函数极限连续06297PPT学习教案

1、会计学1函数极限连续函数极限连续06297函 数的定义反函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函 数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数第一章 函数 主要内容第1页/共58页1. 函数的概念定义: 定义域 值域图形:( 一般为曲线 )设函数为特殊的映射:其中求函数的定义域P9: 2题第2页/共58页有界性 ,单调性 ,奇偶性 ,周期性3. 反函数设函数为单射,反函数为其逆映射4. 复合函数给定函数链则复合函数为5. 初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数.第3页/共58页设函数且有区间(1) 有界性使称 使称 说

2、明: 还可定义有上界、有下界、无界 (2) 单调性为有界函数.在 I 上有界. 使若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界.称 为有上界称 为有下界,)(,Mxf),(,xfM 当,21Ixx21xx 时, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .xy1x如:y=1/x在(0,1)和 第4页/共58页xyoxx且有,Dx若, )()(xfxf则称 f (x) 为偶函数;若()( ),fxf x 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若在 x = 0 有定义 ,)(xf为奇函数时,则当必有定义域关

3、于原点对称图像关于y轴对称图像关于原点对称第5页/共58页,0,lDx且,Dlx)()(xflxf则称)(xf为周期函数 ,to)(tf22xo2y2若称l为周期( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为2注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数Cxf)(第6页/共58页(1) 反函数的概念及性质若函数)(:DfDf为单射,则存在逆映射DDff)(:1习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反函数 .其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增,)(1存在xfy且也单调递增 性质: 第7页/共58页2) 函数)(xfy 与其反函数

4、)(1xfy的图形关于直线对称 .例如 ,),(,xeyx对数函数互为反函数 ,它们都单调递增,其图形关于直线xy 对称 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo指数函数第8页/共58页1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且则设有函数链称为由, 确定的复合函数 , 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 1)(DDg不可少. 例如, 函数链 :,arcsinuy ,122xu函数,12arcsin2xyDx,1231,23但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数 .可定义复合第9页/共58页(1) 基本初等函数(六大类)幂函数

5、、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2) 初等函数由基本初等函数否则称非初等函数 . 例如 ,33xxy构成 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所称为初等函数 .又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .常数函数、第10页/共58页 初等函数2.幂函数3.指数函数5.三角函数1.常值函数4.对数函数6.反三角函数第11页/共58页常值函数oxyCy 1.常值函数constant functionCCy 其中C是常数定义域值域),(|Cyy第12页/共58页幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 2.幂函数(power fu

6、nctions )定义域值域都过点(1,1)第13页/共58页xay xay)1( a)1 , 0( 指数函数定义域值域),(), 0( 都过点(0,1)10a第14页/共58页4. 对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog)1( a)0 , 1( (logarithmic function)定义域值域),(), 0( 都过点(1,0)自然对数a=e=2.71828时10a第15页/共58页正弦函数xysin xysin 5. 三角函数定义域值域 1 , 1),(周期2奇偶性 奇函数 单调性 222232第16页/共58页xycos xycos 余弦函数定义域值域 1 ,

7、1),(周期2奇偶性 偶函数 单调性 222232第17页/共58页正切函数xytan xytan 定义域值域Zkkx,2周期奇偶性 奇函数 单调性 第18页/共58页余切函数定义域值域周期奇偶性 奇函数 单调性 第19页/共58页正割函数定义域值域2 kx周期2奇偶性 偶函数 单调性 23223第20页/共58页xycsc 余割函数定义域周期奇偶性 奇函数 单调性 23值域2第21页/共58页6. 反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数定义域值域 1 , 1奇偶性 奇函数 单调性 2,2第22页/共58页xyarccos xyarccos 反余弦函数反余弦函数定义

8、域值域 1 , 1单调性 第23页/共58页xyarctan xyarctan 反反正正切切函函数数定义域值域奇偶性 奇函数 单调性 2,2),(第24页/共58页xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc定义域值域单调性 ),(xxxarccosarcsin,1 , 1求第25页/共58页极 限的定义数 列函 数数列极限与函数极限之间关系四则运算无穷小无穷大无穷小比较极 限的性质唯一性有界性保号性极限存在准则两个重要极限极限第26页/共58页注意：;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn 极限定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正整

9、数 ,使得对于 时的一切 ,不等式 都成立,那么就称常数 是数列 的极限,或者称数列收敛于 ,记为 或 NNn nx axnanxa,limaxnn 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 2有关与任意给定的正数N数列第27页/共58页:定义定义N .,0,0lim axNnNaxnnn恒恒有有时时使使n,M正数总有nxM总有0nxM有界:无界:0n下界:上界:AxnAn总有实数,BxnBn总有实数,第28页/共58页性质1（极限的唯一性）收敛数列的极限必唯一.收敛数列必为有界数列.性质2（有界性）反之不一定成立推论 无界数列则必发散.,nnyxNnN时当则存在正整数性质3（保序性）,limli

10、mnnnnyx若).0(0, nnaaNnN或或时时当当则则存存在在正正整整数数推论1（保号性）),0(0,lim aaaxnn或或且且若若).0(0,lim)0(0aaaxxxnnnn或则且或若推论2则时，若当,nnyxNn.limlimnnnnyx第29页/共58页性质4（收敛数列与其子数列间的关系）那么它的任一子数列收敛于如果数列,axn.,a其极限也是也收敛发散数列判别法:1. 无界数列必定发散.2. 一子列发散,则数列发散.3. 两子列收敛到不同的极限,则数列发散.第30页/共58页单调增加有上界数列有极限；单调减少有下界数列有极限。准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限

11、.第31页/共58页定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axfx)(lim函数极限第32页/共58页函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表)第33页/共58页过 程时 刻从此时刻以后 x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过 程时 刻从此时刻以后 )(xf A

12、xf)(第34页/共58页左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当(right-hand limit)(left-hand limit)00000()lim( )()(0).xxxxf xAf xf xA记作或00000()lim( )()(0).xxxxf xAf xf xA记作或.)0()0()(lim000AxfxfAxfxx定理第35页/共58页定理2（函数极限的局部有界性）定理1（函数极限的惟一性）(注:对于六种极限形式都成立只要做相应的修改即可,可类似证明) 若)(lim0 xfxx存在，那么该极限

13、是唯一的，若那么存在常数 M 0,()fxM0 ，和使得当00 xx ，有xlimxlim0XXx |第36页/共58页推论0000lim( ),lim ( ),0,(, ),( )( ).xxxxf xAg xBABxU xf xg x 设且则有3.不等式性质定理(保序性).),()(),(, 0.)(lim,)(lim000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx则有若设注意:若将小于等于改成小于,极限式子也不可以改成小于.第37页/共58页).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim00 xfxfxUxAAAxfxx或时当则或且若定理(局部保号性)推论注意:若将小于等于改成小于,极

14、限式子也不可以改成小于.第38页/共58页.)(lim,)(lim,)(lim)2();()()() 1 (),(, 00000AxfAxhAxgxhxfxgxUxxxxxxx则都有若第39页/共58页一些基本初等函数的极限)0(01limxx) 10(0limaaxx) 1(0limaaxxxxarccotlim0arccotlimxx不存在xxarccotlim第40页/共58页00,0,0 |Mxx当时,|( )|f xM有0lim( )xxf x x 0X00,0,0 |Mxx当时,( )f xM有0lim( )xxf x 00,0,0 |Mxx当时,0lim( )xxf x ,+ ,

15、-所有以为极限的函数(包括数列)都称为在某个趋势下的无穷大无穷大无穷小第41页/共58页定理1 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1 在自变量的同一变化过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则定理4.在自变量的同一变化过程中,第42页/共58页(1)有限个正无穷大量之和为正无穷大量； 有限个负无穷大量之和为负无

16、穷大量。(2)有限个无穷大量之积为无穷大量。(3)非0常量C与正无穷大量之积为无穷大量。(4)无穷大量与有界量之和为无穷大量。 特别地，无穷大量与常量C之和为无穷大量。注：两无穷大量之和或差不一定为无穷大量。注：无穷大量与有界量之积不一定为无穷大量，无穷大量与无穷小量（或无穷大量）之商不一定为无穷大量。第43页/共58页无穷小的性质 ;无穷小的比较 ;常用等价无穷小: ;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x;x1xe;x第44页/共58页则有定理 1 . 若定理 2 . 若则有定理 3 . 若且 B0 , 则有定理5. 设且 x 满足时,又则有第45页/共58

17、页(2) ,消去零因子法1. 极限四则运算法则2. 求函数极限的方法 (3) 对 00型 , 约去公因子 ,分子分母同除分母最高次幂Th1Th2Th3Th4总结 (4) 型(无穷小因子分出法)(5)无穷项之和,变形后求极限(1)多项式与分式函数(分母不为0)代入法求极限(7)利用左右极限求分段函数极限(6)利用无穷小、无穷大运算性质求极限(8) 复合函数极限求法设中间变量洛必达法则洛必达法则第46页/共58页,0 ,00,1型0解决方法:通分转化0取倒数转化0010取对数转化00为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当

18、mn 当一般有如下结果：第47页/共58页 两个重要极限 e)11(lim)2(或e1)1(lim0注: 代表相同的表达式填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e第48页/共58页xxxlnlim) 1 (0求极限:能否直接使用洛必达法则:xexxxcos1) 1(lim) 3(0205cos1lim)2(xxxxxx131lim)3(022221lim)4(nnnnn第49页/共58页连续性间断点间断点的分类基本初等函数反函数复合函数初等函数连续性定义间断点定义闭区间上连续函数性质连续第50页/共58页有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续右连续,0,0当xxx0时, 有yxfxf)()(0函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:连续第51页/共58页定理2. 连续单调递增 函数的反函数定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积 ,商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .(递减).递增(递