重积分——多元函数极值及其应用ppt课件

1、第七讲第七讲 多元函数的极值及其应用多元函数的极值及其应用 内容提要内容提要 1.多元函数的极大值与极小值；多元函数的极大值与极小值； 2.最值问题；最值问题； 3.条件极值。条件极值。 教学要求教学要求 1.理解多元函数极值和条件极值的概念；理解多元函数极值和条件极值的概念； 2.掌握多元函数极值存在的必要条件；掌握多元函数极值存在的必要条件； 3.了解二元函数极值存在的充分条件；了解二元函数极值存在的充分条件； 4.会用拉格朗日乘数法求条件极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值； 5.会求简单多元函数的最大值和最小值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简并会解决一些简 单的应用问题

2、。单的应用问题。一、多元函数的极值和最大值、最小值一、多元函数的极值和最大值、最小值元元。外外地地牌牌子子每每瓶瓶进进价价元元，汁汁，本本地地牌牌子子每每瓶瓶进进价价某某商商店店卖卖两两种种牌牌子子的的果果2 . 11元元，如如果果本本地地牌牌子子的的每每瓶瓶卖卖 x取取得得最最大大收收益益？以以格格卖卖两两种种牌牌子子的的果果汁汁可可问问：店店主主每每天天以以什什么么价价瓶瓶外外地地牌牌子子的的果果汁汁，瓶瓶本本地地牌牌子子的的果果汁汁，元元，则则每每天天可可卖卖出出外外地地牌牌子子的的每每瓶瓶卖卖yxyxy76804570 每天的收益为每天的收益为 ),(yxf)7680)(2 . 1()

3、4570)(1(yxyyxx 求最大收益即为求二元函数求最大收益即为求二元函数 的最大值的最大值. .),(yxf1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义与一元函数类似，多元函数的最值与极值有关，与一元函数类似，多元函数的最值与极值有关，下面以二元函数为例讨论多元函数的极值问题下面以二元函数为例讨论多元函数的极值问题. .极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值. .使使函函数数取取得得极极值值的的点点),(00yx称称为为极极值值点点. .22yxz 又又如如函函数数xyz 再再如如鞍鞍马马面面方方程程例如例如2243yxz 函数函数处处有有极极小小值值在在)0 , 0(处处有有

4、极极大大值值在在)0 , 0(处无极值处无极值在在)0 , 0(定定理理 1 1（必必要要条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx具具有有偏偏导导数数，且且在在点点),(00yx处处有有极极值值，则则它它在在该该点点的的偏偏导导数数必必然然为为零零, ,即即 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、二元函数取得极值的条件、二元函数取得极值的条件不不妨妨设设),(yxfz 在在点点),(00yx处处有有极极大大值值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy

5、，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,即即 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.的的偏偏导导数数不不存存在在。在在这这些些点点处处关关于于但但函函数数的的极极小小值值点点，都都是是函函数数例例如如，x f xyxf y ),(), 0(驻点驻点极值点极值点对可偏导的函数对可偏导的函数注意：注意： 凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点函数的驻点. .可能的极值点可能的极值点 偏导不存在的点偏导不存在的点驻点驻点。的的驻驻点点，

6、但但不不是是极极值值点点是是函函数数例例如如，点点 xyz )0 , 0(定定理理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，记记Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，且且 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：是是极极值值点点，时时，当当),(0)1(002yx BAC 不是极值点；不是极值点；时，时，当当),(0)2(002yx BAC

7、需需要要另另做做讨讨论论。也也有有可可能能不不是是极极值值点点，有有可可能能是是极极值值点点，时时，当当),(0)3(002yx BAC 时时是是极极大大值值点点；时时是是极极小小值值点点，且且当当 A A 00 求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤：),(000zyxfAxx ),(000zyxfBxy ),(000zyxfCyy 是是极极值值点点，时时，当当),(0)1(002yx BAC 不是极值点；不是极值点；时，时，当当),(0)2(002yx BAC 不不确确定定。时时，当当 BAC 0)3(2 时时是是极极大大值值点点；时时是是极极小小值值点点，且且当当 A

8、A 00 求出实数解，即驻点。求出实数解，即驻点。 0),(0),(yxfyxfyx第一步第一步 解方程组解方程组，对于每一个驻点对于每一个驻点第二步第二步),(00yx ；、求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值CBA 的的极极值值求求函函数数例例xyyxz3 133 解解xyyxyxf3),(33 3,6),(,6),( 33),(,33),(22 xyyyxxyxfyyxfxyxfxyyxfyxyxf 解得驻点解得驻点由由 033),(033),(22xyyxfyxyxfyx)0 , 0( , )1 , 1(有有对对于于驻驻点点)1 , 1(6)1 , 1(, 3)1 , 1(, 6)1

9、, 1( yyxyxxfCfBfA,09362 BAC于于是是,06 A因因为为1)1 , 1( )1 , 1( f点点取取得得极极小小值值所所以以函函数数在在0,3,0),0,0( CBA对对于于驻驻点点,092 BAC 所所以以.)0 ,0(不不是是极极值值点点于于是是点点例例2 2的的极极值值。讨讨论论函函数数54222),(yyxyxyxf 解解解方程组解方程组 , 0544, 022432yyxyfyxfyx。求求得得驻驻点点)0 , 0(再计算二阶偏导数再计算二阶偏导数, 2 xxf,4yfxy ,2012432yyxfyy ，处处有有在在0)0 , 0(2 BAC无法用定理判断。

10、无法用定理判断。，且且注注意意到到522)(),(, 0)0 , 0(yyxyxff , 0),()0(0),()0(22 yxfyyxyxfyyx上上；在在曲曲线线上上则则在在曲曲线线不是极值。不是极值。因此因此0)0 , 0( f 将将方方程程两两边边分分别别对对yx,求求偏偏导导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知, 将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 0, 0 yxzz当当21 z时时，041 A, 所以所以2)1, 1( fz为极小值；为极

11、小值； 所所以以6)1, 1( fz为为极极大大值值.函函数数在在P有有极极值值. 将将)1, 1( P代代入入原原方方程程, 有有6, 221 zz, 求最值的一般方法：求最值的一般方法： 将函数在将函数在 D D 内的所有驻点处的函数内的所有驻点处的函数值及在值及在 D D 的边界上的最大值和最小值相的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值. .二、二元函数的最值二、二元函数的最

12、值解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxD 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx 一阶偏导数为一阶偏导数为令令求求驻驻点点 ,yxyxxyyxfx2)4(2),( yxyxxyxfy22)4(),( 得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf,)4(),(2yxyxyxfz xyo6 yx2624xxfx 322212)2)(6(),( xxxxyxf 于于是是,6)3(上上在在边边界界 yxxy 6即

13、即)0 ( , 2|64 xxyx舍舍去去,64)2 , 4( f于于是是 比比较较后后可可知知4)1 , 2( f为为最最大大值值,4, 00)(21 xxxfx 得得令令为最小值为最小值64)2 , 4( f内内在开区域在开区域数数由该问题归结出来的函由该问题归结出来的函Dyxf ),(知知道道若若按按问问题题的的性性质质，在在解解决决实实际际问问题题时时 ,内内只只有有而而函函数数在在或或最最小小值值一一定定能能取取得得最最大大值值D),(的的函函数数值值就就是是那那么么可可以以肯肯定定该该驻驻点点处处一一个个驻驻点点,.)(),(值值小小上上的的最最大大在在函函数数Dyxf yxS0

14、,0的的定定义义域域为为,的的偏偏导导数数求求S222 ,2yVxySxVyxS ,)2,2( 33只有一个只有一个求得驻点求得驻点VV, , 在定义域内必有最小值在定义域内必有最小值可知可知 S, )2,2(33取得最小值取得最小值VV当容器的当容器的这就是说这就是说 , .,22,2,2333用用料料最最省省时时高高为为宽宽为为长长VVV 由由问问题题的的性性质质在在所所以以S为为一一定定的的无无盖盖长长方方体体用用钢钢板板制制作作一一个个容容积积例例V 5.,才才能能使使用用料料最最省省高高宽宽问问如如何何选选取取长长容容器器 解解,xyVyx则则高高为为宽宽为为设设容容器器的的长长为为

15、的的表表面面积积为为)22(yxxyVxyS )11(2yxVxy 因因此此容容器器三、条件极值三、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法无条件极值：在研究极值时，对自变量无条件极值：在研究极值时，对自变量除了限制在定义域内外，并无其它条件除了限制在定义域内外，并无其它条件. .条件极值：对自变量有附加条件的极条件极值：对自变量有附加条件的极值值,632, 1的的距距离离求求原原点点到到直直线线 zyxzyx例例的的最最小小值值。计计算算函函数数下下，就就是是在在限限制制条条件件 zyxzyxf zyx zyx 222),(632, 1 这就是所谓的条件极值问题。这就是所谓的条件极值问题。以三

16、元函数为例，条件极值问题的提法是：以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数求目标函数),(zyxf在约束条件在约束条件 0),(, 0),(zyxGzyxF下的极值。下的极值。解决的办法：解决的办法：Lagrange Lagrange 乘数法乘数法步骤：步骤：),(),(),(),()1(zyxGzyxFzyxfzyxLLagrange 函函数数构构造造乘乘数数。称称为为和和其其中中Lagrange ，求求出出驻驻点点，即即函函数数的的所所有有偏偏导导数数为为零零令令Lagrange )2( 0, 0, 0, 0, 0GFGFfLGFfLGFfLzzzzyyyyxxxx ，解解出出),

17、( zyx就是可能的极值点。就是可能的极值点。其对应的其对应的),(zyx.,26求求出出面面积积最最大大的的矩矩形形的的条条件件下下在在周周长长等等于于例例a解解，宽宽为为设设矩矩形形的的长长为为yx,)20 ,20(:ayaxDxyA 面面积积函函数数则则.ayx 约约束束条条件件为为)(),(ayxxyyxL 作作拉拉格格朗朗日日函函数数 000ayxxyLyxL .2,2ayxa 解之解之上上的的唯唯一一驻驻点点，为为开开区区域域 Daa)2,2(.2的的正正方方形形即即为为所所求求所所以以边边长长为为a解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222

18、 czbyaxzyxF, 过过),(000zyxP的的切切平平面面方方程程为为,220byFPy ,220czFPz ,220axFPx 那那么么 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化化简简为为 1202020 czzbyyaxx,该该切切平平面面在在三三个个轴轴上上的的截截距距各各为为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,1lnlnln),(220220220000000 czbyax zyxzyxL 作

19、函数作函数当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四四面面体体的的体体积积最最小小abcV23min .可得可得即即30ax 30by ，30cz 例例8 8,0上上找找一一点点在在平平面面 DCzByAx的的距距离离最最小小。使使其其到到),(0000zyxP解解，设所求的点为设所求的点为),(zyxP 显然要求函数显然要求函数202020)()()(),(zzyyxxzyxl 下下的的最最小小值值。在在约约束束条条件件0 DCzByAx,2 l l 具具有有相相同同的的极极值值状状态态与与注注意意到到所所以以202020)()()(),(zzyyxxzyxL )(DCxByAx

20、并并令令其其等等于于零零得得求求偏偏导导 , aCzzByyAxx2222000 解解得得222000CBADCzByAxa 其其中中 于是所求驻点为于是所求驻点为),(000aCzaByaAx , 即为最小值点即为最小值点的的最最小小 l值值为为202020)()()(zzyyxxl 222222CaBaAa 222|CBAa 222000|CBADCzByAx 00)(20)(20)(2000 DCzByAxCzzzLByyyLAxxxL 该结论非常重要！该结论非常重要！ 点到平面的点到平面的距离公式距离公式之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxy

21、xz例例9 9解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最最小小即即且且使使满满足足，使使得得本本题题变变为为求求一一点点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxL 令令.81,41,41 zyx解解此此方方程程组组得得 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzyxLyzyxLxzyxLzyx 得得.647241414161min d),81,4

22、1,41(即得唯一驻点即得唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(或作切平面平行于平面，设切点为或作切平面平行于平面，设切点为 (x0 ,y0 ,z0) 2, 1 , 1/1,2 ,200 yxn则则.81,41,41 zyx.647241414161min d解法一：解法一： 设设P(xP(x，y y，z)z)是交线上的一点，该点到是交线上的一点，该点到xOyxOy平面的距离为平面的距离为| z | z |。由于点。由于点P P在柱面在柱面x2+y2=1x2+y2=1上，所以上，所以有有| x| 1| x| 1，| y |1| y