南京高三数学综合题

1、学习必备欢迎下载南京市2014届高三数学综合题一、填空题.一一.、.、兀.一一，、.1.已知函数y=sincox(w>0)在区间0,/上为增函数，且图象关于点(3q0)对称，则«的取值集合为.【答案】121.33，工"PVcoW112【提示】由题意知，但32，即，k，其中kCZ,则k=1或k=2或k=1.IcLIW=-333co后kTt,3【说明】本题考查三角函数的图象与性质(单调性及对称性).三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等.2.如图：梯形ABCD中，AB/CD,AB=6,AD=DC=2,若AC-BD=12,则AD-BC=【

2、答案】0.1 一、，.、.一，17【提不】以AB,AD为基底，贝UAC=AD+gAB,BD=AD-AB,则aC-BD=>AD2-2AB-启°aB2=48cos/BAD12=12,331所以cos/BAD=1,则/BAD=60°,则aD-bC=aD(aC-aB)=aD(aS-2aB)=aD2-2aB-AD=4-4=0.33【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想.另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决.向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择.3 .设a、3为空间任意两个不重合的平面，则：必

3、存在直线l与两平面a、3均平行；必存在直线l与两平面a、3均垂直；必存在平面丫与两平面a、3均平行；必存在平面丫与两平面a、3均垂直.其中正确的是.(填写正确命题序号)【答案】.【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行(否则两平面平行).【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力.4 .圆锥的侧面展开图是圆心角为SN面积为2点兀的扇形，则圆锥的体积是.【答案】兀.【提示】设圆锥的底面半径为r,母线长为I,由题意知¥=，§&且22行l=2J3%解得l=2,r=<3,所以圆锥高h=1,则体积V=1<2h=u.3【

4、说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算.5.设圆x2+y2=2的切线I与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A,B.当线段AB的长度最小值时，切线I的方程为.【答案】x+y-2=0.学习必备欢迎下载【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题.x2y226.已知双曲线/一嘉=1(a>0,b>0)的离心率等于2,它的右准线过抛物线y=4x的焦点，则双曲线的万程为.22【答案】"七1【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法.7.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y=2log2x、y=log2x、y=klog2x(k为常数，0vkv1).

5、曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D,过点B作y轴的平行线交曲线Q于点C.若四边形ABCD为矩形，则k的值是.1【答案】2-【提示】设A(t,210g2t)(t>1),则B(t2,210g2t),D(t,log2t),C(t2,2klog2t),则有log2t=2klog2t,1由于10g2t>0,故2k=1,即k=-【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程.注意点坐标之间的关系是建立方程的依据.*8.已知实数a、ohi2a2bb、c满足条件0Wa+c2b<1,且2a+2bw21c,则2的取值范围是【提示】由2a+2bW2&q

6、uot;c得2ac+25c<2,由0Wa+c2bw1得0w(ac)2(bc)w1,和2ac于是有1w2(lA2c)w2,即1W'22-W2.设x=2*c,y=2ac,一2一_2_2a2b则有x+y<2,xWyW2x,x>0,y>0,2=y-x.在平面直角坐标系xOy中作出点(x,y)所表示的平面区域，并设y-x=t.如图，当直线y-x=t与曲线y=x2相切时，t最小.，,一11一此时令y=2x=1,解得x=2，于11,11是y='所以tmin=4314,当直线过点A时，t最大.由2七y:2,解得A-),所以tmax=9-夜1+屈5-折2a2b1因此2c的

7、取值范围是425-,17【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数.利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注.9,已知四数ana2,a3,a4依次成等比数列，且公比q不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的取值集合是.咯案】匚产，呼.【提示】因为公比q不为1,所以不能删去a1，a4.设an的公差为d,则若删去a2,则由2a3=a1+a4得2alq2=a+aq3,即2q2=1+q3,整理得q2(q-1)=(q-1)(q+1).又qw1,则可得D若删去a3,又qw1,则可得综上所述，q=学习必备欢

8、迎下载q2=q+1,又q>0解得q=1+产；则由2a2=a1+a4得2alq=a+aq3,即2q=1+q3,整理得q(q1)(q+1)=q1.q(q+1)=1,又q>0解得q=-；丑.±1+邓【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算.*10.数列an是等差数列，数列bn满足bn=anan+1an+2(nCN),设Sn为bn的前n项和.若a12=3a5>。,o则当Sn取得最大值时n的值等于.【答案】16.3-76一.81【提本】设an的公差为d,由a12=8a5>0得a1=-d,d>0,所以an=(n-)d,从而可知1WnW16时

9、，an>0,n>17时，an<0.从而b1>b2>,>b14>0>b17>b18>',b15=a15a16a17V0,b16=a16a17a18>0，故S14As13>>S1,S14>S15,S15VS16.因为a15=gd>0,a18=Wdv0,所以a15+a18=一?d+2d=3dv0,55555所以b5+b6=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,故Sn中S16最大.【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略.此题借助了求等差数列前n项和最值的方法，

10、所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想.二、解答题11.三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a,b,c,且也sinB=RcosB.(1)若cosA=1,求sinC的值；3(2)若b=巾，sinA=3sinC,求三角形ABC的面积.解(1)由也sinB=H3cosB,两边平方得2sin2B=3cosB,即2(1cos2B)=3cosB,解得cosB=或cosB=-2(舍去).又B为三角形内角，则B=$3因为cosA=1,且A为三角形内角，则3sinA=*,1屹+2亚cosA+?sinA=6故sinC=sin(B+A)=sin(A)=*32(2)解法一因为sinA=3sinC,由正

11、弦定理可得a=3c.由余弦定理知：b2=a2+c22accosB,贝U7=9c2+c23c2,解得c=1,贝Ua=3.面积S=1acsinB=343.,一一兀一1石解法由sinA=3sinC得sin(C+B)=3sinC,即sin(C+3)=3sinC,则2sinC+亍cosC=3sinC,353即j-cosCnzsinC,故可得tanC=5-又C为三角形的内角，则sinC=¥21.14学习必备欢迎下载,一、一，bc,由正弦定理知-=-则c=1.sinBsinC又sinA=3sinC=,故面积S=bcsinA=1424【说明】本题考查同角三角函数关系式，两角和差公式及正、余弦定理，具

12、有一定的综合性.12.三角形ABC中，三内角为A、B、C,a=(V3cosA,sinA),b=(cosB,V3sinB),c=(1,-1).若ac=1,求角A的大小；(2)若a/b,求当A-B取最大时，A的值.1解(1)a-c=/3cosA-sinA=2cos(A+=1,则cos(A+6)=-.因为AC(0,句，则A+C(6c,3,则A+=31,则A=6C.(2)因为a/b,所以3cosA/3sinB=sinAcosB,贝UtanA=3tanB.由于A、B为三角形内角，则A、B只能均为锐角，即tanA>0,tanB>0.tan(A-B)tanAtanB2tanB1tanAtanB1

13、3tanBtanB+3tanB当且仅当;=3tanB时，B=*X上”号.tanB6又ABC(一A,则AB的最大值为此时A=J22”63所以，当AB的最大时，A=3【说明】本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值.13 .如图，六面体ABCDE中，面DBCL面ABC,AEL面ABC.(1)求证：AE面DBC;(2)若ABBC,BDXCD,求证：ADXDC.证明(1)过点D作DOLBC,。为垂足.因为面DBCL面ABC,又面DBCn面ABC=BC,DO二面DBC,所以DO上面ABC.又AEL面AB

14、C,贝UAE/DO.B第(2)问通过在面ABC中，又AE尹面DBC,DOU面DBC,故AE面DBC.(2)由(1)知DO上面ABC,AB匚面ABC,所以DOAB.又ABBC,且DOABC=O,DO,BC匚平面DBC,贝UAB上面DBC.因为DC仁面DBC,所以ABXDC.又BDCD,ABADB=B,AB,DB仁面ABD,贝UDCABD.又ADU面ABD,故可得AD±DC.【说明】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；线面垂直证线线垂直问题.14 .如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AiACCi是边长为2的菱形，/AiAC=600.AB=

15、2#,BC=4,M为BC的中点，过Ai,B1，M三点的平面交AC于点N.(1)求证：N为AC中点；(2)平面AiBiMN,平面AiACCi.学习必备欢迎下载解(1)由题意，平面ABC/平面AiBiCi,平面AiBiM与平面ABC交于直线MN,与平面AiBiCi交于直线AiBi,所以MN/A1B1.因为AB/AiBi,所以MN/AB,所以CN-=CM.ANBM因为M为AB的中点，所以CN=i,所以N为AC中点.AN(2)因为四边形AiACCi是边长为2的菱形，/AiAC=60°.在三角形AiAN中，AN=i,AAi=2,由余弦定理得AiN=43,故AA2=AN2+AiN2,从而可得/A

16、iNA=90°,即A1N，AC.在三角形ABC中，AB=2,AC=273,BC=4,则BC2=AB2+AC2,从而可得/BAC=90°,即ABXAC.又MN/AB,则ACXMN.因为MNPAiN=N,MN仁面A1B1MN,AiN二面AiBiMN,所以AC,平面A1B1MN.又AC仁平面AiACCi,所以平面AiBiMNL平面AiACCi.【说明】本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理,综合考查空间想象及逻辑推理能力.立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点.关注以算代证的方法.15.某汽车厂有一条价值为a万元

17、的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值.经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入的x万元之间?t足：y与(ax)一22ama.3和x的乘积成正比；xC(0,2m+,其中m是常数.若x=2时，y=a.(1)求产品增加值y关于x的表达式；(2)求产品增加值y的最大值及相应的x的值.解：(1)设y=f(x)=k(ax)x2,因为当x=；时，y=a3,所以k=8,所以f(x)=8(ax)x2,xC(0,2am2m+1.22a(2)因为f'(x)=24x+16ax,令f(x)=0,则x=0(舍),x=.3当2mmi陵2?,即m>i时，当xC(0,3时

18、，f(x)>0,所以f(x)在(0,手上是增函数,2a2am.一，2a2am当x(了'27?TP时，f(x)<0，所以f(x)在(可，不丁;22m十122m十1)上是减函数,所以ymax=噂)=冷3；327当下<9即0<m<1时,当xe(0,二TmT)时，f'(x)>0,所以f(x)在(0,2am2m+1)上是增函数,所以ymax=f(2mmi尸232m3(2m+1)3a'学习必备欢迎下载综上，当m>1时，投入得万元，最大增加值|a3.327当0vmv1时，投入am-万元，最大增加值,严：妇3.2m+1(2m+1)【说明】适当关

19、注建模容易，解模难的应用题，如本题需要对解模过程进行分类讨论.16.如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为6c.设S的眼睛距地面的距离按y/3米(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转.摄影者有一视角范围.TT.为可的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入回面？说明理由.3解(1)如图，作SC垂直OB于C,则/CSB=30°,/ASB=60°.又SA=故在RtSAB中，可求得BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为3米.由S

20、C=3,/CSO=30°,在RtSCO中，可求得OC=J3.因为BC=SA=故OB=23,即立柱高为243米.(2)方法一：连结SM,SN,设ON=a,OM=b.在SON和SOM中，(25)2+1b2(2*)2+1223122v31a2+b2-2211cos/MSN=>2ababa2,口22,得a2+b2=26.22111a2+b2=13>2'一,_一，,一兀又/MSNC(0,0,则/MSNV'3故摄影者可以将彩杆全部摄入画面.方法二提示：设/MOS=0,建立cos/MSN关于。的关系式，求出一，.11cos/MSN取小值为,从而得到/13.兀MSN<

21、;-.3方法三提不':假设/MSN=设ON=a,OM=b,联立a2+b2=26a2+b2ab=4消兀，判断方程3是否有解.方法四提示：计算过S点作圆O(1为半径)的两切线夹角大于60°.也可合理建系.【说明】第(1)问主要考查了对图形的认识；第(2)问突出应用题中变量的选择，方法的选择.另外应用题中除求解函数最值问题外，也考虑涉及方程的解、不等式等问题，如方法三.17.为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成.在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛

22、物线的顶点，DH表示道路路面，BF/DH,A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直.安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线.求灯罩轴线所在的直线方程；(2)若路宽为10米，求灯柱的高.学习必备欢迎下载解:1一1(1)由题意知，BF=2,则Xa=1.5+2=2,代入y2=2x得yA=2,故A(2,2).设点A处的切线方程为y-2=k(x-2),代入抛物线方程y2=2x消去x,得ky2-2y+4-4k=0.1则=44k(44k)=0,解得k=2.故灯罩轴线的斜率为一2,其方程为y2=2(x2),即y=2x+6.11一，(2)由于路宽为10,则当*=

23、万时，y=5,从而FD=5.又CF=1,则CD=6.答：灯柱的高为6米.【说明】本题改编自必修2(P92)例5,考查学生综合应用函数、不等式知识解决实际问题的能力.解析几何应用题不需重点训练，但也需要学生适当了解和关注.18.如图，在RtZABC中，/A为直角,斜边中点为M(2,0).AB边所在直线的方程为x-3y6=0,点T(1,1)在直线AC上,(1)求BC边所在直线的方程;(2)若动圆P过点N(-2,0),且与RtMBC的外接圆相交所得公共弦长为圆方程.解(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,AC与AB垂直，所以直线AC的斜率为一3.故AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+

24、1),即3x+y+2=0.设C为(xo,3x02),因为M为BC中点，所以B(4-X0,3xo+2).点B代入x-3y-6=0,解得X0=-4,所以C(42).555所以BC所在直线方程为：x+7y-2=0.4,求动圆P中半径最小的(2)因为RtMBC斜边中点为M(2,0),所以M为RtMBC外接圆的圆心.又AM=2/，从而RtMBC外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.设P(a,b),因为动圆P过点N,所以该圆的半径r=M(a+2)2+b2,圆方程为(xa)2+(yb)2=r2.由于。P与OM相交，则公共弦所在直线的方程因为公共弦长为4,r=22,所以M(2,0)到m为：(42a)x2by+

25、a2+b2r2+4=0.m的距离d=2,即|2(4-2a)+a2+b2-r2+4|2/(2a)2+b2=2,化简得b2=3a24a,所以r='(a+2)2+b2=月4a2+4.当a=0时，r最小值为2,此时b=0,圆的方程为x2+y2=4.【说明】本题考查直线与直线的位置关系，直线与圆有关知识，考查圆与圆位置关系及弦长的求法及函数最值求法.19.如图，平行四边形AMBN的周长为8,点M,N的坐标分别为(一0),(V3,0).(1)求点A,B所在的曲线L方程；(2)过L上点C(-2,0)的直线l与L交于另一点D,与y轴交于点巳且l/OA.学习必备欢迎下载AMOBNx4k帝逊E(0，2k)

26、，所以CD2,CE=21+k2.因为OAZ/l,所以设OA的方程为y=kx，代入曲线方程，并整理得(1+4k2)x2=4.所以xA-2,1+4k2224k24+4kyA=2,所以OA2,1+4k1+4k化简得CD产OA=2,所以吟守为定值.OA【说明】本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明.2220.如图，在直角坐标系xOy中，椭圆E：卜ab61(a>b>0)的焦距为2,且过点“2,)-(1)求椭圆E的方程;(2)若点A,的任意一点,B分别是椭圆E的左、右顶点，直线直线AP交l于点M.l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A,B(i)设直线OM的斜率

27、为ki,直线BP的斜率为k2,求证：kik2为定值;“十CDCE求证：0A2为定值.OA解(1)因为四边形AMBN是平行四边形，周长为8所以两点A,B至UM,N的距离之和均为4>2w，可知所求曲线为椭圆.由椭圆定义可知，a=2,c=0b=1.曲线L方程为x+y2=1(yw0).4(2)由已知可知直线l的斜率存在.因为直线l过点C(-2,0),设直线l的方程为y=k(x+2),2代入曲线方程+y2=1(yw0),并整理得(1+4k2)x2+16k2x+16k24=0.8k2+2因为点C(-2,。)在曲线上，则DC*(ii)设过点M垂直于PB的直线为m.求证：直线m过定点，并求出定点的坐标解

28、：(1)由题意得2c=2,所以c=1,又争+景=1消去a可得2b45b23=0,解得b2=3或b2=女舍去)，则所以椭圆E22的方程为我1yo.y1(2)(i)设P(x1，y1)(y1w0),M(2,yo)则k1=o，电=,2x1-2因为A,P,M三点共线，所以4v1y°=x1+2.24y1则k1k2=2(x24)因为P(xi,yi)在椭圆上，所以23,2、Eiy1=4(4-x1),则24y1k1k2=2、2(x14)(ii)方法一：直线BP的斜率为"=x±,直线m的斜率为"二T'学习必备欢迎下载则直线m的方程为yy0=Z*(x2),yi2p1r

29、l2xi2xi4yi2xi4yi即y=(x-2)+yo=(x-2)+,o=(x-2)+y2yiyixi+2yi)4-xi22-xii23xi2-xi=k(x2)+T=句(x+D，所以直线m过定点(i,0).方法二：直线BP的斜率为k2=,直线m的斜率为km=弩1则直线m的方程为y=左*(x-2),xi+2yi'八若P为(0,回则m的方程为丫=孚*+竽,若P为(0,-回则m的方程为y=-23-3x-等,两直线方程联立解得Q(-i,0).22因为kMQk2=T,4yiyi4yii23xi3(xi+2)xi-23(xi24)3(x12_4)所以Q在过M且与BP垂直的直线上,所以直线m过定点(

30、i,0).【说明】考查椭圆方程的求法及直线与椭圆中的一些定值、定点问题.其中定点问题可以考虑先从特殊情况入手，找到定点再证明.i入2i.已知函数f(x)=+-(a,b,入为实常数).xaxb(i)若仁-i,a=i.当b=-i时，求函数f(x)的图象在点(血，f(亚)处的切线方程；一,一，ii当b<0时，求函数f(x)在-,不上的最大值.32*(2)若入=i,bva,求证：不等式f(x)>i的解集构成的区间长度D为定值.一.112一一4x一一r-r-解(i)当b=i时，设)=当一力=占，则f刈=小斤，可得fW2)=-4<2,又f(或)=2,故所求切线方程为y2=4或3小)，即4

31、/2x+y-i0=0.一一ii当壮一i时，f(x)=一；-x-ix-bb+iii心i)2_(x_b)22(b-i)(x-)则f'(x)=-2+2=22=2(x-1)2(x-b)2(x-i)2(x-b)2(x-i)2(x-b)2垄i因为b<0,则b-i<0，且bv2<2b+i一,一，.一，一b+i故当bvxv时，f'x)>0,f(x)在(b,一厂)上单调递增；当审vxi时，f'x)<0,f(x)在智，2)单调递减.b+iI一I一,iii9b9(当?即bW3时，f(x)在g,2单调递减，所以f(x)max=f(3)=1；学习必备欢迎下载1b+1

32、1r_1一，b+14()当丁<2,即一3Vb<°时，f(X)max=f(尸占综上所述,f(x)max=b?1-2<b<0,3L,bw12-6b3(2)w*即士+£*xax(*)当xvb时，x-a<0,x-b<0,此时解集为空集.当a>x>b时，不等式(*)可化为(x-a)+(x-b)<(x-a)(x-b),展开并整理得，x2-(a+b+2)x+(ab+a+b)>0,设g(x)=x2(a+b+2)x+(ab+a+b),因为=(ab)2+4>0,所以g(x)有两不同的零点，设为x1，x2(x1x2),又g(a)=

33、ba<0,g(b)=ab>0,且b<a,因此b<x1<a<x2,所以当a>x>b时，不等式x2(a+b+2)x+(ab+a+b)>0的解为bvxwx1.当x>a时,不等式(*)可化为(x-a)+(xb)>(x-a)(x-b),展开并整理得，x2-(a+b+2)x+(ab+a+b)<0,由知，此时不等式的解为a<x<x2综上所述，f(x)>1的解构成的区间为(b,x1U(a,x2,其长度为(x一b)+仅2a)=x1+x2-ab=a+b+2ab=2.故不等式f(x)>1的解集构成的区间长度D为定值2.【

34、说明】本题考查了导数的应用、分类讨论思想、解一元二次不等式.其中第(2)问涉及不常考的解一元次不等式分类讨论问题，注意比较a、b与两根的大小.22 .已知函数f(x)=lnx(x>0).(1)求函数g(x)=f(x)-x+1的极值；*(2)求函数h(x)=f(x)+|xa|(a为实常数)的单调区间;*(3)若不等式(x21)f(x)>k(x-1)2对一切正实数x恒成立，求实数k的取值范围.解：(1)g(x)=lnxx+1,g(x)=11=1,xx当0vxv1时，g(x)>0；当x>1时，g'(x)v0,可得g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,十°&

35、#176;)上单调递减，故g(x)有极大值为g(1)=0,无极小值.(2)h(x)=lnx+|xa|.学习必备欢迎下载当aW0时，h(x)=lnx+x-a,h'(x)=1+1>0恒成立，此时h(x)在(0,+°°)上单调递增；x、【/、1nx+xa,x>a,当a>0时，h(x)="Jnxx+a,0vxva.当x>a时，h(x)=lnx+xa,h'(x)=1+1>0恒成立，此时h(x)在(a,+00)上单调递增;x当0vxva时，h(x)=lnxx+a,hx)=-1=-xx当0vaw1时,h'(x)>0恒成

36、立,此时h(x)在(0,a)上单调递增;当a>1时，当0Vx<1时h'(x)>0,当iwxva时h'(x)W0,所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,a)上单调递减.综上，当aW1时，h(x)的增区间为(0,十°°),无减区间；当a>1时，h(x)增区间为(0,1),(a,+8)；减区间为(1,a).(3)不等式(x21)f(x)>k(x-1)2对一切正实数x恒成立，IP(x21)lnx>k(x1)2对一切正实数x恒成立.当0vxv1时，x2-1<0;lnxv0,则(x21)lnx>0;当x>1时，

37、x21>0;lnx>0,贝U(x21)lnx>0.因此当x>0时,(x21)lnx>0恒成立.又当kW0时，k(x-1)2<0,故当kW0时，(x21)lnx>k(x1)2恒成立.下面讨论k>0的情形.当x>0且xw1时，(x21)lnxk(x1)2=(x21)lnxk1x+1,k(x1)l,12kx2+2(1-k)x+1设h(x)=lnx(x>0且xw1),h(x)=；-2=；2.x+1'八''x(x+1)x(x+1)记4=4(1-k)2-4=4(k2-2k).当0,即0vkW2时，h'(x)>

38、0恒成立，故h(x)在(0,1)及(1,+8)上单调递增.于是当0vxv1时，h(x)vh(1)=0,又x21v0,故(x21)h(x)>0,即(x21)lnx>k(x1)2.当x>1时，h(x)>h(1)=0,又x21>0,故(x21)h(x)>0,即(x21)lnx>k(x1)2.又当x=1时，(x21)lnx=k(x1)2.因此当0vkW2时，(x21)lnx>k(x1)2对一切正实数x恒成立.当>0,即k>2时，设x2+2(1k)x+1=0的两个不等实根分别为x1，x2(x1<x2).函数(f)(x)=x2+2(1k)x

39、+1图像的对称轴为x=k-1>1,又虫1)=42kv0,于是x1<1<k-1<x2.故当xC(1,k1)时,(f)(x)<0,即h'(x)v0,从而h(x)在(1,k-1)在单调递减；而当xC(1,k1)时，h(x)<h(1)=0,此时x21>0,于是(x21)h(x)<0,即(x21)lnxvk(x-1)2,因此当k>2时，(x21)lnx>k(x-1)2对一切正实数x不恒成立.综上，当(x21)f(x)>k(x1)2对一切正实数x恒成立时，k<2,即k的取值范围是(一8,2,【说明】本题以函数的最值为载体考查分

40、类讨论思想.第三问比较难，两个注意：适当变形后研究函数h(x);当k>2时，区间(1,k1)是如何找到的.学习必备欢迎下载23 .已知函数f(x)=sinxxcosx的导函数为f'(x).求证：f(x)在(0,可上为增函数；1 2(2)若存在xC(0,明使得f'(x)>2x+就成立，求实数入的取值范围；*(3)设F(x)=f'(x)+2cosx,曲线y=F(x)上存在不同的三点A(xi,Yi),B(x2,y*0(x3,¥3),xi<x2<x3,且xi,x2,x3C(0,句，比较直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小，并证明.解(1)证明：

41、f'(x)=xsinx,当xC(0,兀)时，sinx>0,所以f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,向上单调递增.一.1212-(2)因为f(x)>2x+双，所以xsinx>2+过.1当0vxv兀时，X<sinx2x.1 1设&x)=sinxx,xC(0,明则(j)(x)=cosx3当0vxv，.一a一，Mx)>0；当金<xv兀时，<f)(x)<0.3.一,TTTT.于是()(x)在(0,§)上单调递增，在g，句上单倜递减,所以当0VXV兀时，(Xx)max=g(:步一6因此K乎一2 6(3)由题意知只

42、要判断3二衿<F(x2)F(x1)的大小.x3x2x2x1首先证明：F(x3)T(x2)vf(x2).x3*2由于x2x3,因此只要证：F(x3)-F(x2)<(x3-x2)F%).设函数G(x)=F(x)-F(x2)-(x-x2)F'(x2)(x2<x<Tt),因为F'x)=xcosx-sinx=-f(x),所以G'(x)=F(x)F优)=f(x2)-f(x),由(1)知f(x)在(0,兀)上为增函数，所以G'(x)v0.则G(x)在仅2,句上单调递减，又x>x2,故G(x)<G(x2)=0.而x2x3<兀，则G(x3

43、)<0,即F(x3)-F(x2)-(x3-x2)F'(x2)V0,即F(x3)F(x2)v(x3x2)F'(x2).从而F(x3)F(x2)vF仅2)得证.x3x2'同理可以证明:F'(x2)vF(x2)F(x1)x2x1因此有vF(x2)T(x1),即直线AB的斜率大于直线BC的斜率.x3x2x2x1【说明】本题以三角函数为载体，考查导数的应用及分类讨论思想，适时结合形分析.其中第三问找一个中间量F'(x2),难度稍大.学习必备欢迎下载24.已知数集A=ai,a2,，an(0<ai<a2<<an,n>2,nCN*)具

44、有性质P:yi,j(1<i<j<n),ai+aj与aj-ai两数中至少有一个属于A.(1)分别判断数集1,2,3,4是否具有性质P,并说明理由；(2)证明：ai=0；*(3)证明：当n=5时，ai,a2,a3,a4,as成等差数列.证明(1)由于4+4与44均不属于数集1,2,3,4,所以该数集不具有性质P.(2)因为A=ai,a2,，an具有性质P,所以an+an与anan中至少有一个属于A,又an+an>an,所以an+an£A,所以ananCA,即0CA,又ai>0,a2>0,所以a1=0;(3)当n=5时，取j=5,当i>2时，ai+

45、as>as,由A具有性质P,%aCA,又i=1时，asaCA,所以asajCA,i=1,2,3,4,5.因为0=a1va2<a3<a4<a5,所以a5a1>a5a2>a5a3>a5a4>a5a5=0,贝Ua5ai=a5,a5a2=a4,a5a3=a3,从而可得a2+a4=a§,a§=2a3,故az+a4=2a3,即0va4a3=a3a2a3,又因为a3+a4>a2+a4=a5,所以a3+a4A,贝Ua4一a3A,则有a4a3=a2=a2ai.又因为a5a4=a?=a2一a,以a§a4=a4一a3=a3a2=a2

46、a1=a2,即a1，a2,a3,a4，a5是首项为0,公差为a2的等差数列.【说明】本题主要考查集合、等差数列的性质，考查运算能力、推理论证能力，本题是数列与不等式的综合题.对于复杂的数列问题，我们往往可以从特殊情况入手，找到解题的突破口.25.设MN*,正项数列an的前项积为Tn,且VkCM,当n>k时，x/Tn+kTnk=TnTk都成立.(1)若“=1,ai=43,a2=343,求数列an的前n项和;an+12=a12=3(n>2).an(2)若“=3,4,ai=42,求数列an的通项公式.解：(1)当n>2时，因为M=1,所以Tn+iTn-1=TnTi,可得an+i=a

47、nai2,故又ai=，3,a2=3透，则an是公比为3的等比数列，故an的前n项和为*:3)=乎3乎.I322(2)当n>k时，因为Tn+kTn-k=TnTk,所以MTn+i+kTn+1-k=Tn+iTk,.Tn+kTnkTnTk口口'所以j=丁丁，即Van+1+kan+1-k=an+1,Tn+1+kTn+1-kTn+11k2.an+4an-2an+1，因为M=3,4,所以取k=3,当n>3时,取k=4,当n>4时，有an+5an-3=an+i2.由an+5an-3=an+/知)数列a2,a6,ai0,a14,a18,由an+4an2=an+12知，数列a2,a5,a

48、8,ai,a14,数列a3,a6,a9,a12,a15,数列a4,a7,ai0,a13,a16,a22,1a4n-2,是等比数列，设公比为q-由得，/q3,且手a17,，a18，a3n，是等比数列，设公比为,成等比数列，设公比为qi,q2,ai9,a22,，a3n+i,，成等比数列，设公比为3=q14,所以q=q4；q3,2)d学习必备欢迎下载由得，竺a6由得，照a10q3,且q3,且a18a6a22a103q24,所以q2=q”,3q34,所以q3=q4；、3所以q1=q2=q3=q4.由得，a6=a2q,%=a3q2,所以色=9=甲，a2q2所以a2,a3,a4是公比为q4的等比数列，所以an(n>2)是公比为q4的等比数歹U.因为当n=4,k=3时，T7Ti=T42T32；当n=5,k=4时，T9Ti=T52T42,由得，a10=a2q2,a10=a4q32,所以:=qq2=q2,1所以(q4)7=2a24,且(q4)10=2a26,所以q4=2,1又a1=，2,所以an(nCN*