初中最短路径问题

1、最短路径问题（珍藏版）【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题.确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.全局最短路径问题-求图中所有的最短路径.【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”.【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”.【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形

2、、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.【十二个基本问题】【问题1作法图形原理/,方在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.连AB,与1交点即为P.AB两点之间线段最短.PA+PB最小值为AB.【问题2“将军饮马”作法图形原理品在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.作B关于1的对称点B，连AB，与1交点即为P.两点之间线段最短.PA+PB最小值为ABz.【问题3作法图形原理h也A在直线11、12上分别求点M、N,使PMN的周长最小.分别作点P关十两直线的对称点P，和P，,连P，P1与两直线交点即为M,N.,v：-仁pH两点之

3、间线段最短.PM+MN+PN的最小值为线段P，P，/的长.【问题4作法图形原理h在直线1i、12上分别求点M、N,使四边形PQMN的周k耳又小.分别作点Q、P关于直线11、12的对称点Q/和P，连CTP,与两直线交点即为M,N.Q,f|区N产两点之间线段最短.四边形PQMN周长的最小值为线段PP/的长.【问题5“造桥选址”作法图形原理*JTTa直线mIIn，在m、n,上分别求点M、N,使MNm，且AM+MN+BN的值最小.【问题6】将点A向下平移MN的长度单位得A，连AB,交n于点N,过N作NM，m于M.两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为A，B+MN.作法图形原理在直线l上求两点M、

4、N（M在左），使MN=a,并使AM+MN+NB的值最小.【问题7】将点A向右平移a个长度单位得A，作A，关于1的对称点AJWB,交直线1于点N,将N点向左平移a个单位得M.两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为AB+MN.作法原理在11上求点A,在12上求点B,使PA+AB值最小.作点P关于11的对称点P/,作p/b12于B,交12于A.一定点，在12上求点M,在11上求点N,使AM+MN+NB的值最小.【问题9】在直线1上求一点P,使IPA-PB的值最小.作法作点A关于12的对称点A7b作点B关于11的对称点B，连/B交12于M,交1i于N.作法连AB,作AB的中垂线与直线1的交点即为

5、P.图形点到直线，垂线段最短.PA+AB的最小值为线段P/B的长.原理两点之间线段最短.AM+MN+NB的最小值为线段AB，的长.原理垂直平分上的点到线段两端点的距离相等.|PA-PB=0.【问题10子在直线l上求一点P,使PAPB|的值最大.作法作直线AB,与直线l的交点即为P.图形A原理三角形任意两边之差小于第三边.PA-PB|-i*尸原理三角形任意两边之差小于第三边.PA-PBABZ.PA-PB最大值=ABZ.【问题12“费马点”AqABC中每一内角都小于120,在AABC内求一点P,使PA+PB+PC值最小.作法所求点为“费马点”，即满足/APB=/BPC=/APC=120,以AB、A

6、C为边向外作等边ABD、ACE,连CD、BE相交于P,点P即为所求.图形一%Fi工”fA二ac原理两点之间线段最短.PA+PB+PC最小值=CD.【精品练习】1.如图所示，正方形ABCD的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）ADA.2B.2C.3D.2.如图，在边长为2的菱形ABCD中，/ABC=60,若将AACD绕点A旋转，当AC、AD分别与BC、CDCDf交于点E、F,则ACEF的周长的最小值为（A.2B,2C.2+3.四边形ABCD中，/B=/AMN+/ANM的度数为(A.120B.130D=90,/C

7、=70,在BC、CD上分别找一点M、N,使AMN的周长最小时,)C.110D,1404.如图，在锐角ABC中,AB=4，/BAC=45,/BAC的平分线交上的动点，则BM+MN的最小值是5.且如图，RtAABC中，/C=90,/B=30,AB=6,点E在AB边上，点ED=AE,则线段AE的取值范围是.6.如图，/AOB=30,点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是.(注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,即RtAABC中，/C=90,则有AC2+BC2=AB2)7.如图，三角形AABC中，/OAB=/

8、AOB=15,点B在x轴的正半轴，坐标为B(6,0).OC平分/AOB,点M在OC的延长线上，点8 .已知A(2,4)、B(4,2).C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为此时C、D两点的坐标分别为9 .已知A(1,1)、B(4,2)(1) P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标;(2) P为x轴上一动点，求PA-PB的值最大时P点的坐标;(3)CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD=1,求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标;10点C为/AOB内一点.在OA求作点D,OB上求作点E,使CDE的周长最小，请画出图形；在(1)的条件下，若/AOB=30,OC=10,求CDE周长的最小值和此时/DCE的度数.n(1)如图，ABD和AACE均为等边三角形，BE、CE交于F,连AF,求证：AF+BF+CF=CD;(2)I1