函数的单调性3PPT学习教案VIP

1、会计学1函数的单调性函数的单调性3复习巩固：函数的图像：函数 一次函数y=kx+b(k0)二次函数y= +bx+c(a 0)反比例函数y= (k 0)图像 k0k0 a0k02axxk观察函数图像，回答：从左往右函数在 范围逐渐增大，又在 范围逐渐减小。第1页/共24页第2页/共24页二：教学重点，难点1.重点：函数单调性的概念和证明2.难点：利用函数的单调性来解决一些 实际简单问题第3页/共24页三：新课构建：三：新课构建：1.情景引入：问题一：（1）一杯水中加糖，连续地均匀地加，糖水会有怎样的变化？第4页/共24页问题二：（将书翻到第21页，例题3），观察图形并回答以下问题：1.观察这个气

2、温变化图，说出气温在哪些时段内是逐渐升高的或下降的。问：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的变化气温逐渐升高”这一特征？又怎样来描述y 随x变化而变化这个现象呢？第5页/共24页四：单调函数的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A,区间IA.*如果对于区间I内的任意两个值 , , ,当当 时，时，都有f( )f( ),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)单调增区间。1x1x1x2x2x2x*如果对于区间I内的任意两个值 ， ,当当 f( ),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y=f(x)单调减区间。*如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数

3、或单调减函数，那么就说y=f(x)在区间I上具有单调性。单调增区间和单调减区间统称为单调区间1x2x1x2x2x1x1x2x1x2x2x1x1x2x2x1x2x1x2x2x1x1x2x1x2x2x1x1x2x1x1x2x1x2x1x2x1x2x2x1x2x1x1x2x2x1x2x1x1x2x1x1x2x1x2x1x2x1x1x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1x1x2x1x2x1x2x1x2x2x1x2x1x1x2x2x1x2x1x2x1x1x2x1x2x1x2x1x1x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1x1x2x1x2x1x2x1x2x2x1x

4、2x1x1x2x2x1x2x1x第6页/共24页注意：1.函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质。（这个区间可以是整个定义域这个区间也可以是定义域的真子集）2.单调性讨论必须在一个区间上。3.区间端点的写法（对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此写单调区间是包括端点也可以不包括也可以，但对于某些点无意义时单调区间就不包括这些点）(如 y= y=1x )12x第7页/共24页4.并不是所有函数都具有单调性，有的函数不具有单调性（如y=2，y=x(x0,1,2)5.函数单调性定义中的, ， 必须满足任意性，不可以随意取两个特殊值。函数单调性的几何意义

5、：单调增函数：在定义区间上图像从左到右上升单调减区间：在定义区间上图像从左到右下降1x2x第8页/共24页五.单调区间的求法：（1）直观法：对于我们熟悉的函数，如一次函数，二次函数，反比例函数等，可直观判断它们的单调性，写出其单调区间（2）图像法：能作出图像的函数我们可通过观察法确定函数的单调区间。（3）定义法：有些函数不能作出图像，也不能观察出单调区间，只有用定义法来求其单调区间，对于抽象函数单调性判断的方法第9页/共24页题型一，直观法去看常见函数单调性及单调区间.一次函数y=kx+b(k0),当k0时图像自左向右呈“上升”趋势，当k0时对称轴 左边图像自左向右呈“下降”趋势，右边图像自左

6、而右呈“上升”趋势；若a0时，在y轴左侧与右侧，图像自左而右均呈“下降”趋势，当k0)的单调区间，任取 且 则 这里的关键就是要确定 的符号，我们可以看出当都大于1时， ，当 都小于1时，从而知道 为减区间， 为增区间，但有些函数不能直接观察怎么办呢？x1), 0(,21xx, 21xx )1)()()(212112xxaxxxfxf2111xx21,xx01121xx21,xx01121xx1 , 0, 1第13页/共24页我们可以令 使 来找分段点，如此题就可以令 则由 =0 但 所以 就是分段点，我们这种方法称之为相等分界法。021xxx0)()(21xfxf021xxx2011x00

7、x, 10 x10 x练习：试着讨论 的单调区间)0()(axaxxf（2）抽象函数单调性的判定利用定义法和抽象函数的运算性质求解，求解的关键是证明任取 时有 （或 ）21xx )()(21xfxf)()(21xfxf21xx )()(21xfxf)()(21xfxf21xx )()(21xfxf)()(21xfxf第14页/共24页例子：已知对任意x,yR,都有 （t为常数）且当x0时 求证：f(x)是R上的单调减函数。 tyfxfyxf)()()(txf)(tyfxfyxf)()()(txf)(第15页/共24页六：判定函数单调性的常用方法：1.定义法：若要证明f(x)在a,b上是单调递增

8、的，就必须证明对于区间a,b上任意的两个自变量的值 ， ，当 时都有f( )f( )成立。问：那怎么证明函数在一个区间上不单调递增或递减呢？若要证明f(x)在a,b上不是单调递增的，只需举出一个反例就够了，即只要找到两个特殊的 ， ，满足a b ,而f( )f( )即可。1x2x2x1x1x2x1x1x1x2x2x2x第16页/共24页求证：函数 在区间 内为增函数xxxf2)(2, 1证明：设 是区间 内的任意两个值，且 ，则， 即故函数 在区间 内为增函数, 121,xx21xx )2(2)()(12122212xxxxxfxf)2)()(21212212122xxxxxxxx02, 0,

9、 1211212xxxxxx, 0)()(12xfxf).()(12xfxf, 1xxxf2)(2第17页/共24页 用定义法证明函数单调性的基本步骤： （取值 作差 变形 定号 结论）.取值：在区间上任意取 ， ，且 .作差变形：通过因式分解，配方，有理化等方法，将差变形为几个最简因式的乘积或非负数的和，即向有利于判断差的符号的方向变形.定号：确定差的符号，不确定时要进行讨论.判断：根据定义作出结论习题 1x2x2x1x第18页/共24页练习：证明：函数 在 内是单调减函数211)(xxf), 2( 211)(xxf), 2( 第19页/共24页第20页/共24页例子：画图像写出函数y= 的

10、单调区间x1由于函数的单调性是就其定义域的某个区间而言的，其单调区间不能用并集符号连接，而应该用“和”或“，”连接，所以不能说函数y=f(x)在区间（ ，0）（0，）幻灯片 8第21页/共24页练习：练习：一：下列说法是否正确？一：下列说法是否正确？（1 1）对于一次函数）对于一次函数f(x)=x+1,f(x)=x+1,因为因为-1,2(-,+),-1,2(-,+),当当-12-12时时,f(-1)f(2).,f(-1)f(2).所以函数所以函数f(x)=x+1f(x)=x+1在区间（在区间（-，+）上是增函数。）上是增函数。2)对于一次函数对于一次函数f(x)=x+1,因为因为 ， (-,+)，