函数极限与连续函数PPT学习教案VIP

1、会计学1函数极限与连续函数函数极限与连续函数.00意小就能任意小，并保持任）（，差充分接近只要gttvtt速速度度问问题题.1.21)(02的（瞬时）速度，求落体在时刻自由落体运动tgtts时时的的平平均均速速度度到到从从tt0).(212121)(00202ttgttgtgttv .000时的速度在，这个数值定义为落体）（时，当tgttvtt”即指：）无限趋近于（时，无限趋近于“当.00gttvtt一、函数在一点处的极限一、函数在一点处的极限第1页/共84页任意小任意小表示表示AxfAxf-)(,)( 的过程的过程表示表示00,0 xxxx-.)(Axf无无限限趋趋近近于于确确定定值值问题：

2、问题：x 0 x 0 x 0 x.00程度程度接近接近体现体现的去心邻域，的去心邻域，点点xxx 对应函数值对应函数值，=的过程中的过程中在在函数函数0 xxxfy)(第2页/共84页:Def,)(00点点本本身身）有有定定义义的的附附近近（可可能能除除去去在在点点设设xxxf时时，有有当当是是实实数数。若若对对 00, 0, 0 xxA记记为为点点的的极极限限在在是是则则称称,)(,)(0 xxfAAxf Axfxx )(lim0or.)(0）（xxAxf”法法“ 在点在点，则称，则称质的实数质的实数如果不存在具有上述性如果不存在具有上述性)(xfA.0极限不存在极限不存在的的x:), 0,

3、 00 xxx-(0 .)(Axf -Axfxx )(lim0第3页/共84页”的的含含义义。）理理解解“（ 002xx0000,0 xxxxxxxi且且）（去去心心邻邻域域）00 xxOx），（解解：关关于于极极限限定定义义的的几几点点理理. 2充充分分”表表明明只只要要时时总总有有）“（xAxfxx )(010.)(0能能任任意意小小并并保保持持任任意意小小，就就保保证证了了接接近近Axfx第4页/共84页.) 3 (有关有关只与只与 的的函函数数的的附附近近的的在在的的极极限限仅仅与与在在总总之之，xxxfxxf00)()(的的情情况况无无关关。在在的的变变化化有有关关，而而与与值值0)

4、()(xxfxf的的情情况况无无关关。在在点点的的极极限限与与在在点点）它它说说明明（00)()(xxfxxfii其其二二，的的定定义义域域，如如可可以以不不属属于于因因为为：其其一一，. 1)(0 xfx的的关关系系与与的的定定义义域域，此此时时，极极限限可可以以属属于于)()(0 xfAxfx).()(afAorafA仅仅有有两两种种：第5页/共84页：的的几几何何解解释释及及邻邻域域叙叙述述Axfxx)(lim. 30邻邻域域叙叙述述：，邻邻域域的的，邻邻域域),(),()(lim000 xOxAOAxfxx).,(),(00AOxfxxOx）（时时，有有当当几何解释几何解释: :.2,

5、)(,0的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线图图形形完完全全落落在在以以直直线线函函数数邻邻域域时时的的去去心心在在当当 Ayxfyxx)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo第6页/共84页311. lim3 .1xxx例 1由由，即即证证明明：先先限限定定,0.2011xx12231123 xxxxxx)422( ,14 xx).4, 1min(.41取取得得 x第7页/共84页例例2 2;lim0ccxx (1)00limxxxx (2)证：证：(1)0)(ccAxf-，任取任取xxx00:, 0, 0-,0cc -有有.lim0ccxx0)(xxAxf- (2),0:,

6、00 xxx-取取 0 xx -有有.lim00 xxxx第8页/共84页例例3 3 证明：证明：000lim,0 xxxxx时时当当00000)(xxxxxxxxxAxf-Axf-)(, 0 要使要使)20(000 xxxxx -,000 xxxx-就有就有时时当当00limxxxx,min, 0,0000 xxxxxx取取且且只要只要-第9页/共84页1limxxe0例例4 4 证明：证明：)10( , 0 不妨设不妨设)1ln()1ln(,1 xex-即即要使要使0)1ln(),1minln( -取取证明：证明：.1,0 -xex有有时时当当. 1lim0 xxe即即第10页/共84页例

7、例5 5 证明证明：4lim22 xx31,12xx即即证：不妨设证：不妨设-252242-xxxx52,4, 02 -xx只要只要要使要使,20,5, 1min -x当当取取 2542-xx有有4lim22xx从而有从而有第11页/共84页二、函数极限的性质和运算二、函数极限的性质和运算五种情形。平行地移到其它极限的性质和运算都能讨论之，所有关于函数这里就限相仿的性质和运算，函数极限具有和数列极)(lim0 xfxx当，则且，若, 0,)(lim)(lim. 1Pr00BABxgAxfopxxxx).()(,00 xgxfxx 有有时时).(2)(xgBAxf 1.函数极限的局部保号性函数极

8、限的局部保号性第12页/共84页从而从而有有,)(0 Bxg,0,min02,1时时当当取取 xx)(2)(xfBAxg有有,0:, 0,)(lim2020 xxxBxgxx由由);(20 xfABA 2)(0BABxg 有有,0:10 xxx从而从而,)(0 Axf, 0,2,)(lim100abAxfxx取由证明：证明：第13页/共84页00, 0,)(lim)(lim. 200 xxBxgAxfpropxxxx当且，若（反证法）则时，有.),()(BAxgxf00, 0),()(lim. 30 xxBABAAxfpropxx当则且若）（取取时时，有有BxgBxfBxf )().)()(。

9、时时称称函函数数极极限限的的保保号号性性特特别别，0 B第14页/共84页定义，定义，证明：根据函数极限的证明：根据函数极限的.2)(,0:. 0, 0101 Axfxxx有有.2)(,0: , 00202 Bxfxxx有有，对上述对上述时时当当取取 0210,minxx.1.证证之之由由证证：反反证证法法prop用用另另证证：由由极极限限定定义义，利利.,)(lim)(lim. 400BABxfAxfpropxxxx且，若2.函数极限的唯一性函数极限的唯一性.0BA ，可知，可知可以任意接近于可以任意接近于由于由于 BxfAxfBA)()(第15页/共84页时，有当若00, 0. 5xxpr

10、op).()()(xhxgxf “两边夹法则”“两边夹法则”.)(lim,)(lim)(lim000AxgAxhxfxxxxxx 则则且且3.夹逼性质夹逼性质第16页/共84页0,)(lim, 010 Axhxx由由证：证：，有有 Axhxxx)(,0:10 Axh)(从而从而2020:, 0,)(lim0 xxxAxgxx由由 0210:,minxxx取取 AxhxfxgA)()()(有有Axfxx )(lim0即即)(,)(xgAAxg 从而从而有有第17页/共84页AX X第18页/共84页:Def）也也分分，（，上上、下下界界不不唯唯一一，0 BA,)()(BxfAXxXxf ，有有对

11、对内内有有界界在在称称内内的的下下界界和和上上界界。在在分分别别称称为为，XxfconstBA)(, 别别是是下下界界、上上界界。.,)(constMMxfXx ，有有对对在在使使得得，则则（局局部部有有界界性性）若若)(, 0)(lim. 60 xfAxfpropxx.)()(0000内内有有界界，和和，在在区区间间xxxx4.局部有界局部有界性性第19页/共84页时时，有有，当当，则则证证明明：取取0001xx. 1)(1AxfA. 1)(1)()(AxfAxfAxf，得，得或或邻邻域域断断定定函函数数在在相相应应的的某某个个注注：由由极极限限存存在在，只只能能在在整整个个定定义义域域内内

12、有有界界，而而不不能能判判定定它它),(00 xxO，由由例例例例如如，内内有有界界（整整体体有有界界）。6,11)(3 xxxf)1 , 1 () 1 ,1 ()(, 0, 63)(lim1 和和在在，由由xfpropxfx和和在在内内有有界界，但但) 1 ,() 1( 111)(23 xxxxxxf内无界。内无界。，)1 ( 第20页/共84页且对任何数列）（,)(lim. 70nxxxAxfHeineThprop.limlim00Axfxxxxnnnnn）（，都有，）之之定定义义域域内内。（在在注注意意，此此处处要要求求xfxn5.5.函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系-海

13、涅定理海涅定理第21页/共84页有有时时当当，”对对“证证明明,0, 00:0 xx ,lim,)(0 xxxAxfnnn 有有又又已已知知，对对任任意意时时，有有当当故故对对上上述述NnNxxn , 0,0,)(.00AxfNnxxnn时时，有有从从而而，当当.)(limAxfnn 即即, 0, 0,)(lim00 对对则则”反证法。假设”反证法。假设“Axfxx第22页/共84页.)(0,00 Axfxxx时时，有有当当某某个个；时时，有有，取取010111)(10 ,1 Axfxxx；时时，有有，取取020222)(210 ,21Axfxxx；时时，有有，取取00)(10,1Axfnxx

14、xnnnnn,lim),(01,0 xxnnxnnnn故故有有因因由由此此得得数数列列与与已已知知矛矛盾盾。但但且且,)(lim,0Axfxxnnn 第23页/共84页(1)Prop7表明，函数列极限可化为数列极限，反之亦然。并且，表明，函数列极限可化为数列极限，反之亦然。并且， 它给出了函数极限存在的充要条件。因此，有关函数极限定理它给出了函数极限存在的充要条件。因此，有关函数极限定理 的证明可借助已知相应的数列极限定理予以证明。例如的证明可借助已知相应的数列极限定理予以证明。例如 证明证明 Prop 5 :，且可不妨设，且可不妨设，对任意对任意00,xxxxxnnn ,)(),()()()

15、,(00AxfxhxgxfxxOxnnnnn以以及及，有有AxgnAxhnn )(,)(由由数数列列极极限限性性质质得得）（)7).()(0propxxAxgn这里两次使用了），因之（注：注：Prop 7 的意义的意义(2) 应用应用 Prop 7 可证明某些函数的极限不存在。可证明某些函数的极限不存在。第24页/共84页 ，且且某某个个数数列列若若00,lim,.1xxxxxCorollarynnnn 也也不不存存在在极极限限。在在点点不不存存在在极极限限，则则而而0)()(xxfxfn,lim,.20/xxxxCorollarynnnn且且与与某某两两个个数数列列若若Bxfxxxxxxnn

16、nnnn)(lim,lim0/0/0，分分别别有有与与不不存存在在极极限限。在在点点则则且且与与0/)(,)(limxxfCBCxfnn两个推论两个推论第25页/共84页2 , 11)1(nnxn 证明：取证明：取没有极限没有极限在在证明证明01sin xx2 , 1221)2(nnxn 例例0lim0lim00)2()1()2()1( nnnnnnxxxx，且，且，则则0sinlim1sinlim)1( nxnnn但但1)22sin(lim1sinlim)2( nxnnn.01sin. 2没有极限没有极限在在由推论由推论xx第26页/共84页1,3.( )0,xDirichletD xRx当

17、 是有理数，例证明函数在 上每， 当 是无理数一点都不存在极限。一点都不存在极限。 有有且且取取有有理理数数列列证证明明：对对,lim,.000 xrxrrRxnnnn 有有且且取取无无理理数数列列,lim,; 1)(lim00 xsxssrDnnnnnn的的点点的的极极限限不不存存在在。由由在在由由此此，00)(. 0)(limxxxDsDnn。上上每每一一点点都都不不存存在在极极限限在在任任意意性性，RxD)(第27页/共84页则则若若运运算算法法则则,)(lim,)(lim. 100BxgAxfxxxx ,)()(lim0BAxgxfxx ,)()(lim0ABxgxfxx .0)()(

18、lim0）（ BBAxgxfxx推推广广至至有有限限多多个个情情形形. 1何何？条条件件不不成成立立时时结结论论如如. 2 ，有有且且，对对任任意意证证明明：由由00,lim,7xxxxxpropnnnn而由数列除法运算有.)(lim,)(limBxgAxfnnnn.7)()(lim得得证证，故故再再由由 propBAxgxfnnn 6.函数极限的运算法则函数极限的运算法则第28页/共84页,)(, 0)(lim. 2000）在在某某区区间间（若若运运算算法法则则xxxgxfxx. 0)()(lim,000 xgxfxxxx则则）有有界界（. 0,)()(MMxgxg在在给给定定区区间间内内有

19、有界界，有有证证明明：由由已已知知，101000)(0)(0 xxxxxf，当当，由由对对时时，则则当当取取时时，有有*01*0),min(.)( xxxf.)()()()(Mxgxfxgxf 有有第29页/共84页014.limsin0,xxx例则则，且且）若若例例如如：（,)(lim,)(limBABxgAxfixx .66.).()(0PxgxfXxX时，有，当）内内有有界界，则则，在在（且且）若若（ axgxfiix)(, 0)(lim. 0)()(lim xgxfx，当当则则或或若若0),()(lim)(00 BABAxfiiixx.)()(00etcBxfBxfxxx）（或时，有.

20、)0lim,1sin(0 xxx有有界界因因第30页/共84页5.lim,( ),( )xaP xP xQ xQ x（ ）例求其中都是多项式函数且（ ）. 0)( aQ.)()(limlimaQaPxQxPaxax ）（）（解解：原原式式第31页/共84页:Def（可可能能除除去去的的右右近近旁旁（或或左左近近旁旁）在在点点设设0)(xxf, 0, 0,0 是是实实数数。若若对对点点本本身身）有有定定义义Ax，）时时，有有（或或当当 Axfxxxx)(0000。记记为为的的右右极极限限（或或左左极极限限）在在点点是是则则称称0)(xxfAAxfxx )(lim00orAxf )0(0Axfxx

21、 )(lim00（或或or）.)0(0Axf 第32页/共84页).,(),(00AOxfxxx）（时时，有有当当，的的左左邻邻域域，邻邻域域)(),()(lim00000 xxxAOAxfxx).,()(00AOxfxxx）（时时，有有，当当.)(lim)(lim)(lim00000AxfxfAxfxxxxxx邻域叙述，的的右右邻邻域域，邻邻域域),(),()(lim00000 xxxAOAxfxxTh.第33页/共84页.)(, 00202 Axfxxx时时，有有当当，得得证证。取取),min(21 当当，对对”由由“证证明明, 00)(lim:0 Axfxx 000.)(0 xxAxfx

22、x而而时，有时，有等等价价，故故然然。和和与与0000 xxxxxx ，分分别别有有”由由条条件件，对对“0 ;)(, 01001 Axfxxx时时，有有当当第34页/共84页.1)(,0 xfx有有时时.)0()(1)00(0)00(不存在极限，故显然，xxfff，则则当当）（取取）（从从而而0log.log1111aax1000016.( )(1). ( ) lim( )0. ( ) lim( )1.1xxxf xaif xiif xa例得得，由由）证证明明：（, 11,110)(011xxaaxfi.0log),111(21(log111111aax取取不不妨妨设设得得，由，由）（,1,

23、1111)(011 xxaaxfii,0log),11(21(log111 aax有有不不妨妨设设第35页/共84页.lim0不不存存在在验验证证xxx1)1(limlimlim000 xxxxxxx证：证：例7例7yx11 o11limlimlim000 xxxxxxx.)(lim0不存在不存在左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等xfx第36页/共84页,0:, 0, 0)(lim00 xxxAxfxx,)(, 0”“ Axf”的情景，”的情景，描述的是“描述的是“Axf)(,0:, 00 xxx“”描述的是“描述的是“0 xx .)(成立成立有有 Axf的过程。的过程。第37页/共84

24、页离散增加）离散增加）（数列数列,01 nnxn连连续续增增加加）（函函数数,0), 0(1)(xxxxfxxyyoo1111xy1.ny1四、函数在无限远处的极限四、函数在无限远处的极限第38页/共84页Axfx)(limorAf )(or)()(xAxf, 0),()( 是实数。若对是实数。若对上有定义，上有定义，在在设设Aaxf在在是是则称则称时，有时，有当当)(,)(, 0 xfAAxfXxX 时时）存存在在（当当称称正正无无限限远远处处的的极极限限，或或xxf)(:，记为，记为极限极限ADef第39页/共84页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷

25、大时函数的极限第40页/共84页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限第41页/共84页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限第42页/共84页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限第43页/共84页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限第44页/共84页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限第45页/共84页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观

26、察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限第46页/共84页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限第47页/共84页定定义义比比较较与与注注axAxfnnx lim)(lim. 1axnn limAxfx )(lim函函数数定义域定义域自变量变化趋势自变量变化趋势函数值变化趋势函数值变化趋势nxy )(xfy N）（ , a nxaxnAxf)(AxfXxX)(0,0有有时时，当当, 0axNnNn有有时，时，当，当定义定义第48页/共84页的几何解释注Axfx)(lim. 2 Axf)(由由 AxfA)(.)(），（AOxfxyoX)

27、(xfy AAA第49页/共84页为为边边界界的的带带形形区区域域，表表明明：对对任任意意以以两两直直线线 Ay之之右右侧侧）时时，相相位位于于点点（即即点点，当当点点总总XxXxX 域域之之内内。的的图图象象位位于于这这个个带带形形区区应应的的曲曲线线)(xfy 时时，有有，当当，邻邻域域XxXAOAxfx0),()(lim).,()(AOxf情情形形：相相仿仿地地，可可定定义义 xx,第50页/共84页:Def Axfx)(lim限限函函数数在在负负无无限限远远处处的的极极.)(, 0, 0 AxfXxX时时，有有当当）上上有有定定义义，记记号号可可为为，在在（注注：设设axf )(Af

28、)(or).()( xAxf:Def Axfx)(lim函函数数在在无无限限远远处处的的极极限限.)(, 0, 0 AxfXxX时时，有有当当第51页/共84页时时有有定定义义，记记号号可可为为当当注注：设设axxf )(Af )(or).()( xAxf。由由定定义义易易证证注注意意比比较较上上述述三三个个定定义义.)(lim)(lim)(lim:AxfxfAxfThxxx 定定义义的的邻邻域域叙叙述述及及否否定定写写出出本本节节三三个个函函数数极极限限:ex叙叙述述。,00)(lim00XxXAxfx 某某个个，对对ts.)(00 Axf第52页/共84页8. lim0(01)xxaa例，

29、解解得得由由证证明明：xxaa0, 0.0lnln.0ln, 1lnlnaXaax取取）（不不妨妨设设 1lnln,0),1 , 0( xeexx只要只要要使要使证：证： 0:, 01lnxeXxX取取0lim xxe于是于是例例0lim xxe证明：证明：第53页/共84页.)2(定理限，分别有相应的对于这些不同的函数极Heine对对任任意意满满足足条条件件例例如如Axfx)(limAxfxxnxnnx )(limlim，有，有的数列的数列、只只当当函函数数极极限限为为有有限限数数关关于于函函数数极极限限的的性性质质，)1(时才成立时才成立与与 注注第54页/共84页10. lim arct

30、an.2xx 例得得证证明明：由由xxarctan22arctan,2(2tan2tan不不妨妨设设x. 02tan.02tanX取取）则则第55页/共84页以及以及:)0(, 0,:00 xxxxx:)0(, 0,:00 xxxxx:)0(, 0,:00 xxxxx:)(, 0,:XxxXx, 0,:XxXx, 0,:XxXx种情况；种情况；自变量的极限过程有六自变量的极限过程有六,000 xxxx第56页/共84页况：况：函数的极限值有四种情函数的极限值有四种情.,)( Axf;)(, 0:)( AxfAxf;)(, 0:)(GxfGxf;)(, 0:)(GxfGxf.)(, 0:)(Gx

31、fGxf分别有相应的表述方式：分别有相应的表述方式：第57页/共84页 AxfXxxXAxfx)(,:, 0, 0)(lim有有 AxfXxxXAxfx)(,:, 0, 0)(lim有有 AxfXxxXAxfx)(,:, 0, 0)(lim有有.)(lim)(lim)(limAxfxfAxfxxx 例如：例如：,0:, 0, 0)(lim00 xxxGxfxxGxf)(有有第58页/共84页五、函数值趋于无穷大五、函数值趋于无穷大, 0, 0,)()(lim000 xxxaAxfax（定定数数前前面面已已定定义义)(0axxfA时时，称称函函数数），特特别别，当当，易易证证是是无无穷穷小小（量

32、量）.0)(lim)(lim ）（AxfAxfaxax），其其中中（）（可可表表为为xAxfxf )(）是是无无穷穷小小。）（axx第59页/共84页,0,0,0)(lim00时时当当xxGxfxx).()(.)(0或发散到无穷大趋于无穷大在点称有xxfGxf等等不不同同过过程程，类类似似可可定定义义 , 0, 000 xxx种种）的的无无穷穷大大。如如（共共 18.)(, 0, 0)(limGxfXxXGxfx 时时，有有当当Def时时，当当00,0,0)(lim0 xxGxfxx.)(Gxf有有正无穷大时时，当当00,0,0)(lim0 xxGxfxx.)(Gxf有有负无穷大第60页/共8

33、4页的某的某反之，若在反之，若在，则，则若若0. 0)(1lim)(lim. 800 xxfxfpropxxxx），且且）（）无无零零点点（本本身身除除外外）个个邻邻域域内内（0.,.0 xfeixfx.)(1lim0)(lim00 xfxfxxxx，则则由由定定义义立立证证。讨讨论论）对对无无穷穷大大的的一一些些性性质质（仅仅0 xx 第61页/共84页时时）满满足足：当当（，而而若若00)(lim. 90 xxxgxfpropxx.)()(lim00 xgxfCxgxx，则则）（有有1010, 0)(lim, 00 xxxfGxx当当，由由证证明明：时时，有有则则当当取取时时*01*0),

34、min(.)(,xxGxf.)()(CGxgxf第62页/共84页0lim)(lim.00BxgxfCorollaryxxxx）（，).43.()()(lim0pxgxfxx)()()(lim.10000本本身身除除外外的的某某个个邻邻域域内内在在，而而若若xxxgxfpropxx.)()(lim0 xgxfxx有有界界，则则差差可可能能不不是是无无穷穷大大。注注：两两个个无无穷穷大大之之和和或或)( ,)(, 1)( xxxgxxf)0( ,1)(,1)( xxxgxxf大大。商商则则不不然然。两两个个无无穷穷大大之之积积是是无无穷穷第63页/共84页1011. lim(1).xxaa 例)

35、 1(lnln,log1, 01GGaxxGaGGax不不防防设设得得由由.,0, 0lnln1GaxGax有有时时则则当当取取证明：证明：第64页/共84页nnmmmmnnnnxbaxbxbxbbxaxaxaal01110111lim时时解：当解：当mn 时时当当mn 01lim01110111mmmmnnnnnmnxbxbxbbxaxaxaaxl1010010112. lim(0,0,)nnnmmxma xa xaabm nNb xb xb例第65页/共84页lim01110111mmmmnnnnmnxxbxbxbbxaxaxaaxl所以，所以，01110111limbxbxbxbaxax

36、axalmmmmnnnnx.,0mnmnmnnnba 时时当当mn 第66页/共84页六、两个常用的不等式和两个重要的极限六、两个常用的不等式和两个重要的极限.sin,. 1xxRx有对.0.tan,22时时成成立立等等号号仅仅当当有有时时当当xxxx如如图图，单单位位圆圆中中,AOCOABAOBSSS扇扇形形xyoBCAx11第67页/共84页时时，故故当当20.tan2121sin21.,.xxxxei时时，；当当有有02tansinxxxx.tan)tan(sinsin20 xxxxxx）（时，得时，得有有.0.tansin2时时成成立立等等号号仅仅当当时时，故故当当xxxxx.21si

37、n2证证毕毕时时，又又xxx第68页/共84页1sinlim.20 xxx除除之之得得用用时时且且当当xxxxxxsin.tansin,02xxxcos1sin1 orxxxcossin1 . 0212sin2cos1sin1022xxxxx从从而而.1sinlim0 xxx由由此此可可得得.1tanlim0 xxxxxysinXX第69页/共84页.)11 (lim. 3exxx 故故因因为为情情形形先先讨讨论论, 1.xxxx .1111111xxx .)11 ()11 ()111 (1xxxxxx从从而而第70页/共84页 ,)111 ()111 (lim1exxxx 又又 .)11 (

38、)11 (lim得得证证exxxx，则则作作代代换换情情形形其其次次讨讨论论yxx.yyyyxxyyx)111 (lim)11 (lim)11 (lim .)111 ()111 (lim1证证毕毕eyyyy则则令令,1yx .)1(lim10eyyy第71页/共84页.2122sin21lim2sin2lim20220 xxxxxxxxxsinsinlim0nxmxxsinsinlim0201 cos13. limxxx例. 1sinsinsinsinlim0 xxxxx)0,(.sinsinlim0nmnmnxnxmxmxnmx第72页/共84页)0(sinsinlimsinlim1400，和计算例xxxxxx )sin(limsinlim00 xxxxxx解解： xxxxxxxxsinsinlimsinsinlim00第73页/共84页，有有除除证证明明：用用xxfxsin)(0 xnxaxxaxxaxxfnsin2sinsin)(21. 1sinxx. 1sin2sin2sin121 xnxnaxxaxxan即即.12