点到直线的距离教学设计新部编版

1、精品教学教案设计| Excellent teaching plan教师学科教案20 20 学年度第_学期任教学科： _任教年级： _任教老师： _xx 市实验学校育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计| Excellent teaching plan教学基本信息课题点到直线的距离授课人北京市密云区第二中学王玥学科数学学段必修2相关领域解析几何教材书名：普通高中课程标准试验教科书数学（必修2）出版社：人民教育出版社指导思想与理论依据建构主义学习理论认为：个体的学习不是在一片空白或完全相同的背景下进行的，他的已有知识经验、信念、个性、情感等都不同程度的参与其中。所以，教学应当重视学生已

2、有的经验，把这些经验作为新知识的生长点，引导学生从原有经验中“生长”出新的知识经验。教学不是简单的知识传递，而是知识的处理和转换。同时数学课程标准明确指出：“倡导积极主动，勇于探索的学习方式。”基于此，本节课的教学从学生初中课本中的一个例子出发，引导学生发现解决同一问题的不同途径和方法。通过对几个具体的特殊的情况的分析和解决，从而得出推广到一般情况下的结论，体现了由特殊到一般的解决问题的方法。对于解决问题两种方法的思考来源，追问学生依据是什么，让学生体会新、旧知识之间的处理和转换，符合学生的认知特点。学生活动的设计，围绕以学生为中心，突出学生的主体作用。教学背景分析直线与方程是平面解析几何的第

3、一章，是研究解析几何的起始章节。在方法上介绍了坐标法，它是解析几何中最基本的研究方法。点到直线的距离这一节，是联结两点间的距离和两条平行直线间的距离的桥梁。它既是两点间距离的应用，又是两条平行直线间距离公式的来源，还可以求三角形的高，求圆心到直线的距离，求抛物线的方程等等。无论是从知识结构还是教材的编排上看，它都是本章的核心内容。学生刚刚接触解析几何，对坐标法的理解和掌握都不是很到位，因此本节课的教学继续强化学生对坐标法的理解和应用。学生已经掌握了直线的倾斜角和方程、直线的方程、两点间的距离等相关知识，在此基础上继续进行对点到直线的距离的探索。通过本节课的教学，能让学生在探索过程中深刻的体会到

4、新、旧知识之间的联系，领悟到蕴涵于公式推导中的重育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计| Excellent teaching plan要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想，由浅入深，由特殊到一般的研究数学问题的方法，培养学生的发散思维。本节课我采用启发式教学、计算机辅助教学等教学方式。启发式教学重视全面发挥学生的主观能动性，启发学生通过自己积极主动的思维去获取知识，发展思维能力，培养智力。启发式教学主要是善于问答，从引入的问题开始，通过一个个精心设计， 逐步递进的问题， 引发学生思考， 引导学生探索公式推导的思路并完成公式的推导，培养学生思维的灵活性，严密性，渗透数

5、学思想。计算机辅助教学，使学生直观感知点到直线的距离，并由特殊情况推广到一般情况，从而突破难点。谈话法是对部分学生进行前测，找到他们在恒等变形中存在的问题，针对这一问题， 我在直线是特殊的位置时，即平行（或垂直于）坐标轴时，向学生渗透了x, y 轴互换位置的想法，提高了学生对推导公式的操作性。建构主义的学生观认为教学应当重视学生已有的经验，把这些经验作为新知识的增长点，引导学生从原有经验中“生长出”新的知识经验。因此，在推导点到直线的距离公式的第一种方法中，将点到直线距离转化为两点间距离，体现了“化归”的数学思想方法。第二种方法运用了推导两点间距离公式中构造直角三角形的方法，培养学生学以致用的

6、能力。教学目标教学的目的是促进学生的发展，一是掌握数学基本知识、基本技能、 基本思想、 基本方法，二是培养数学能力，三是培养个性品质，得到全面发展，因此我将教学目标定为：1. 推导点到直线的距离公式，掌握点到直线的距离公式，会利用公式求点到直线的距离；2. 学生通过自主探究，个别展示，互助交流，共同寻求点到直线的距离公式的推导方法，在探究过程中，学生体会数形结合，化归与转化的数学思想方法，以及由特殊到一般的研究方法。3. 学生能够用联系的观点看问题，在探究问题的过程中形成锲而不舍的钻研精神，并体验成功的喜悦。重、难点从学生已有的知识和经验看，可以把点到直线的距离问题转化为点到点的距离问题，从而

7、完成任务，此种方法虽然思路清晰，但是计算量大，所以公式的推导是难点。公式的推导过程渗透了多种数学思想（数形结合，等价转化等），所以公式的推导也是重点，基于在解析几何中点到直线的距离公式的频繁应用，因此也将点到直线的距离公式的简单应用作为重点。育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计| Excellent teaching plan教学教师活动学生活动设计意图阶段一、创设情境，引入新课学生观察图从学生熟悉的片，找到解初中课本的例决问题的途子出发，学生径和方法，有亲切感，能创并回忆初中够激发学生学设求距离的方习兴趣。同时情法。也考查学生从境P 处，实际问题中抽问题 1：如图，在灌溉时，

8、要把河中的水引到农田引象出数学问题如何挖渠能使渠道最短？如何求这条最短渠道的长入的能力，引出度？新学生思考并高中阶段解决问题 2：点到直线的距离的定义是什么？课回答定义。几何问题的方直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。法可以不同于二、尝试探究，合作交流初中，初中可问题 3：已知一定点 P 的坐标为 ( 2,1) ，自己动手画直以进行度量，而高中阶段我线，并试着求出此时点P 到直线 l 的距离。学生动手在们可以用坐标尝教师通过巡视， 学生画的直线分三类： 垂直于 x 轴的直法解决几何问坐标纸上画线，垂直于 y 轴的直线， 既不垂直于 x 轴也不垂直于 y题，为本节内一条直线，

9、轴的直线。 前两种情况， 找学生说出具体的做法，然后容的引出做好试找具有代表将点的坐标和直线的方程推广到一般情况，表示点到直铺垫。性的学生作线的距离。品进行展明确点到直线探示。的距离的定义，为学生推导点到直线的究距离公式奠定基础。育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计| Excellent teaching plan（ 1） 当直线垂直于x 轴时：学生回答点使学生体会由P(x0 , y0 ) ， l : x ad x0a到直线的距特殊到一般的（ 2） 当直线垂直于y 轴时：离的表示。思想，由具体P(x0 , y0 ) ， l : y bd y0b到抽象的解决问题的方法，观察两个式子

10、， 当直线垂直于 x 轴时，得到了点到将 x 轴， y 轴合直线的距离 d x0a ，当直线垂直于 y 轴时，就可互换位置的思以看成是 x 轴， y 轴互换位置， 只要把式子中的x 换成想也为后面推y ，相应的 a 换成 b 即可。导点到直线的问题 4：当直线既不垂直于 x 轴也不垂直于 y 轴时，如距离公式提供何求点 P 到直线 l 的距离？给出一组具体点的坐标和直一种思路，可作以减少学生的线的方程，求此时点到直线的距离。计算量，为公式的获取节省时间。交通过巡视，选取具有代表性的解法，前面法 1:利用两点间距离公式展示的同学与流如图，由 2xy 40可得直线 l 的斜率为2 ，则直学生展示方

11、未展示的同学1 ，由直线方程的点斜式，法 1可以产生共线 PQ的斜率为可得直线 PQ2鸣。可以吸引1y2x4学生的注意的方程为： y2 ，联立方程1x，得教师点评力，找到自己2yx22点 Q 的坐标为 (4,12)，由两点间距离公式可得后，学生思与展示同学方55考其中所蕴法的异同。PQ( 42)2(121)275.含的数学思555想方法。方法 1 利用了两点间距离公式，将点到直线的距离转化育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计| Excellent teaching plan为以前学习过的两点间的距离，思路比较清晰，学生能够体会坐标法的思想，但是计算上略显繁琐。学生总结用两点间距离

12、公式求点到直线的距离的步骤：确定直线 l 的斜率 k求与 l 垂直直线的斜率求过点 P 垂直于 l 的直线 l ' 的方程求 l 与 l ' 的交点 Q求点 P 与点 Q 间的距离学生总结利用两点间距离公式求点到直线的距离的步骤。通过学生之间的纠错， 点评，能够发现自己的问题，解题步骤的总结，也为解决同一类提供了解决的方法和途径。使学生掌握解决同一类问题的规范的得到点P 到 l 的距离方法 2：等面积法如图， 过 P 点分别作 x 轴和 y 轴的平行线， 交直线 l 与R 和 S，则直线 PR的方程为 y 1 ,R 的坐标为 (3,1)，2直线 PS 的方程为 x2 ， S 的

13、坐标为 ( 2,8)，于是PR7, PS7, RS7 5 , 由三角形面积公式可22得， dRS75学生展示方PR PS , 所以 d法 25解题步骤。充分发挥学生学习的主动性，通过多种解法，解决问题，在上课的过程中，学生可能还会有其他的解法，在分析思路以及方法的可行性后，教师要给予肯定。解题步骤的总结育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计| Excellent teaching plan方法 2 利用三角形面积相等， 在计算上要优于方法教师点评1。先求与坐标轴平行的线段的长度，再求与坐标轴不后，学生思平行的线段的长度。把斜线段的长度问题转化为两条考其中所蕴图 9含的数学思平行于坐

14、标轴的线段的长度问题，体现了降维的思想。想方法。学生总结用等面积法求点到直线的距离的步骤：求出点 R 的坐标求出点 S 的坐标学生总结利用等面积法求点到直线求出 PR求出 PS的距离的步骤。利用勾股定理求出 RS等面积法求出PQ问题 5：推广到一般的直线，又该如何求点到直线的距将具体的情离？况推广到一方法：等面积法般情况，学过点 P 分别作 x 轴和 y 轴生思考如何的平行线，交直线 l 于 R和用点的坐标S，则直线PR 的方程为和直线方程y y0 ， R 的 坐 标 为中的系数来By0C表示点到直x0 ，S 的坐标(, y0 ) ；直线 PS的方程为 x线的距离。A为 ( x0 , Ax0

15、C )B也为后面推导点到直线的距离公式提供思路，规范解题步骤。方法2是教材中介绍的方法，将点到直线的距离转化为直角三角形斜边上的高，这种方法也是学生需要自己动手完成的，此方法的思路与上节课学习的两点间距离公式的推导方法相似，都是构造直角三角形，体现了知识之间的相互联系，以及学生学以致用的能力，同时也考察了学生一定的计算能力。育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计| Excellent teaching planPRBy0 Cx0Ax0By0C于是有AA,PSAx0CAx0By0CBy0BRS22A2B2PRPSA BAx 0 By0 C ,设 PQd ，由三角形面积公式可得dRSP

16、RPS , 于是得，PR PSAx0By0CdA2B2RS因此，点 P(x0, y0) 到直线l : AxBy C 0 的距离是教师明确方法后，学生自己动手推培养学生的计导公式。算能力。通过巡视发现学生推导过程中遇到的问题，找学生黑板板演，对于相dAx0By0CA2B2同的问题统一解决。获三、获取结论，巩固应用方法 1 用到了两点间距离公式， 能够与上节课的 两点间的距离 很好的衔接上， 但是易想难算， 方法 2 利用图形的几何特征， 可以使计算简化， 方法中的构造直角三角形也与推导两点间距离公式的方法类似， 可以让学生体会到方法的迁移。问题 6：当直线垂直 （或者平行） 于坐标轴时， 即 A

17、0或者 B0 时，公式是否适用？问题 7：如何记忆点到直线的距离公式？共同观察公式的简洁形式， 从数学美的角度出发， 用定点的坐标和定直线方程中的系数表示；公式保证了d 0 . ；距离公式是一个分式，分子是将定点坐标(x0, y0 ) 代入直线方程一般式的左侧，取绝对值，分母是 x, y 系数的平方和的算术平方根。学生分析两种方法的异同。学生验证，当A=0 ， 或 者说明推导B=0 时 公 式出的公式具有是否成立。一般性。学生观察公剖析公式式的特征并是教学中的一记忆公式。个重要环节，育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计| Excellent teaching plan例 1. （

18、 1）求点 A(1,2)到直线 2xy100的距离取解： x01, y02, A2, B1,C10d211 (2)10252212结（ 2）求点 B(2,3) 到直线 3x20 的距离解： 由 3x 20 ，得 x2d2(8，32)33论（ 3）求点 C(3,4) 到直线2 y50 的距离解：由 2 y 50，得 y5d513，2422问题 8：求点到直线的距离的步骤是什么？（ 1）当直线是平行（或垂直）于坐标轴的直线时，可以直接进行计算。（ 2）当直线与坐标轴既不平行也不垂直时，应用点到巩直线的距离公式。点到直线的距离公式是用直线的一般形式推导出来的，因此，用公式之前先要将直线方程化为一般式

19、。问题 9：应用公式求点到直线距离的一般步骤：固x0， y0（ 1）给点的坐标赋值：（ 2）给 A,B,C 赋值：A=,B=,C=应Ax0By0 C进行运算。（ 3）利用公式 dA2B 2备选例题： 已知点 A(1,3), B(3,1), C (1,0) , 求ABC 的面积。用四、归纳概括，总结反思问题10：通过本节课的学习，在知识和思想方法上有引导学生分析公式的特征，有助于加深对公式的理解和学生板演例记忆，为熟练1 的解题过应用公式奠定程。基础。使学生体会对于公式并不是拿来就用的，而是要先学生通过例观察直线方程1 总结求点的特征，对于到直线距离直线垂直于坐的 解 题 步标轴的情况，骤。可以

20、直接求解，其他情况时才考虑应用公式。学生总结应用公式求点到直线距离的步骤。加深学生对公式的理解和掌握。育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计| Excellent teaching plan哪些收获？学生总结本用初中的知识上：点到直线的距离公式节课的收方法解决起来思想方法上： 由特殊到一般的思想方法， 数形结合的思获。有些麻烦，但想，转化的思想。是利用坐标五、布置作业，查漏补缺法，可以大大1课本第 110 页 B 组 2， 3， 4减少计算量。2. 本节课关于点到直线的距离公式的探究告一段落，我同时加深对公们是否还有其它的推导公式的方法，可以留给同学们课式的理解，掌下思考。握与应用，强化基本技能。通过作业归进一步巩固本纳节课所学。将概课上的内容延括伸到课下，有总兴趣的同学可结以自行探究，反尝试用不同的思方法解决问题，同时将各种方法归类，找出其中的异同。育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计| Excellent teaching plan教学流程图创设情境，引入新课尝试探究，合作交流获取结论，巩固应用归纳概括，总结反思布置作业，查漏补缺教学反思本节课的设计创新之处在于：1. 激发学生的求知欲：用初中教材上的例子作为引例，使学生具有亲切感，对于初中可以解决的问题或者不容易解决的距离问题，到了