初中数学中考数学压轴题含答案

1、挑战中考数学压轴题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例12014年武汉市中考第24题如图1,RtAABC中，/ACB=90,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0vt<2),连接PQ.(1)若4BPQ与4ABC相似，求t的值;(2)如图2,连接AQ、CP,若AQLCP,求t的值；(3)试证明:图1PQ的中点在4ABC的一条中位线上.满分解答(1) RtABC中，AC=6,BC=8,所以AB=10.4BPQ与4ABC相似，存

2、在两种情况：如果空出，那么工”.解得t=1.如果史空，那么旦电.解得t32.BQBC84t8BQBA84t1041(2)作PDXBC,垂足为D.在RtABPD中,4BP=5t,cosB=-,所以5BD=BPcosB=4t,PD=3t.CD,即9PD4t图5图6.,AC当AQCP时，ACQACDP,所以上QC(3)如图4,过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F,交AB于E.由于H是PQ的中点，HF/PD,所以F是QD的中点.又因为BD=CQ=4t,所以BF=CF.因此F是BC的中点，E是AB的中点.所以PQ的中点H在ABC的中位线EF上.例22013年上海市中考第24题如图1,在平面直角坐标系xO

3、y中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,/AOB=120°.(1)求这条抛物线的表达式；(2)连结OM,求/AOM的大小；(3)如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标.第1页共13页满分解答(1)如图2,过点A作AH，y轴，垂足为H.在RtAAOH中，AO=2,ZAOH=30°,所以AH=1,OH=J3.所以A(1,J3).因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设y=ax(x2),代入点所以抛物线的表达式为y立x(x2)x2也x.333由y叵个2x(x1)2巫，得抛物线的顶点3333所以/BOM=

4、30°,所以/AOM=150°.(3)由A(1,向、B(2,0)、M(1,叵),得tanABO吏,33A(1j3)，可得a正.M的坐标为(1,.所以tanAB2百，OM2.33BOM所以/ABO=30°,-OA-J3.因此当点C在点B右侧时，/ABC=ZAOM=150°OMABC与AOM相似，存在两种情况：如图3,当出丝73时，BC-BA4!2.此时C(4,0).BCOM.3.3如图4,当股丝阴时，BC百BA百2K6.此时C(8,0).BAOM例32012年黄冈市中考模拟第25题1如图1,已知抛物线的万程C1:y(x2)(xm)(m>0)与x轴交于

5、点B、C,与y轴交于点巳且点B在m点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值；(2)在(1)的条件下，求BCE的面积；(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小，求出点H的坐标；(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.满分解答(1)将M(2,2)代入y(2)当m=4时，y所以S：Abce=1BCOE2(x2)(xm),得2m14(x2)(x4)4(2m).解得m=4.mlx2.所以C(4,0),E(0,2).2(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落

6、在线段EC上时，BH+EH最小.第2页共13页设对称轴与x轴的交点为P,那么HPEOCPCO因此HP2.解得HP3.所以点H的坐标为(13).3422(4)如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FFx轴于F由于/BCE=ZFBC,所以当CE_BC，即BC2CECBBF设点F的坐标为(x,2(x2)(xm),由里空，mBF'CO解得x=m+2.所以F'(m+2,0).BF时，BCEAFBC.1(x2)(xm)得mx2由CO空.得m.所以CEBFm24BF由BC2CEBF,得(m2)2Jm24BF(m4)m4m(m4),m4m整理，得0=16.此方程无解.如图4,作/C

7、BF=45°交抛物线于F,过点F作FFx轴于F由于/EBC=ZCBF,所以匹王，即BC2BEBF时，BCEABFC.BCBF在RtBFF'中，由FF=BF',彳#l(x2)(xm)x2.m解得x=2m.所以F'(2m,0).所以BF'=2m+2,BFJ2(2m2).由BC2BEBF,得(m2)22我亚(2m2).解得m2272.综合、，符合题意的m为22,2.1.2 因动点产生的等腰三角形问题例12014年长沙市中考第26题如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，aw0)的对称轴为y轴，且经过(0,0)和(4,)两点，点P16在该抛物线上

8、运动，以点P为圆心的。P总经过定点A(0,2).(1)求a、b、c的值；(2)求证：在点P运动的过程中，OP始终与x轴相交；第3页共13页圆与x轴总是相交的，等腰P的纵坐标是相等的.将(V?,)代入y=ax2,得工161616a2.解得a1(舍去了负值).4(2)抛物线的解析式为,设点P的坐标为(x,1x2).4已知A(0,2),所以PAX212-x412(x2)41412J一x4>x.164而圆心P到x轴的距离为1x24所以在点P运动的过程中，O(3)如图2,设MN的中点为在RtAPMH中，PM2PA2PA圆心P到x轴的距离.P始终与x轴相交.H,那么PH垂直平分MN.14212x4,

9、PH(-x)164x4,所以MH2=4.160.如图4,当MA=MN时，在RtAAOM中，OA=2,AM=4,所以OM=2j3.所以MH=2.因此MN=4,为定值.等腰AMN存在三种情况：此时x=OH=2732.所以点P的纵坐标为lx241(232)2(31)244如图5,当NA=NM时，点P的纵坐标为也为42而.如图例22013年上海市虹口区中考模拟第1,在RtABC中，/A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,25题DELBC交边AC于点E,点P(1)(3)为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且/PDQ=90°.求ED、EC的长；(2)若BP=2,

10、求CQ的长；记线段PQ与线段动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到,三角形AMN存在三种情况.思路点拨1 .不算不知道，一算真奇妙，原来。P在x轴上截得的弦长MN=4是定值.2 .等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA=MN和NA=NM两种情况时，点满分解答(1)已知抛物线的顶点为(0,0),所以y=ax2.所以b=0,c=0.满分解答(1)在RtAABC中，AB=6,AC=8,所以BC=10.第4页共13页在RtACDE中，CD=5,所以EDCDtanC5-4(2)如图2,过点D作DMAB,DNXAC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是ABC的两条

11、中位线,DM=4,DN=3.由/PDQ=90°,/MDN=90°,可得/PDM=/QDN.因此PDMqdn.图2图3所以也QN如图3,当BP=2,P在BM上时,PM=1.此时QN3PM4如图4,当BP=2,P在MB的延长线上时，PM=5.此时QN315一一.-PM.所以CQCNQN（3）如图5,如图2,在RtAPDQ中，tanQPDQDPD4DNDM43一.419一.415目44BA3在RtAABC中，tanC-.所以/QPD=ZC.由/PDQ=90,ZCDE=90,可得/PDF=/CDQ.CA4因此PDFACDQ.当PDF是等腰三角形时，CDQ也是等腰三角形.如图5,当C

12、Q=CD=5时，QN=CQ-CN=5-4=1（如图3所示）.44一45此时PM-QN.所以BPBMPM3-3333CH5425如图6,当QC=QD时，由cosCCH,可得CQ54£5.CQ258所以QN=CNCQ=4空7（如图2所示）.此时PM4QN7.所以BPBMPM3-a.883666不存在DP=DF的情况.这是因为/DFP>ZDQP>ZDPQ（如图5,图6所示）.例32012年扬州市中考第27题如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当P

13、AC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M,使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若+y图1图2不存在，请说明理由.满分解答(1)因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，设y=a(x+1)(x-3),代入点C(0,3),得一3a=3.解得a=-1.所以抛物线的函数关系式是y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.当点P落在线段BC上时，PA+PC最小，PAC的周长最小.设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.由四型，BO=CO,得PH=BH=2.所以点P的坐标为(1,2).BOCO第5页共13页(3

14、)点M的坐标为(1,1)、(1,，6)、(1,J6)或(1,0).1.3因动点产生的直角三角形问题例12014年苏州市中考第29题如图1,二次函数y=a(x22mx3m2)(其中a、m是常数，且a>0,m>0)的图像与x轴分别交于A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C(0,3),点D在二次函数白图像上，CD/AB,联结AD.过点A作射线AE交二次函数的图像于点E,AB平分/DAE.(1)用含m的式子表示a；(2)求证：生为定值；AE(3)设该二次函数的图像的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GF、AD、G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果

15、不存在，请说明理由.AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点满分解答1(1)将C(0,3)代入y=a(x2-2mx-3m2),得3=-3am2.因此a.m(2)由y=a(x22mx3m2)=a(x+m)(x3m)=a(xm)2-4axm2=a(x-m)2-4,得A(-m,0),B(3m,0),F(m,4),对称轴为直线x=m.所以点D的坐标为(2m,-3).设点E的坐标为(x,a(x+m)(x3m).如图2,过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D'、E'.由于/EAE'=/DAD所以-EE-'DD-因此a(xm)(x3m)且.

16、AE'AD'xm3m1所以am(x-3m)=1.结合a于是得到x=4m.m当x=4m时，y=a(x+m)(x3m)=5am2=5,所以点E的坐标为(4m,5).所以AD-DD-AEEE'5(3)如图3,由E(4m,5)、D(2m,3)、F(m,-4),可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3.那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G.证明如下：作FF'，x轴于F',那么GFADFF'4DD'3AEADGF因此G-.所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形.534此时GF'=4m.所以GO=3m,点

17、G的坐标为(一3m,0).例22013年山西省中考第26题123如图1,抛物线y-x-x4与x轴父于A、B两点(点B在点A的右侧)，与y轴父于点C,连结BC,以42第6页共13页BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求点A、B、C的坐标；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；(3)当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q,使4BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在

18、，请说明理由.满分解答一1231一一一(1)由y-x2-x4-(x2)(x8),得A(2,0),B(8,0),C(0,-4).42411103(2)直线DB的斛析式为y-x4.由点P的坐标为(m,0),可得M(m,-m4),Q(m,mm4).所以MQ=(1m4)(Im2-m4)-m2m8.当MQ=DC=8时，四边形CQMD是平行四边形.242412解万程一mm88,得m=4,或m=0(舍去).4此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,-2),Q(4-6).所以MN=NQ=4.所以BC与MQ互相平分.所以四边形CQBM是平行四边形.(3)存在两个符合题意的点Q,分别是(2,0),(6,4)

19、.例32012年广州市中考第24题如图1,抛物线y3x23x3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.84满分解答11)求点A、B的坐标；(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只.有.三个时,求直线l的解析式.图1图2图3第7页共13页(1)由y3x23x33(x4)(x2),得抛物线与X轴的交点坐标为A(-4,0)、B(2,0).对称轴是直线848x=1.(2)ACD与ACB有公共的底边AC,当ACD的面积等于ACB的面积时，点B

20、、D到直线AC的距离过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点D设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点H.由BD/AC,得/DBG=/CAO.所以空£°3.BGAO4所以DG3BG9,点D的坐标为(19).因为AC/BD,AG=BG,所以HG=DG.444而D'H=DH,所以D'G=3DG27.所以D的坐标为(1.2Z).44(3)过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M.以AB为直径的。G如果与直线l相交，那么就有2个点M;如果圆与直线l相切，就只有1个点M了.联结GM,那么GM±l

21、.在RtEGM中，GM=3,GE=5,所以EM=4.在RtEMA中，AE=8,tanM1EAMA3,所以M1a=6.AE4所以点Mi的坐标为(-4,6),过Mi、E的直线l为y3x3.根据对称性，直线l还可以是y-x3.441.4因动点产生的平行四边形问题例12014年陕西省中考第24题如图1,已知抛物线C:y=x2+bx+c经过A(3,0)和B(0,3)两点.将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.(1)求抛物线C的表达式；(2)求点M的坐标；(3)将抛物线C平移到抛物线C',抛物线C的顶点记为M',它的对称轴与x轴的交点记为N'.如果以点M、N、M&

22、#39;、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么?满分解答93bc0.(1)将A(3,0)、B(0,3)分别代入y=-x2+bx+c,得，解得b=2,c=3.c3.所以抛物线C的表达式为y=x22x+3.(2)由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,得顶点M的坐标为(一1,4).(3)抛物线在平移过程中，MN与MN保持平行，当MN'=MN=4时，以点M、N、M'、N为顶点的四边形就是平行四边形.因为平行四边形的面积为16,所以MN边对应的高NN=4.那么以点M、N、M'、N为顶点的平行四边形有4种情况：第8页共13页抛物线C直接向

23、右平移4个单位得到平行四边形MNNM'（如图2）;抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNNM'（如图2）;抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN'（如图3）;抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN'（如图3）.例22013年上海市松江区中考模拟第24题1,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(0,1)、B(4,3)两点.求抛物线的解析式；（2）求tan/ABO的值；过点B作BCx轴，垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,MNCB为平行四边如图（1）（3）若四边

24、形形，求点M的坐标.图3满分解答(1)将A(0,1)、B(4,3)分别代入y=-x2+bx+c,得c1,164bc解得b3.旦c=1.2所以抛物线的解析式是yx(2)在RtABOC中，OC=4,9d-x1.2BC=3,所以OB=5.如图2,过点A作AHXOB,在RtAAOH中，OA=1,sin_一一4AOHsinOBC一,所以AH5OAsinAOH垂足为H.4所以OH3,BHOB522OH在RtABH中，tanAH4ABOBH5522（3）直线AB的解析式为1y2x1.设点M的坐标为（x,x21）,点N的坐标为11(x,-x1),2x24x.291那么MN(x-x1)(x1)22得x=1或x=

25、3.当四边形MNCB是平行四边形时,MN=BC=3.解方程一x2+4x=3,9,一因为x=3在对称轴的右侧（如图4）,所以符合题意的点M的坐标为（1,9）（如图3）.例32012年福州市中考第21题如图1,在RtAABC中，/C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始?&边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/BC,交AB于点D,联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t>0）.（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=,PD

26、=;（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2,在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长.第9页共13页满分解答(1)QB=8-2t,PD=4t.3(2)如图3,作/ABC的平分线交CA于P,过点P作PQ/AB交BC于Q,那么四边形PDBQ是菱形.过点P作PEXAB,垂足为E,那么BE=BC=8.在RtABC中，AC=6,BC=8,所以AB=10.在RtAPE中，cosA_AE23,所以t1°.APt53R10八八八f八八6ACAC

27、/c/c当PQ/AB时，CQCP,即CQ3.解得CQ32.所以点Q的运动速度为32g差.CBCA8699315(3)以C为原点建立直角坐标系.如图4,当t=0时，PQ的中点就是AC的中点E(3,0).如图5,当t=4时，PQ的中点就是PB的中点F(1,4).直线EF的解析式是y=2x+6.如图6,PQ的中点M的坐标可以表示为(61,t).经验证，点M(6J，t)在直线EF上.所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF=275.1.5因动点产生的梯形问题例12014年上海市金山区中考模拟第24题过点B如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A,点B是这条直线上第一象限内的一

28、个点,作x轴的垂线，垂足为D,已知ABD的面积为18.过点P作PQ/AC交x轴于点Q,如果点Q在线段AH上，且AQ=CP,求点P的坐标.图1图2图312，一xbxc经过点A和点B,求抛物线的解析式；2C,该抛物线对称轴与x轴交于点H,P是抛物线对称轴上的一点,满分解答(1)直线y=x+2与x轴的夹角为45因为ABD是等腰直角三角形，面积为，点A的坐标为(一2,0).18,所以直角边长为(2)将A(2,0)、B(4,6)代入y6.2b因此OD=4.所以点B的坐标为(4,6).4bc0一'解得b=2,c=6.c6.所以抛物线的解析式为y1x222x6.(1)求点B的坐标；(2)如果抛物线y

29、(3)已知(2)中的抛物线与y轴相交于点C的坐标为(0,6).此时点P的坐标为(2,6).(3)由y1x22x6,得抛物线的对称轴为直线2如果AQ=CP,那么有两种情况：如图2,当四边形CAQP是平行四边形时，AQ/CP,第10页共13页如图3,当四边形CAQP是等腰梯形时，作AC的垂直平分线交x轴于点F,那么点P在FC上.设点F的坐标为(x,0),根据FA2=FC2列方程，得(x+2)2=x2+62.解得x=8.所以OF=8,HF=6.因此PHHFtanF99.此时点P的坐标为(2,).22例22012年上海市松江区中考模拟第24题已知直线y=3x3分别与x轴、y轴交于点A,B,抛物线y=a

30、x2+2x+c经过点A,B.(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线l,点B关于直线l的对称点为C,若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形.求点D的坐标；将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P,其对称轴与直线y=3x-3交于点E,若tanDPE求四边形BDEP的面积.7满分解答(1)直线y=3x3与x轴的交点为A(1,0),与y轴的交点为B(0,-3).将A(1,0)、B(0,3)分别代入y=ax2+2x+c,得a2c0,解得a1,c3.c3.所以抛物线的表达式为y=x2+2x-3.对称轴为直线x=-1,顶点为(1,4).(2)如图

31、2,点B关于直线l的对称点C的坐标为(2,3).因为CD/AB,设直线CD的解析式为y=3x+b,代入点C(-2,-3),可得b=3.所以点D的坐标为(0,3).过点P作PHy轴，垂足为H,那么/PDH=/DPE.由tanDPE得tanPDH-PH-3.而DH=7,所以PH=3.7DH7因此点E的坐标为(3,6).所以S弟形BDEP1(BDEP)PH24-2例32012年衢州市中考第24题如图1,把两个全等的RtAOB和RtCOD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F,抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.

32、(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若4AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上，且不与点C重合)，4AOB在平移的过程中与COD重叠部分的面积记为S.试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.第11页共13页满分解答abc2,(1)将A(1,2)、O(0,0)、0(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,得c0,4a2bc1.解得a37-,bi,c0.22所以y32-x2(2)如图2,过点P、M分别作梯形ABPM的高PP'、MM',因此yA-yM=yP-yB.1直线OC的斛析式为yx,设点P的坐标为(xx)，那么22如果梯形ABPM是等腰梯形,327M(x,xx)22那么AM'=BP',解方程2(|必京)jx,得为I，%2.x=2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在.所以P(-1).33(3)如图3,AAOB与ACOD重叠部分的形状是四边形EFGH,作EKLOD于K.设点A移动的水平距离为m,那么OG=1+m,GB'=m.在RtOFG中，FG10G1(1m).所以Sc”-(1m)2在RtAAHG中，A'