第四章随机向量及其分布(1,2)

1、一、随机向量及其联合分布函数一、随机向量及其联合分布函数 第四章第四章 随机向量及其分布随机向量及其分布 在第三章，我们讨论了随机变量及其分布，但在实际在第三章，我们讨论了随机变量及其分布，但在实际应用中往往必须同时考虑几个随机变量及它们之间的相互应用中往往必须同时考虑几个随机变量及它们之间的相互影响。例如，在气象中气温、气压、温度、风力等都是需影响。例如，在气象中气温、气压、温度、风力等都是需要考察的气象因素，它们的数值都是随机变量。当然可以要考察的气象因素，它们的数值都是随机变量。当然可以分别地去研究它们，一个一个地处理，那么第三章提供的分别地去研究它们，一个一个地处理，那么第三章提供的方

2、法就可用了。然而这些随机变量之间有着甚为密切的关方法就可用了。然而这些随机变量之间有着甚为密切的关系，发掘并利用它们之间的关系显然是有重要意义的课题。系，发掘并利用它们之间的关系显然是有重要意义的课题。因此有必要把这些随机变量作为一个整体来考虑。因此有必要把这些随机变量作为一个整体来考虑。 设设n n个随机变量个随机变量X X1 1，X Xn n描述同一个随机现象，一般描述同一个随机现象，一般地它们之间存在一定的联系，因而需要把它们作为一个整地它们之间存在一定的联系，因而需要把它们作为一个整体来研究，我们称体来研究，我们称 n n 个随机变量个随机变量 X X1 1 ， X Xn n 的整体的

3、整体X X（X X1 1，X Xn n) )为：为： 随机向量。随机向量。 定义定义 随机随机变量变量 X X 为：为：第一个骰子出现的点数第一个骰子出现的点数。则：则： X X 所有可能取值为所有可能取值为 1 1，2 2，6 6，其分布率为：其分布率为：则则 Y Y 所有可能取值为所有可能取值为 1 1，2 2，6 6。其分布率为：其分布率为： 考察先后考察先后掷二个骰子掷二个骰子的的随机试验随机试验，其，其样本空间为样本空间为: : 定义定义 随机随机变量变量 Y Y 为：为：两个骰子两个骰子中的中的最大点数最大点数。XP1266/13456/16/16/16/16/1)6,1).(2,

4、1(),1 ,1()6,6).(2,6(),1 ,6()6,2).(2,2(),1 ,2(,)6,3).(2,3(),1 ,3()6,4).(2,4(),1 ,4(,)6,5).(2,5(),1 ,5(YP1263453611369361363365367 现现定义样本空间定义样本空间 上上二维随机向量二维随机向量（X X，Y Y）：）：X X ：第一个骰子出现的点数第一个骰子出现的点数。 Y Y为：为：两个骰子两个骰子中的中的最大点数最大点数。同时规定：同时规定：事件事件X Xxixi，Y Yyiyi表示事件表示事件X Xxixi与事与事件件Y Yyjyj的交的交。如（。如（X X，Y Y）

5、= =（2 2，5 5），），表示表示： 定义定义 随机随机变量变量 X X 为：为：第一个骰子出现的点数第一个骰子出现的点数。 定义定义 随机随机变量变量 Y Y 为：为：两个骰子两个骰子中的中的最大点数最大点数。XP1266/13456/16/16/16/16/1)6,1).(2,1(),1 ,1()6,6).(2,6(),1 ,6()6,2).(2,2(),1 ,2(,)6,3).(2,3(),1 ,3()6,4).(2,4(),1 ,4(,)6,5).(2,5(),1 ,5(YP1263453611369361363365367 现现定义样本空间定义样本空间 上上二维随机向量二维随机向

6、量（X X，Y Y）：）：X X ：第一个骰子出现的点数第一个骰子出现的点数。 Y Y为：为：两个骰子两个骰子中的中的最大点数最大点数。同时规定：同时规定：事件事件X Xxixi，Y Yyiyi表示事件表示事件X Xxixi与事件与事件Y Yyjyj的交的交。 如（如（X X，Y Y）= =（2 2，5 5），），表示表示 X=2X=2，Y=5Y=5 ，即：即：第一个第一个骰子出现的点数骰子出现的点数是是 2 2。 两个骰子两个骰子中的中的最大点数最大点数是是 5 5。相应的。相应的概率为：概率为：1/361/36。 则则二维随机向量二维随机向量（X X，Y Y）的的联合概率分布联合概率分布为

7、：为： 例例 4-2 4-2 掷二个骰子，第一个骰子出现的点数记为掷二个骰子，第一个骰子出现的点数记为 X X，两两个骰子最大点数记为个骰子最大点数记为 Y Y，求（求（X X，Y Y）的联合概率分布。的联合概率分布。 006/1|,iXjYPiXPjYiXP 解解 X X 所有可能取值为所有可能取值为 1 1，2 2，6 6， Y Y 所有可能取值为所有可能取值为 1 1，2 2，6 6。当当i ij j时，时，当当i ij j时，时，当当i ij j时，时， 36/ 16/ 16/ 1|,iXjYPiXPjYiXP 36/6/6/ 1|,iiiXjYPiXPjYiXP其中其中i i，j j

8、1 1，2 2，6 6。即（即（X X，Y Y）的联合概率分布为的联合概率分布为: : 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 636/121XY345636/136/136/136/136/136/136/136/136/136/236/136/136/136/136/136/136/336/636/436/5000000000000000P36/ 136/ 336/ 536/736/ 936/1116/16/16/16/16/16/1P 定义定义 4-1 4-1 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为 ， 对每对每一个一个 ，有确定的二个实值单值函数有确定的二个实值单值函数X X

9、（），），Y Y（）与与之对应，则称（之对应，则称（X X（），），Y Y（）为为二维随机向量二维随机向量，简记，简记为为（X X，Y Y）。）。（2 - 2 - dimensionalrandomvector ） 在定义在定义4-14-1中要注意中要注意 X X 和和 Y Y 是定义在同一个样本空间是定义在同一个样本空间 上的二个随机变量。上的二个随机变量。 现在约定：对于二维随机向量（现在约定：对于二维随机向量（X X，Y Y），），事件事件X Xxixi，Y Yyiyi表示事件表示事件 X Xxixi与事件与事件Y Yyjyj 的交，其中的交，其中X Xxixi和和Y Yyiyi均是样本

10、空间均是样本空间 的子集。同样的子集。同样，事，事件件XxXx，YyYy表示事件表示事件XxXx与事件与事件YyYy的交。的交。 定义定义4-2 4-2 设（设（X X，Y Y）是一个二维随机向量，是一个二维随机向量，x x，y y是二个是二个任意实数，则称二元函数任意实数，则称二元函数为（为（X X，Y Y）的的联合分布函数联合分布函数（jointjointdistributiondistributionfunctionfunction）。）。 与一维的情形一样，掌握了联合分布函数也就掌握了二与一维的情形一样，掌握了联合分布函数也就掌握了二维随机向量的统计规律。维随机向量的统计规律。 2)(

11、 ),(),(Rx,yyYxXPyxF 联合分布函数联合分布函数 F F（x x，y y）具有下列具有下列 5 5个基本性质：个基本性质： （1 1）2)( , 1),(0Rx,yyxF 证明（证明（1 1）（）（4 4），类似一维随机变量分布函数的四），类似一维随机变量分布函数的四（2 2）F F（x x，y y）对每个自变量都是单调非降的；对每个自变量都是单调非降的；（3 3）对一切实数）对一切实数 x x 和和 y y，则有则有（4 4）F F（x x，y y）对每个自变量都是右连续的；对每个自变量都是右连续的；1),( , 0),(),(FxFyF（5 5）对一切实数）对一切实数x x

12、1 1x x2 2，y y1 1y y2 2则有则有0),(),(),(),(11122122yxFyxFyxFyxF个基本性质，下面我们只证（个基本性质，下面我们只证（5 5）。）。 xy）yx,(D（5 5）对一切实数）对一切实数x x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2则有则有0),(),(),(),(11122122yxFyxFyxFyxF 证明：证明：由定义由定义4-24-2知知：),(),(yYxXPyxF是（是（X X，Y Y）落在区域落在区域 D D 内的概率内的概率：则则 ),(2121yYyxXxP),(),(121221yYxXxPyYxXxP),(),(2122

13、yYxXPyYxXP),(),(1112yYxXPyYxXP),(),(),(),(11122122yxFyxFyxFyxF再由概率的非负性，即知（再由概率的非负性，即知（5 5）成立。）成立。 xy）22,(yx02x1x1y2y 这是用这是用 F F（x x，y y） 来计算来计算 （X X，Y Y） 落在矩形区域落在矩形区域x x1 1 X x X x2 2，y y1 1 Y y Y y2 2概率的公式概率的公式 。2x1x1y2y),(yxF 任何一个联合分布函数任何一个联合分布函数 F F（x x，y y）一定具有以上五个基一定具有以上五个基本性质；反之，任何具有以上五个基本性质的二

14、元函数本性质；反之，任何具有以上五个基本性质的二元函数必可作为某一二维随机向量（必可作为某一二维随机向量（X X，Y Y）的联合分布函数。的联合分布函数。 由于联合分布函数由于联合分布函数 F F（x x，y y）全面描述了随机向量（全面描述了随机向量（X X，Y Y）的统计规律，显然由（的统计规律，显然由（X X，Y Y）的联合分布函数的联合分布函数 F F（x x，y y），），我们可以得到随机变量我们可以得到随机变量 X X 和和 Y Y 各自的分布函数，即各自的分布函数，即)()(xXPxFX),(xXP),(yxXP),(xF同样，同样，).,(limyxFy我们把我们把).,(li

15、m),()(yxFyFyFxY分别称为（分别称为（X X，Y Y）关于关于 X X，Y Y)(, )(yFxFYX的的边际分布函数边际分布函数（marginal distribution functionmarginal distribution function）。）。我们经常讨论的随机向量有两种类型：离散型和连续型。我们经常讨论的随机向量有两种类型：离散型和连续型。二、二维离散型随机向量及其联合概率分布二、二维离散型随机向量及其联合概率分布 定义定义 4-3 4-3 若二维随机向量（若二维随机向量（X X，Y Y）的所有可能取值是有的所有可能取值是有限对或可列无限多对，则限对或可列无限多对

16、，则 称（称（X X，Y Y）为二维离散型随机向量为二维离散型随机向量（2-2-dimensional discrete random vectordimensional discrete random vector）。）。 定义定义 4-4 4-4 设（设（X X，Y Y）的所有可能取值为的所有可能取值为则称则称.,.2, 1.;,.,2, 1 ),(njmiyxji为二维离散型随机向量（为二维离散型随机向量（X X，Y Y）的的联合概率分布联合概率分布（jointjoint.,.2 , 1.;,.,2 , 1 ),(njmiyYxXPPjiijprobability distributio

17、n probability distribution ），），也常用下列表格列出：也常用下列表格列出：1xXY2xmx2y1yny11p12pnp121p22pnp2mnp1mp2mp.联合概率分布完整地描述了离散型随机向量的统计规律。联合概率分布完整地描述了离散型随机向量的统计规律。联合概率分布具有下列两个基本性质：联合概率分布具有下列两个基本性质：.,.2,1.;,.,2,1 0njmipji（2 2）证明（证明（1 1）显然成立。）显然成立。 111 ijjip（2 2）由于）由于 11,ijjiyYxXP 11),(ijjiyYxXP再由概率的可列可加性知，再由概率的可列可加性知， 1

18、1),(ijjiyYxXP1)(11 Ppijij 联合概率分布一定具有以上二个基本性质。反之，若一串联合概率分布一定具有以上二个基本性质。反之，若一串（1 1）具有以上二个性质，具有以上二个性质，.,.2, 1.;,.,2, 1 0njmipji则则一定可作为某一二维离散型随机向量的联合概率分布。一定可作为某一二维离散型随机向量的联合概率分布。 下面举例说明如何求二维离散型随机向量的联合概率分布。下面举例说明如何求二维离散型随机向量的联合概率分布。 例例 4-1 4-1 箱子里装有箱子里装有 a a 件正品和件正品和 b b 件次品。每次从箱子件次品。每次从箱子中任取一件产品，共取两次。设随

19、机变量中任取一件产品，共取两次。设随机变量 X X 和和 Y Y 的定义如下：的定义如下： （1 1）第一次取出的产品仍放回去；）第一次取出的产品仍放回去；01X如果第一次取出的是次品如果第一次取出的是次品如果第一次取出的是正品如果第一次取出的是正品01Y如果第二次取出的是次品如果第二次取出的是次品如果第二次取出的是正品如果第二次取出的是正品 （2 2）第一次取出的产品不放回去。）第一次取出的产品不放回去。 在上述两种情况下分别求出二维随机向量（在上述两种情况下分别求出二维随机向量（X X，Y Y）的联合的联合概率分布。概率分布。 解解 0|000, 0: ) 1 (XYPXPYXP2)(ba

20、abaabaa 0| 101, 0XYPXPYXP2)(baabbabbaa即联合概率分布为即联合概率分布为: : 0|000, 0: ) 1 (XYPXPYXP2)(baabaabaa 0| 101, 0XYPXPYXP2)(baabbabbaa 1|010, 1XYPXPYXP2)(baabbaabab 1| 111, 1XYPXPYXP22)(babbabbab 0 1 0 122)(baa01XY2)(baab2)(baab22)(bab 例例 4-1 4-1 箱子里装有箱子里装有 a a 件正品和件正品和 b b 件次品。每次从箱子件次品。每次从箱子中任取一件产品，共取两次。设随机变

21、量中任取一件产品，共取两次。设随机变量 X X 和和 Y Y 的定义如下：的定义如下： （1 1）第一次取出的产品仍放回去；）第一次取出的产品仍放回去；01X如果第一次取出的是次品如果第一次取出的是次品如果第一次取出的是正品如果第一次取出的是正品01Y如果第二次取出的是次品如果第二次取出的是次品如果第二次取出的是正品如果第二次取出的是正品 （2 2）第一次取出的产品不放回去。）第一次取出的产品不放回去。 在上述两种情况下分别求出二维随机向量（在上述两种情况下分别求出二维随机向量（X X，Y Y）的联合的联合概率分布。概率分布。 解解 0|000, 0: )2(XYPXPYXP) 1)() 1(

22、11babaaabaabaa 0| 101, 0XYPXPYXP) 1)(1babaabbabbaa即联合概率分布为即联合概率分布为: : 1|010, 1XYPXPYXP 1| 111, 1XYPXPYXP 0|000, 0: )2(XYPXPYXP) 1)() 1(11babaaabaabaa 0| 101, 0XYPXPYXP) 1)(1babaabbabbaa) 1)(1babaabbaabab) 1)() 1(11bababbbabbab 0 1 0 1)1)()1(babaaa01XY)1)(babaab)1)(babaab)1)()1(bababb 由于（由于（X X，Y Y）的

23、联合概率分布全面地描述了二维离散型随的联合概率分布全面地描述了二维离散型随机向量（机向量（X X，Y Y）取值的统计规律取值的统计规律，因此，当（，因此，当（X，Y）的联合的联合概率分布已知时，我们就可求出随机变量概率分布已知时，我们就可求出随机变量X和和Y的概率分布的概率分布。 定义定义 4-5 4-5 我们将二维离散型随机向量（我们将二维离散型随机向量（X X，Y Y）中中 X X（或或 Y Y）的概率分布称为（的概率分布称为（X X，Y Y）关于关于 X X（或或 Y Y）的的边际概率分布边际概率分布（marginal probability distributionmarginal p

24、robability distribution）。）。 我们也可以直接将两个边际概率分布写在（我们也可以直接将两个边际概率分布写在（X，Y）的联的联合概率分布表中：合概率分布表中： 1xXY2xmx2y1yny11p12pnp121p22pnp2mnp1mp2mp. ipjp.1.jijipp.1p.2p.mp1.iijipp1.p2.pnp.例如，例例如，例4-1中的两个联合概率分布的边际概率分布分别为中的两个联合概率分布的边际概率分布分别为 0 1 0 122)(baa01XY2)(baab2)(baab22)(bab (1) (1) 1jp.baabab. ipbabbaa (2) (2

25、) 0 1 0 1)1)()1(babaaa01XY)1)(babaab)1)(babaab)1)()1(bababb1jp.baabab. ipbabbaa 从例从例4-14-1中我们可以发现，（中我们可以发现，（1 1）、（）、（2 2）两者有完全相同）两者有完全相同的边际概率分布，而联合概率分布却是不相同的。由此可知，的边际概率分布，而联合概率分布却是不相同的。由此可知，由边际概率分布并不能由边际概率分布并不能唯一唯一地确定联合概率分布。地确定联合概率分布。三、二维连续型随机向量及其联合密度函数三、二维连续型随机向量及其联合密度函数 定义定义4-6 4-6 设二维随机向量（设二维随机向量

26、（X X，Y Y）的联合分布函数为的联合分布函数为),(yxF若存在非负可积二元函数若存在非负可积二元函数，使得对任意实数使得对任意实数 x x，y y，有有),(yxp 则称（则称（X X，Y Y）为为二维连续型随机向量二维连续型随机向量（2-2-dimensionaldimensional xydudvvupyxF),(),(continuous random vectorcontinuous random vector），）， 而称而称 p p（x x，y y）为二维连续型随机向量（为二维连续型随机向量（X X，Y Y）的的联合密联合密度函数度函数（joint density funct

27、ion joint density function ）。）。联合密度函数具有下列两个基本性质。联合密度函数具有下列两个基本性质。（1 1）（2 2） 证明（证明（1）显然。）显然。 2),( 0),(Ryxyxp1),( dudvvup（2 2）),(lim),(1yxFFyx xyyxdudvvup),(lim dudvvup),(),(yxp 联合密度函数一定具有以上两个基本性质；反之，具有联合密度函数一定具有以上两个基本性质；反之，具有以上两个性质的二元函数以上两个性质的二元函数 p p（x x，y y）必可作为某一二维连续必可作为某一二维连续型随机向量的联合密度函数。型随机向量的联合

28、密度函数。 性质性质 4-1 4-1 设二维连续型随机向量（设二维连续型随机向量（X X，Y Y）的联合密度的联合密度函数为函数为，且且 D D 为为 x O y x O y 平面上的一个区域，则平面上的一个区域，则 证明证明 （略）（略）dxdyyxpDYXPD),(),(此性质的几何意义是：以此性质的几何意义是：以区域区域 D D 为底，为底，D D的边界为的边界为为准线，母线平行于为准线，母线平行于 z z 轴，轴，曲面曲面 z zp p（x x，y）为顶的为顶的曲顶柱体的体积。曲顶柱体的体积。 xy0Dz）yxpz,( 由性质由性质 4-1 的几何意义还可知，对矩形区域的几何意义还可知

29、，对矩形区域 D D：有有 ),(2121bYbaXaP 2121),(aabbdxdyyxpxy0Dz）yxpz,(1a2a2b1bdxdyyxpD),( 性质性质 4-2 4-2 设设 F F（x x，y y）为二维连续型随机向量的联合为二维连续型随机向量的联合xxyyyxyxdudvvupyyxxF),(lim),(lim)0, 0(),()0, 0(),(分布函数，则分布函数，则 F F（x x，y y）处处连续。处处连续。 证明证明 任意实数任意实数 x x，y y 即即 F F（x x，y y）在（在（x x，y y）处连续，又（处连续，又（x x，y y）的任意性的任意性 xyd

30、udvvup),(),(yxF可知，可知，F F（x x，y y）处处连续。处处连续。 二维连续型随机向量的名称也由此性质而得。二维连续型随机向量的名称也由此性质而得。 性质性质 4-3 4-3 设设 F F（x x，y y）和和 p p（x x，y y）分别是二维连续型分别是二维连续型),(),(2yxpyxyxF 证明证明 由高等数学中变上限积分的性质即知。由高等数学中变上限积分的性质即知。随机向量的联随机向量的联合分布函数和联合密度函数，则在合分布函数和联合密度函数，则在 p（x，y）的连续点上，有的连续点上，有 性质性质 4-3 4-3 表明，对于二维连续型随机向量（表明，对于二维连续

31、型随机向量（X X，Y Y）而言，而言，当已知联合分布函数当已知联合分布函数 F F（x x，y y）时，用求混合二阶偏导数可得时，用求混合二阶偏导数可得其联合密度函数。在其联合密度函数。在 p p（x x，y y）不连续点上即不连续点上即 F F（x x，y y）的偏的偏导数不存在点上，导数不存在点上，p p（x x，y y）的值可任意用一个常数给出，这的值可任意用一个常数给出，这不会影响以后有关事件概率的计算结果。不会影响以后有关事件概率的计算结果。 另外，当已知二维连续型随机向量（另外，当已知二维连续型随机向量（X X，Y Y）的联合密度函的联合密度函数数 p(xp(x，y) y) ，则

32、由定义则由定义4-64-6即可求得联合分布函数即可求得联合分布函数 F(xF(x，y).y). xydudvvupyxF),(),( 例例 4-3 4-3 设随机向量（设随机向量（X X，Y Y）的联合密度函数为的联合密度函数为求：（求：（1 1）常数）常数 c c；0),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）联合分布函数联合分布函数 F F（x x，y y）。）。);1( YXP 解解 （1 1）由联合密度函数的基本性质知）由联合密度函数的基本性质知 dxdyyxp),(132c从而得从而得c 1/3. 1/3. 10202)(dxdycxyx102202)2(

33、dxycxyx102)22(dxcxx01)32(23cxx 例例 4-3 4-3 设随机向量（设随机向量（X X，Y Y）的联合密度函数为的联合密度函数为求：（求：（1 1）常数）常数 c c；0),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）联合分布函数联合分布函数 F F（x x，y y）。）。);1( YXP 解解 （2 2）1),(yxdxdyyxp) 1(YXPDdxdyyxp),(dyxyxdxx10212)3(1023)213465(dxxxx7265xy0D1 yx112102212)23(dxxyxyx102226)1()1()322(dxxxxxx

34、x 例例 4-3 4-3 设随机向量（设随机向量（X X，Y Y）的联合密度函数为的联合密度函数为求：（求：（1 1）常数）常数 c c；0),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）联合分布函数联合分布函数 F F（x x，y y）。）。);1( YXP 解解 （3 3） xydudvvupyxF),(),(所以，当所以，当x 0 或或 y 0 时时 00),(),( xyxydudvdudvvupyxFxy0112),( yx 例例 4-3 4-3 设随机向量（设随机向量（X X，Y Y）的联合密度函数为的联合密度函数为求：（求：（1 1）常数）常数 c c；0

35、),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）联合分布函数联合分布函数 F F（x x，y y）。）。);1( YXP 解解 （3 3） xydudvvupyxF),(),(当当0 x 1，0 y 2时时 xydudvvupyxF),(),( xydudvuvu002)3(123223yxyxxy0112),(yx 例例 4-3 4-3 设随机向量（设随机向量（X X，Y Y）的联合密度函数为的联合密度函数为求：（求：（1 1）常数）常数 c c；0),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）联合分布函数联合分布函数 F F（x x，y y

36、）。）。);1( YXP 解解 （3 3） xydudvvupyxF),(),(当当0 x 1，y2 时时 xydudvvupyxF),(),( xdudvuvu0202)3(233132xx xy0112),(yx 例例 4-3 4-3 设随机向量（设随机向量（X X，Y Y）的联合密度函数为的联合密度函数为求：（求：（1 1）常数）常数 c c；0),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）联合分布函数联合分布函数 F F（x x，y y）。）。);1( YXP 解解 （3 3） xydudvvupyxF),(),(当当x 1，0 y 2 时时 xydudvvu

37、pyxF),(),( 1002)3(ydudvuvu1232yyxy0112),(yx 例例 4-3 4-3 设随机向量（设随机向量（X X，Y Y）的联合密度函数为的联合密度函数为求：（求：（1 1）常数）常数 c c；0),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）联合分布函数联合分布函数 F F（x x，y y）。）。);1( YXP 解解 （3 3） xydudvvupyxF),(),(当当x 1，y2 时时 xydudvvupyxF),(),( 10202)3(dudvuvu1xy0112),(yx 例例 4-3 4-3 设随机向量（设随机向量（X X，Y

38、Y）的联合密度函数为的联合密度函数为求：（求：（1 1）常数）常数 c c；0),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）联合分布函数联合分布函数 F F（x x，y y）。）。);1( YXP综上所述，综上所述， xy0112),(yx10),(yxF1232yy233132xx123223yxyx00yx或20 , 10yx2, 10yx20, 1yx2, 1yx),(yxp 当随机向量（当随机向量（X X，Y Y）的联合密度函数已知时，的联合密度函数已知时，如何如何求出求出随机变量随机变量 X X 和和 Y Y 的密度函数。的密度函数。 具体地说，已知（具体地

39、说，已知（X X，Y Y）的联合密度函数为的联合密度函数为，则：，则：所以，由密度函数定义知所以，由密度函数定义知),()()(YxXPxXPxFX xdudvvup),(xdudvvup),(同样，可求得同样，可求得Y的密度函数为的密度函数为 dyyxpxpX),()(dxyxpypY),()( 定义定义 4-7 4-7 我们称我们称为二维连续型随机向量为二维连续型随机向量dyyxpxpX),()(（X X，Y Y）关于关于 X X 的边际密度函数的边际密度函数（marginal density functionmarginal density function），），称称为二维连续型随机向

40、量（为二维连续型随机向量（X，Y）dxyxpypY),()(关于关于 Y 的边际密度函数。的边际密度函数。 例例 4-4 4-4 设（设（X X，Y Y）的联合密度函数为的联合密度函数为求（求（X X，Y Y）的边际密度函数的边际密度函数：).()(ypxpYX，03),(xyxpxyx0, 10其它解解 先画出区域（先画出区域（x x，y y）0 0 x x1 1，0 0y yx x的图形，的图形，dyyxpxpX),()(则则xy011xy 与二维离散型随机向量一样，对于二维连续型随机向量与二维离散型随机向量一样，对于二维连续型随机向量03302xxxdy10 x其它dxyxpypY),(

41、)(023233)(21yxdxypyY10 y其它（X X，Y Y）而言，而言， 两个边际密度函数两个边际密度函数也不能惟一地确定联合密也不能惟一地确定联合密度函数。度函数。 下面介绍两个常用二维连续型随机向量。下面介绍两个常用二维连续型随机向量。1 1二维均匀分布二维均匀分布 定义定义 4-8 4-8 设设 G G 是平面是平面 xOy xOy 上的一个有界区域，其面上的一个有界区域，其面积记为积记为 S SG G（0 0）。）。若二维连续型随机向量（若二维连续型随机向量（X X，Y Y）的联合的联合密度函数为密度函数为: :则称（则称（X X，Y Y）服从区域服从区域G G上的二维均匀分

42、布（上的二维均匀分布（2-2-dimensionaldimensional01),(GSyxpGyx),(其它uniform distributionuniform distribution）。）。 容易验证容易验证 p p（x x，y y）满足满足联合密度函数的两个基本性质。联合密度函数的两个基本性质。xy0Gz）yxpz,(GS1 若二维随机向量（若二维随机向量（X X，Y Y）服从区域服从区域G G上的二维均匀分布，上的二维均匀分布，且且GD ，则则 上式表明，上式表明， 二维随机向量二维随机向量),(DYXPDdxdyyxp),(DGdxdyS1DGdxdyS1GDSSxy0Gz）yx

43、pz,(GS1D（X X，Y Y） 落在区域落在区域 D D 内的概率内的概率与与 D D 的面积成正比，而与的面积成正比，而与 D D 在在G G 中的位置和形状无关。这也是中的位置和形状无关。这也是二维均匀分布名称的由来。二维均匀分布名称的由来。 特别地，当特别地，当G G为矩形区域时，即为矩形区域时，即 G G（x x，y y）a x ba x b，c y dc y d则此二维均匀分布的联合密度函数为则此二维均匀分布的联合密度函数为0)(1),(cdabyxpdycbxa,其它xy0z）yxpz,()(1cdabGbacd 如果我们在一个面积为如果我们在一个面积为 S SG G 的平面区

44、域的平面区域 G G上等可能地投上等可能地投点，令（点，令（X X，Y Y）表示落点的坐标，则（表示落点的坐标，则（X X，Y Y）服从区域服从区域G G上上的二维均匀分布。因此，二维均匀分布实际上就是平面上几的二维均匀分布。因此，二维均匀分布实际上就是平面上几何概型的随机向量描述。这样，平面上几何概型问题皆可利何概型的随机向量描述。这样，平面上几何概型问题皆可利用二维均匀分布解决。用二维均匀分布解决。 例例 4-5 4-5 在区间（在区间（0 0，a a）的中点两边随机地选取两点，的中点两边随机地选取两点，aYaaX2 ,20求两点间的距离小于求两点间的距离小于 a/3 a/3 的概率。的概

45、率。 解解 以以 X X 表示中点左边所取的随机点到端点的距离，表示中点左边所取的随机点到端点的距离，Y Y 表示中点右边所取的随机点到端点的距离，即表示中点右边所取的随机点到端点的距离，即所以，（所以，（X X，Y Y）的联合密度函数为的联合密度函数为即（即（X X，Y Y）服从区域服从区域 G G上的二维均匀分布。上的二维均匀分布。04),(2ayxp其它ayaax2,20又又“两点间距离小于两点间距离小于a/3a/3”等价于事件等价于事件: : 3aXYDdxdyyxpaXYP),()3(, ,则则92426322dyadxaaxaa3axy6axy02/aa2aGDxy0a2/aXY如

46、用第一章几何概率计算为：如用第一章几何概率计算为：22)2/()62(21)3(aaaaXYP.92492122aa2二维正态分布二维正态分布 定义定义 4-9 4-9 若二维连续型随机向量（若二维连续型随机向量（X，Y）的联合密度的联合密度其中其中)()(2)()1(212212222212121212121),(yyxxeyxp,2121).,(),(222121NYX 可以可以验证验证 p p（x x，y y）满足联合密度函数的两个基本性质满足联合密度函数的两个基本性质。函数为：函数为： 为常数，且为常数，且则称（则称（X X，Y Y）服从二维正态分布（服从二维正态分布（2-2-dime

47、nsional normaldimensional normal1| , 0, 0,2121distributiondistribution），），记作记作（1 1）（2 2）2),( 0),(Ryxyxp1),( dudvvup 性质性质 4-4 若若 ).,(),(222121NYX 证明证明 令令 则则).,(),(222211NYNX则,2211yvxudvedyyxpxpvuvuX)2()1(2121222121),()(dveeuvu)1(2)(221222)1 (2121dteetu22122212121221ue21212)(121xe即为正态分布的密度函数，所以即为正态分布的

48、密度函数，所以同理可证：同理可证： ),(211NX).,(222NY 第四章第四章 习题习题 （P99）1，2，3*，4 （离散）离散）5，6*，7*，8*，9*，10，11*，12（连续）连续）13（正态）正态） 在第一节中，我们曾经指出，二维随机向量（在第一节中，我们曾经指出，二维随机向量（X X，Y Y）的联合概率分布或联合密度函数不仅描述了的联合概率分布或联合密度函数不仅描述了X X与与Y Y各自的统各自的统计规律，而且还包含了计规律，而且还包含了X X与与Y Y相互之间关系的信息。当随机相互之间关系的信息。当随机变量变量X X与与Y Y取值的规律互不影响时，称取值的规律互不影响时，

49、称X X与与Y Y独立，这是本节独立，这是本节讨论的重点。当随机变量讨论的重点。当随机变量X X与与Y Y取值的规律相互影响时，其取值的规律相互影响时，其中中有一类关系有一类关系相关性，将在第五章第三节讨论。相关性，将在第五章第三节讨论。 定义定义 4-10 4-10 设设 F F（x x，y y）为二维随机向量（为二维随机向量（X X，Y Y）的的)(),(yFxFYX联合分布函数，联合分布函数，分别为二维随机向量（分别为二维随机向量（X X，Y Y）的两个边际分布函数。若对于任意实数的两个边际分布函数。若对于任意实数x x，y y，有有则称则称随机变量随机变量 X X 与与 Y Y 相互独

50、立相互独立（independentindependent）。）。否则，否则，)()(),(yFxFyxFYX称称随机变量随机变量 X X 与与 Y Y 不独立不独立（not independentnot independent）。）。 对于二维离散型随机向量，随机变量对于二维离散型随机向量，随机变量 X X 与与 Y Y 相互独立，相互独立，可等价定义可等价定义如下。如下。证明从略。证明从略。 定义定义 4-11 4-11 设二维离散型随机向量（设二维离散型随机向量（X X，Y Y）的联合概率分的联合概率分布为布为：若对于任意的正整数若对于任意的正整数 i i，j j，有有jiijppp.,.2 , 1.;,.,2 , 1 ),(njmiPyYxXPijji即即 )()(),(jijiyYPxXPyY