华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C

1、第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题一、填空题（每小题10份，共80分）3.2-2.9520.31.计算:+120.252+2.3-145【答案】1【考点】计算：分数小数综合运输【解析】原式经竺0.750.9123312 .在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字，则“数学竞赛”所代表的四位数是2024【答案】1962【考点】组合：数字谜-数学竟赛解析竟寡遇到减法数字谜通常变成加法会更利于分析：竞赛数学竞赛2024赛赛个位为4,所以赛为2或7,若赛为7则会进位，和的十位只能是奇数，所以赛2;竞竞个位为2,若竞2,原式为12201220

2、14,有重复数字；所以竞6,数学竞赛1962.3 .如下图，在直角二角形AB，点F在AB卜丹AF2FB,四边形EBCD是平行四边形，那么FD：EF为【答案】2:1【考点】几何：沙漏模型【解析】AC/BE由沙漏模型可知FD:EFAF:FB2:14 .下图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点.一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面.如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米，水平爬行的速度为每秒4厘米，则蚂蚁至少爬行了多少秒？【答案】40秒【考点】组合：最值问题【解析】要想时间最少，则需要按如图中的粗线爬行；蚂蚁向上

3、、向下爬行的最短路程是1226236厘米，水平爬行的路程是1232240厘米，所以至少用时36236340440秒5 .设a,b,c,d,e均是自然数，并且abcde,abc4d5e300,则ab的最大值为【答案】35【考点】组合：最值问题【解析】a和b是五个数中最小的两个，要想ab最大，则希望这五个数尽量接近，先估算再局部调整；3001234520,则先让c20.而18219320421522310,大于300,调整得：17218319420521295，离300差5,则最后让5e522即可.所以ab的最大值171835.也可通过计算证明ab最大只能取到35:300a2b3c4d5ea2b3

4、(b1)4(b2)5(b3)a14b26a6(a1)7bb267(ab)b32(ab)322_11可彳导ab35156,现有甲、乙、丙三个容量相同的水池.一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一期向丙水池注水.已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要个小时.【答案】4【考点】应用题：工程问题【解析】设注满丙池用x小时，则注满乙池用时x4小时，注满甲池用时x9小时；利用丙池工效应该等于甲乙两池工效之和可得:111x4x9xx9x41x4x9x2x131x213x36x222x21

5、3xx213x36x236x6所以注满丙池的三分之二需要624小时3注:通常工程问题都设工效为未知数，但此题如果设工效，则方程非常难解，需要用到初中知识因式分解中的十字交叉法，对于小学生来说是无法做的.而本题解法比较巧妙，设丙池的时间，最终只需要解x236即可，所以有时候还是需要有突破性的思维，学会打破常规，寻求出路.7,用八块棱长为1cm的小正方体堆成一个立体图形，其俯视图如下图所示，则共有种不同的堆法.（经过旋转能重合的算一种堆法）【答案】10【考点】计数：分类枚举【解析】4块的方法即可法一：（先每列放几块讨论）可以直接分类枚举，也可以先再每个位置放一块，这样只需要分析剩下白044000,

6、1种；%0311110,3种,1|32（这两个不一样，此题的易错点），3|0_13MHs!共:法二:（按每层放几块讨论）二、三、四块的情况.见下图，第二层有5种堆法；第二层有三块，有3种堆法；第二层底层已用了四块小方体，考虑第二层分别有一块，只有1种堆法；第二层有两块，有有四块，只有1种堆法.总计有10种堆法.连接CF交DE于P8 .如图，在三角形ABC中，AF2BF,CE3AE,CD4BD,点，则EPDP,15【答案】158【考点】几何：风筝模型【解析】连接DF和EF.同理可得AF2BF,所4c41SkBCF一二SaABC553SDCF因为以SABCFABC，1s二SABC3又因为CD4BD

7、,1-TSAABC；所以2EPDPS/EFCSADCF1s万sABC4s，_1sxABC15158注：填空题所以直接使用了风筝模型的结论，如果是解答题同学们最好自己证明一次.二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9 .有三个农村在一条公路边，分别在下图所示的A,B和C处.A处农场年产小麦50吨，B处农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨.要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦，假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5元，从C到A方向每v-500千米吨每千米1元.问仓库应该建在何处才能使运费最低？IMOF淞【答案】A处【考点】应用题：分类讨论【解析】讨论变化趋势，比较A、B

8、两点设仓库可知A-B运费越来越高，而BfA则运费越来越低,同理可知C-B运费越来越低，而具体比较三点：BfC则运费越来越高.若建在A处,运费为：60(5001200)若建在B处,运费为：601200150若建在C处，运费为：50(5001200)1105001107000元5001.5109500元1.51012001.514550元所以建在A处运费最低.122012201310 .把,.,-0,-0中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以20142014201420142014为分母的所有分数的和是多少？【答案】468【考点】数论：因数倍数【解析】全部分数都化成最简分数分母还是2014,则说

9、明原分子和2014互质，接下来计算12013中，与2014互质的数有有多少个即可，这一步有两种方法：法一：（容斥原理）201421953,201321006,%3=105,192013372013201325318201319531;所以12013中，与2014互质的数有201310061053752181936个;中，与2014互质的数有法二：（利用欧拉公式直接计算）因为201421953,所以12013111936个;2014111-21953a2014a而这936个数中，只要有一个一a一是最简分数，一定也有一个a也是最简分数，20142014两个一组和为1（如：20131；3工0111）

10、,所以他们的和为20142014201420149362468.11 .上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见下图的（a）,（b）,和（c）.现有5块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木在地面上组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（下图（d）是其中一种摆放方式）.【答案】13【考点】计数：分类枚举、乘法原理【解析】先拆分5,再算每种情况有多少种摆法即可两块：532,2种5311,3种221,3#四块：52111,4种五块：511111,1种共：2334113种.求此自然数12 .某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数,【答案】1

11、60,208,400,2848【考点】数论：因数倍数、分类讨论【解析】设这个数为a,则a39m2，a144n222mnmnmna39a1441051051105335521715(1) m1105253,a5353392848；(2) m335219,a191939400;(3) m521213,a131339208；(4) m715211,a111139160；所以a可能为160,208,400和2848.三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13 .如图，圆周上均匀地标出十个点，将110这十个自然数分别放到这十个点上，用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时

12、，就把110分成两组，每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式，对于每种分组都有一个两组数和的乘积.记五个积中最小的值为K,问所有的摆放中，K最大为多少？【答案】【考点】【解析】1756组合：最值问题、构造与论证23L1055,共55要分成两组,差小积大可知，当这两组的和分别为27、则两组的和一定为28时，乘积为2755,28756,需要构造出一种摆法能实现五个分组方式中，两个组的和都为以实现，构造方法不唯一，如图所示为两种不同的情况.由最值原理：和一定，756最大.而K要取到27、28.经尝试，可211941025938463107675814 .将每个最简分数n（其中mn,为互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规m则如下：（1）将1染成红色；（2）相差为1的两个数颜色不同；（3）不为1的数与其倒数颜色不