行列式计算方法

1、. .计算行列式方法的简单归纳摘要：行列式是线性代数的重要内容，它在计算机科学、经济学、管理学等很多方面都有重要的应用。掌握其计算的方法是深刻了解它的关键，本文将简要的概括计算它的一些常用方法。其中对于复杂的行列式，总是将其转化为熟悉的三角行列式、低阶行列式等来进展计算。关键词：行列式、计算方法、转化、三角行列式、低阶行列式。1行列式的定义及相关性质1.1行列式的定义数学中的逻辑推理过程都是建立在定义之上的，要了解行列式的计算方法，掌握其定义是至关重要的。行列式的定义对计算有着关键性的作用，首先定义行列式。将个数排成n行n列，记其中是1，2，n的排列，t是排列的逆序数,表示对1，2，n所有排列

2、共n!个求和。称式上式左边为n阶行列式，右边为n阶行列式的展开式，称为n阶行列式中位于第i行第j列位置上的元素。1.2行列式的性质在计算行列式时，必然会应用到行列式的性质，下面简述行列式的一些根本性质。a.行列式的值与它的转置的行列式的值是相等的。b.对换行列式的某两行的位置，行列式的值变号，对换两列也同样变号。当行列式某两c.行或列的对应元素相等时，行列式的值为零。d.行列式某一行或列的所有元素的公因式K可以提到行列式符号外。特别地，行列式某行元素全是零时行列式的值为零，行列式某两行成比例时，行列式的值也是零。e.假设行列式某一行列的每一个元素都可以写成两个数的和时，其值等于两个行列式的和，

3、这两个行列式分别以这两组数作为其相应的行列，其余各行列的元素等于原行列式。f.把行列式的某一行列的元素乘以一样的数加到另一行列上，行列式的值不变。2.计算行列式的常用方法2.1用定义直接计算。按照行列式的定义进展计算的方法称为定义法。按照行列式的定义，展开项数为的阶层个项，其中每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积，求和时只要找出非零的项就行，所以，如果行列式中有较多的零元素，那么它的展开项中非零项就较少，这种类型的行列式通常很实用定义法的计算。 例1.二阶行列式解析：根据n阶定义行列式的定义，上式的值是两项和的代数和，根据定义很容易确定它们的符号分别为正和负，那么行列式的值为。例2.求四阶行

4、列式的值。解析：根据定义，行列式是24项的代数和，然而这个行列式里除了，外，其余的项智商都有一个零因子，因而为零。确实这四项的符号后，那么行列式的值为.。例3行列式的值为。解析：根据行列式的定义，此行列式是24项的代数和，但除了这一项外，其余项都含有零因子，容易确定的符号为正，那么次行列式的值为。像例3这种类型主对角线以上的元素全是零的行列式，叫做下三角行列式，同理也有上三角行列，即主对角线以下全是零的行列式。对于上三角行列式：，根据行列式的定义，展开项的一般形式为在行列式中，n行的元素除了以外全为零，因此，只要考虑的那些项。在行中，除了第列的元素外，其余项都为零，因此只能为。这样逐渐的递推下

5、去，除了这一项外，其余的项都为零。又因为这一项的列下标的排列是偶排列，所以，这一项带正号。于是=对于下三角行列式，同理有所以，上三角行列式和下三角行列式的值都等于对角线上所有元素的乘积。例4计算行列式的值。解：行列式中不为零的一般项为，这些项中列的排列为，这个排列的反序数为，那么行列式的值为。2.2化为上下三角形行列式进展计算。这种方法即是：在计算行列式时，运用行列式的性质将行列式化为三角形的行列式进展计算。例5.计算行列式的值。解：将行列式的第一行乘以3加到第二行，将第一行乘以1加到第三行，那么得到。例6计算行列式的值。解：交换第一和第四行得：，第一行乘以-1加到二和三行得：，又将第二和三行

6、加到第四行得=3例7计n阶行列式。解：观察可知道这个行列式的每一行列的元素之和都是相等的，根据行列式的性质，把行列式的后面n-1列全部加到第一列得：=。2.3按行列展开法。一般来说，低阶的行列式比高阶的行列式容易记算，此法本质上是将高阶的行列式展开为低阶的行列式进展计算。依行依列展开时，用的到元素代数余子式。元素的代数余子式是化掉该元素所在的行和列多得的行列式在乘以。行列式D按行展开的公式，按列展开的公式是。例8计算行列式。解：依第一列展开得： =1239=27例9计算行列式的值。解：此行列式有较多的零，按第一列展开得 = = =例10求行列式的值。解析：设该行列式为D这个行列式中有很多零元素

7、，观察到按第一列展开后可以得到两个三角型行列 式，所以按第一例展开后可得D=上述的三种方法是计算行列式的根本方法，他们之间不是孤立存在的，相互之间有一定的渗透。在计算行列式时往往都会总会各种方法，选择比较简单的方法来进展计算。在选择方法时，一定要仔细的观察行列式的特点，根据它的特点来选择。有些高阶较复杂的行列式，运用上述的三种方法不易计算，这时需要用到较复杂些的方法，如递推法、归纳法等。2.4用递推法进展计算。 这种方法的即是：利用行列式的相关性质定理，将行列式展开降阶后，得到与它具有一样构造的行列式的线性关系，然后反复的用这种线性关系将行列式进展降阶，直到二阶，再将二阶行列式的结果代入所得的

8、线性关系式中计算原行列式。例11计算的值。解析：通过观察可知，按照第一行展开这个阶行列式后，可以得到与的递推关系式，那么可以使用递推法来计算。按第一行展开得：=。于是= 1同理得 2 由1和2解得例12.计算阶范德蒙行列式=的值。解析：观察可知，将第前面的列的每一列乘以加到它的后一列，就可使最后一行除了第一列的元素外，其余元素都为零。所以，将第列乘以加到第列上，再将第列乘以加到第列上，如此这样的一直做下，直到第一列乘以加到第二列为止。那么得到= =将上式的中的每一行公因子提出行列式外后，就得到一个的阶的范德蒙行列式，记为。那么有：= =于是得到递推公式=，利用递推公式反复的递推下去，那么得到=

9、 =这是一个很实用典型的行列式，可以利用它的结果去计算其他相关行列式的值。例如行列式=。有些情况下可以构造范德蒙行列式来计算，所以记住范德蒙行列式的结果是非常有用的。2.5运用数学归纳法进展计算。数学归纳法在计算行列式中，也有一定的应用，可以对阶数进展归纳法。例13.计算阶行列式的值。解析：当=2时，行列式当=3时，行列式 =由=2和=3的情形，猜想阶行列式的值为假设对阶行列式，猜想成立，那么对阶行列式降阶后得= +=+=所以猜想成立，由归纳法的原理知原行列式的值为对于有很多给出结果的行列式，证明它的结果时，通常情况下都可以应用到归纳法，例如，可以用归纳法证明范德蒙行列式的结果。2.6.运用拉

10、普拉斯定理进展计算。拉普拉斯定理在理论方面用重要的运用。运用拉普拉斯定理，可以将高阶的行列式降低为低阶的行列式进展计算。用拉普拉斯法计算行列式时，一般情况下，虽然需要计算大量的低阶行列式，但对一些特殊的行列式，运用此法却是非常方便的。拉普拉斯定理：在阶行列式中，任取定行列，由这行列构成的元素构成的一切阶子式与它对应的代数余子式乘积之和等于行列式。设在中，取定行列后的一切阶子式为它们对应的代数余子式分别为，那么=，其中。例14计算行列式的值。解：按第一第四行X开得= =利用拉普拉斯定理来计算行列式，一般选定的k行上k阶子式的元素为尽量多的零时，计算才会简便。例15计算行列式=。解：运用拉普拉斯定理计算，按4,5列展开得=2.7升阶加边法。 有些行列式通过升高它的阶数，会容易化简些。升阶法就是通过给行列式加上一行和一列保证行列式的值不变化，在进展化简计算的方法。升阶法一般适用于各列中只有对角线元不同的行列式。例16计算=解：给加上一行一列得= = = = =3.计算行列式的心得。 行列式的计算方法有很多种，这些方法如果要深入的讨论，可以说是一门很深的学问。上文中所表达的方法比较常用，其中笔者认为最重要的一点是化为三角行列式来计算。掌握计算行列式方法对于计算行列式尤为重要，但在遇到较为复杂的行列式时，却不一定能够运用方法计算出结果，会出现