原函数和导函数的关系

1、WORD格式.可编辑课题：探究原函数与导函数的关系首师大附中数学组王建华设计思路这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路

2、和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。整个教学流程1.从经验观察发现，猜想得命题p,q.这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。2 .学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。3 .函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶函数的性质拓展为关于直线x=a对称，研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变

3、条件使之成为真命题。4 .已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。教学目标在这个探究过程中1 .加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；2 .增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。教学重点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。教学难点灵活运用所学知识探索未知领域。新课引入你能根据原函前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,数的图像画出导函数的示意图吗？探

4、究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。专业知识整理分享WORD格式.可编辑问题1已知函数y=f(x)的图像，请尝试画出其导函数的图像示意图。y=f(x3xy=f(x)=x导函数的实质是原函数的瞬时变化率，导函数的正负反应了原函数的单调性，导函数的大小反应了原函数增减的快慢。从图像的整体性质上看，你还有什么发现？猜想p:可导的奇函数的导函数是偶函数,猜想q:可导的偶函数的导函数是奇函数。问题2你能根据图象上解释一下你的猜想吗？奇函数关于原点中心对称，它的曲线在原点两侧等距离处升降速度相同，即切线斜率相等；偶函数关于y轴对称，它的曲线在y轴两侧等距离处升降速度绝对值相等，即切线斜率互为相反数。

5、问题3尝试证明你的猜想P:已知y=f(x)是可导的奇函数，求证y=f(x)时偶函数分析1：欲证y=f(x)时偶函数，只需证f(-x)=f(x)若将f(-x)理解将f(x)中的x替换为-x得到的函数，可以用导数定义证明。专业知识整理分享WORD格式.可编辑证明：当y=f(x)是奇函数时，对定义域中的任意x都有f(x).f(-x-xx)-f(xK)f(x-,：x)f(x)f(x)f(x_.：x)f()二项区=则-x二则一二一二f(x)所以y=f(x)时偶函数分析2.用复合函数求导证明：当y=f(x)是奇函数时，对定义域中的任意x都有f(_x)=f(x)两边对x求导得f(_x)=f(x),即f(x)

6、导函数导函数=原函数p:可导的奇函数的导函数是偶函数(真)p逆：若y=f(x)是偶函数,则奇偶性q:可导的偶函数的导函数是奇函数(真)y=f(x)奇函数.(假)q逆：若y=f(x)是奇函数，则y=f(x)偶函数.(真)r：右R上可导函数y-f(x)关于(a,b)r逆：对于在R上可导的函数y=f(x),对称，则它的导函数关于直线x-a对若它的导函数关于直线x=a对称，则对称。(真)原函数关于(a，f(a)对称.称性s:若R上可导函数y-f(x)关于x-a对称，则它的导函数关于(a,0)对称。(真)s逆(改)：对于在R上可导的函数(真)y=f(x),若它的导函数关于(a,0)对称，则原函数关于直线

7、x=a对称。(真)证明上述命题的思路：1 .由原函数研究导函数用符合函数求导；2 .由导函数研究原函数从要证的式子出发寻找原函数的性质。课后思考研究：判断s逆是否正确，如果正确尝试证明，若不正确举出反例。教学反思：学生对这样的课很感兴趣，一方面可以在探索的过程中加深对导数概念的理解，另一方面可以感受到数学内部的严谨性和对称美。命题的产生来自经验，命题的证明需要用复合函数的导数这一工具沟通原函数和导函数的对应关系，开始学生觉得有点吃力，需要教师加以专业知识整理分享WORD格式.可编辑启发引导。但证过两个命题后，学生对后面的命题证明就有了可以类比迁移的样板，证明的思路就更清晰了。最后讲的两个应用问题学生感觉这节课推出的命题是有用武之地的。这节课的主旨不在于记住这些