函数的单调性叶小飞本PPT学习教案

1、会计学1函数的单调性叶小飞本函数的单调性叶小飞本第1页/共38页二、新知探究二、新知探究解析法图像法通俗语言：在区间（0，+）上， 随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。数学语言：在区间（0，+）上， 任取 ，得 当 时，有 。这时我们就说函数 在区间（0，+）上是增函数21,xx,)(,)(222211xxfxxf21xx )()(21xfxf2)(xxfx 01 2 3 4f(x) 01 4 9 16 列表法如何描述函数图像的“上升”“下降”呢？第2页/共38页0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x)

2、 y=f(x)图象图象特征特征数量数量特征特征第3页/共38页0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征第4页/共38页0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大第5页/共38页0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)

3、f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大第6页/共38页0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大y随随x的增大而减小的增大而减小第7页/共38页0yx1x2f(x2)f(x1)0

4、yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大当当x1x2时，时， f(x1) f(x2)y随随x的增大而减小的增大而减小第8页/共38页0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增

5、大的增大而增大当当x1x2时，时， f(x1) f(x2)第9页/共38页 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调减减函数函数，I称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)由此得出单调增函数和单调减函数由此得出单调增函数和单调减函数的定义的定义. .xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,区间区间I A. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域A内内某个区间某个区间I， x1,x2 I设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,区间区间I A. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域A内内某个

6、区间某个区间I上上 x1,x2 I 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，I称为称为f(x)的的单调单调 区间区间.增增当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 )，当当x1x2时，时，都有都有 f (x1 ) f(x2 )，单调区间单调区间第10页/共38页看下列函数图象看下列函数图象,下列各函数有没有单调区间下列各函数有没有单调区间,若有写出其单调区间若有写出其单调区间.图图1图图3图图2没有单调区间没有单调区间减区间减区间增区间增区间,00,没有单调区间没有单调区间第11页/共38页（2 2）函数单调性是针对某个）函数单调性是针对某个区间区

7、间而言的，是而言的，是一个局部一个局部性质性质; ;有些函数在定义域内可能是单调的如有些函数在定义域内可能是单调的如 y=x;y=x;有些有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上是减函数，还有的函数区间上是减函数，还有的函数是非单调的，如是非单调的，如y=c,y=2xxy=c,y=2xxN|1x5（1 1）如果函数）如果函数 y =f(x)在区间在区间D D是单调增函数或单是单调增函数或单调减函数，那么就说函数调减函数，那么就说函数 y = =f( (x) )在区间在区间I I上具有上具有单调性。单调性。 区间区间D D叫做叫做

8、y =f(x)的的单调区间单调区间在单调区间上，在单调区间上，增函数的图象是增函数的图象是上升上升的，减函数的，减函数的图象是的图象是下降下降的。的。判断判断1 1：函数函数 f (x)= x2 在在 是单调增函数；是单调增函数；, xyo2yx第12页/共38页判断判断2 2：定义在定义在R上的函数上的函数 f ( (x) )满足满足 f (2) (2) f(1)(1)，则函数则函数 f ( (x) )在在R上是增函数；上是增函数；（3 3） a) a) x x 1 1, , x x 2 2 取值的取值的任意任意性性; ;不能以特殊值代替不能以特殊值代替 b) 必须有大小，一般令必须有大小，

9、一般令 c)同属一个单调区间同属一个单调区间yxO12f(1)f(2)12,x x12xx第13页/共38页例例1：下图是定义在区间：下图是定义在区间-5，5上的函数上的函数y=f(x)， 根据图像说出函数的单调区间以及每一单调根据图像说出函数的单调区间以及每一单调 区间上，它是增函数还是减函数？区间上，它是增函数还是减函数？解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2), 1,3)是减函数，是减函数， 在区间在区间-2,1), 3,5 上是增函数。上是增函数。第14页/共38页例例2. 写出单调区

10、间写出单调区间1(1)(0);yxxx1yxy1yx的单调减区间是_ (,0)(0,),讨论讨论1：1(0)(,0)(0,)yxx能不能说在定义域上是单调减函数? ？不能不能数形结合的思想数形结合的思想要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地 说，它还需要进行证明。说，它还需要进行证明。（4）若函数 f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增(或减）函数一般不能简单认为f(x)在AB上是增（减）函数第15页/共38页yoxoyxyox

11、在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在 增函数在 减函数ab2-，,2abyoxyoxyox在(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数在 增函数在 减函数ab2-，,2ab(0)ykx b k(0)y kx bk1yx1yx2(0)yaxbxca2(0)yaxbxca第16页/共38页 x x1 1,x,x2 2 0 0，+）, ,且且x x1 1 x x2 2， 则：则：2121)()(xxxfxf2121xxxx由由0 x0 x1 1 x x2 2 得得 021 xx021xx于是于是 f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0 0。即即 f(xf(x1

12、 1) )f(xf(x2 2) )所以函数所以函数 在区间在区间0，+）上为增函数。）上为增函数。xxf)(证明:例例4 证明函数证明函数 在区间在区间0，+）上为增函数。）上为增函数。xxf)(第17页/共38页1 取值取值： x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差：f(x1)f(x2)；3 变形变形：通常是因式分解和通分；：通常是因式分解和通分；4 定号定号：即判断差：即判断差f(x1)f(x2)的正负；的正负；5 下结论下结论：即指出函数：即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的上的 单调性单调性第18页/共38页成果运用成果运用变式变式1请你说出一个单调减区间是请你说出一个

13、单调减区间是 的二次函数的二次函数, 1 变式变式2请你说出一个在请你说出一个在 上单调递减的函数上单调递减的函数, 1 ,12( )4f xxax 若若二次函数二次函数 在区间在区间 上单调上单调递增，求递增，求a的取值范围。的取值范围。 第19页/共38页( )21A yx 2( )31B yx 2()Cyx2()21D yxx1010 xxxx _第20页/共38页成果运用成果运用,12( )4f xxax 若若二次函数二次函数 在区间在区间 上单调上单调递增，求递增，求a的取值范围。的取值范围。 解：解：二次函数二次函数 的对称轴为的对称轴为 , ,由图象可知只要由图象可知只要 ，即，

14、即 即可即可. . 2( )4f xxax 2ax 12ax 2a oxy1xy1o第21页/共38页判断题：（1）已知f(x)= ，因为f(-1)f(2),所以函数f(x)是 增函数。（2）若函数f(x)满足f (2)f(3),则函数f(x)在区间2，3 上为增函数。（3）若函数f(x)在区间(1，2和(2，3)上均为增函数， 则函数f(x)在(1，3)上为增函数。（4）因为函数f(x)= 在区间（-，0）和（0，+） 上都是减函数，所以f(x)= 在（-，0）（0，+） 上是减函数。1x1x1x第22页/共38页例5：证明函数 上是增函数。 ），在（22)(xxxf2121,2,xxxx，

15、且证明：任取)2()2()()(221121xxxxxfxf)2()21 ()(2)22(21212121212112212121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx）（）（）（）（）上是增函数，在（，即，22)()()(0)()(022, 02212121212121xxxfxfxfxfxfxxxxxxxx第23页/共38页例6：证明函数 在R上是增函数。xxxf3)(证明：任取2121,xxRxx且)()()()(23213121xxxxxfxf则)(213231xxxx）（)()(2122212121xxxxxxxx）（) 1)(22212121xxxxxx1432)(2222212

16、121xxxxxxx143)2()(2222121xxxxx第24页/共38页例7：证明函数 在其定义域内 是减函数。xxxf1)(221xx 021xx上是增函数。在即）而（Rxxxfxfxfxfxfxxx3212122221)()()(, 0)()(01432第25页/共38页例7：证明函数 在其定义域内 是减函数。xxxf1)(2，的定义域为证明：)(xf)1()1()()(),(,222121212121xxxxxfxfxxfxx且设任意的11)1()1()(11)11()()()(11)()(11)()11(22212222112122212221212121222121212122

17、212221212221xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx第26页/共38页21xx 。在其定义域内是减函数即即有，都有对任意又，且xxxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxxxRxxxxx1)()()(0)()(01, 0101,110110221212222112222222121第27页/共38页思考思考例1（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数？ 为什么？12121212121122,( )( )()(), ()()()() ()() ()()x xDxx

18、f xDg xDf xf xg xg xF xF xf xg xf xg x且在区间 上是增函数，在区间 上是增函数)()()()(2121xgxgxfxf)()(, 0)()()()(212121xFxFxgxgxfxf即所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上仍为增函数是第28页/共38页（2）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是减函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数？ 为什么？（3）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：能否确定函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性？反例反例：f(x)=x在R

19、上是增函数，g(x)=-x在R上是减函数 此时 F(x)= f(x)+ g(x)=x-x=0为常函数，不具有单调性不能是同加，单调性不变第29页/共38页 g x ag xb f x fg x 12122121,( ),()().,.,x xm nxxg xm nag xbag xg xbf xa bfg xfg xfg xm n证：且是上减函数，且又是上的增函数,在上是减函数.第30页/共38页 fg x f x ag xb fg x fg x f x ,xa bx当时，函数g的值域。第31页/共38页小结：小结：同增异减同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的。研究函数的单调性，首先考虑

20、函数的定定义域义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。的单调性。的单调性，从而得出与的单调性，必须考虑对于复合函数)()()()(xgfyxguufyxgfy)(xgu )(xfy)(xgfy 增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数复合函数单调性复合函数单调性第32页/共38页注：注：第33页/共38页例例1.设设y=f(x)的单增区间是的单增区间是(2,6)，求函数，求函数y=f(2x)的的单调区间。单调区间。 2,2,62,6 ,22,6 ,4,0 .24,024,024,0 xxfttxxxxxxfxfxxfx 解：令t由已知得，在上是增函数。而t又t在上是单调递减的，由复合函数单调性知：t在上是单调递减的。的单调减区间是。第34页/