投影也是一个数量，不是向量；当B为锐角时投影为正值；当 e为钝角时投影为负值；当 日为直角时投影为0 ;当9 = 0时投影为| b| ;当9 = 180时投影为 | b|4. 平面向量数量积的运算律交换律： a ” b = b ” a数乘结合律：Z

41、a L-bAa-b) =b) 分配律：(a + b) c = a c + b c5. 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量 (x1,y1) , b=(X2，y2)，设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量,X1X2 +yiy2那么 a = X"! i +y1 j ,= x2i +y2j 所以 3 4 =6. 平面内两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x-yj、(x2, y2),那么：|a|=J(X1 -X2)+(丫1-丫2)7.向量垂直的判定：设 a=(xi,yi), b=(x2,y2)，贝a 丄b = XiX2+yiy2=08.两向量夹角的余

42、弦(0<8<兀)cose =f "b =X1 X2 +严y2二|a|b|重难点突破1. 重点：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题;2. 难点：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题+3. 重难点：.(1)向量数量积与向量加、减、数乘运算的区别 问题1：两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。例：规定，a2 0=02 a =0(不是零向量0，注意与入0=0(入 R)区别)(2)向量数量积与实数相关概念的区别冋题2:表示方法的区别数量积的记号是a b ,不能写成ab

43、,也不能写成ab(所以有时把数量积称为 “点乘”，记号ax b另外有定义，称为“叉乘”).问题3:相关概念及运算的区别 若a、b为实数，且 a2b=0,则有 a=0或b=0,但a2 b=0却不能得出a = 0或b =0 .因为只要a丄b就有a2 b=0，而不必a = 0或b =0 .若 a、b、c R,且 aM 0,a M 0却不能推出 b=c 因若a2 b = a2 c得| a|2 | b|cos| b |cos 0 1=| c|cos 0 2,即b、c在a方向上投影相等，而不能得出b =c(见 若a、b、c R则a(bc)=(ab)c( 结合律)成立，但对于向量a、b、c，则(a2 b)2

44、 c与a2( b2 c)都是无意义的，这是因为a2 b与b2 c是数量，已不再是向量了，而数量与向量是没有点乘定义的同时，(a2 b) c丰a( b 2 c)，这是因为数量a2 b与向量c相乘是与c共线的向量，而数量b2 c与向量a相乘则是与a共线的向量，所以一般二者是不等的.这就是说，向量的数量积是不满足结合律的. 若 a、b R 贝U |a2b|=|a|2|b|，但对于向量a、b，却有| a2 b| < | a|2 | b|，等号当且仅当a / b时成立.这是因为| a2 b|=|a|2 | b|2 |cos0 | 而 |cos 0 | w 1 .热点考点题型探析考点一：平面向量数量

45、积的运算 题型1.求数量积、求模、求夹角例1已知=2,|3=3,与b的夹角为120°,求(1 a b;(2)a -b ; (3 ( 2a -b) (a +3b)； (4) a + b解题思路:解析：直接用定义或性质计算例2已知-71a b cos120o =2冥3"-) =32-2 V -(2)a -b = a -2(3) (2a-b) (a+严)2a +5¥-3匕 bcos120o-3b_ = 8-15 -27 = -34(4) a+=Va=1, b =72,且a-b与a垂直，求a与b的夹角。(1 a b =2a +5a+ 2a b + b = J4-6 + 9

46、 =77a b解题思路: 考虑公式 cos0 = 。|ar|b|解析：设a与b的夹角为6 'a-b与a垂直”.(a-fc)，a=0 即a -b a=0-2.ab=a =a =1二 cos寫日 0o,180o二 0 =二 二 a与b的夹角为-44(x1x2b)(a+Xqb的数量积，反之知道(x1a+x2b <x3x4b)的数量积及a,b的模则可求它们的夹题型2。利用数量积解决垂直问题例3若非零向量a、P满足a + P解题思路:只须证明a £ =0。解析:证明由a + P=a -P 得:=a _ P 二(a + P )2 = (a - P )2展开得：a .P =0,故a丄

47、P例 4在 ABC中，AB =(2, 3)，AC =(1, k)，且 ABC的一个内角为直角，求 k值*解题思路:注意分情况计论解析：当 A = 90 时，AB ”AC = 0，二 23 1 +3 3 k = 0 k = ?2当 B = 90 时，AB BC = 0 ,BC = AC -AB = (1-2, k3) = ( -1, k3) k =113.k =3±届2知a, b, c为 ABC的三个内角 A,B, C的对边，向量m = (73,T), n = (cosA,sinA).若m 丄 n，且 acosB + bcosA =csinC ,则角A, B的大小分别为( 23 ( -

48、1) +3 3 (kd) = 0当 C= 90 W, AC BC = 0 , X + k(k；) = 0-、 T T T T【名师指引】a丄b= a巾=0是一个常用的结论。【新题导练】1.(广东省普宁市城东中学 2009届高三上学期第三次月考)已知向量 a =(1, 1) , b =(2, n),若|a+ b| = a b ,A.- 3 B . -1 C . 1 D . 3答案：D解析：j9+(1+n)2 =2中n解得n =32.执信中学2008-2009学年度高三数学试卷兀A= 3答案：C解析：由m丄n可得m豹=0即J3cosA-sinA = 0所以角2一_兀且 acosB +bcosA =

49、csinC 及 B =-C可得 B =3 6考点2利用数量积处理夹角的范围 题型1 :求夹角范围例5已知|a|=2|b卜0,且关于x的方程X2 + |a|x + ab = 0有实根，则a与b的夹角的取值范围是Arc 江 1r 兀 1_兀 2 7!- jT -A.0， B. 匕，兀 C.百,片 D.【77,兀63336解题思路:要求两向量夹角0的取值范围，可先求cos 0的取值范围.夕o解析：由关于x的方程x +|a|x+a b=0有实根，得:|a| -4a > 0/. a b < I a |2.设向量 a,b 的夹角为 0，则 cos0 =,又 I a |= 2 I b |h 0,4 |a| ”|b|1 . -,2TT-，兀.答案B.3的取值范围，可先求COS 0的取值范围.4|a|1二 COS0 < 4= 一，二捕2【名师指引】要求两向量夹角【新题导练】3 .设非零向量a = (x,2x ),b = (3x,2 )，且a , b的夹角为钝角，求x的取值范围9解析 广 a , b 的夹角