博弈论与信息经济学__课后答案

1、张1.5工（库诺特博弈）假定后F个库诺特寡头企业，衽个企业具行相祠的不变单位生产成本，市场逆箭求函数足户=疝一Q,其中。是市场价格.Q=必是总供给量m是大产零的常效看企业£的战略是啮样产量中最大化利海E牛储一Q-C）,给定共他企业的产量q-求库诺特纳什均衡.均衡产量和价格如何随力的变化而变化？为什么？参考善景:垠据问题的假设可知各厂商的利陶函数为：其曰*=1,，rtr将利润函数对q,求导并令其为0得:解得各厂商对其他厂商产量的反应函数为:%）/2根格组个厂酉之间的对称性，可知如=如代入上述反应函数可解存:Qi=Q：因此该博弈的纲什均衡是所有性个厂商部生产产量勺46?；16.伯川德博弈

2、）假定两个鼻头企业之间进行价格竟争（而不是产量竞争3两个企业生产的产品是完全替代的，并且单位生产成本相同且不变，企业1的阶格为小，企业2的侪格为也如果由户”企业1的市场需求函数是的一“一外,企业2的需求函数是。孑如果自力.企业1的需求函数为0企业2的需求函数为小工二&一小;如果户,=加一户市场需求在两个4.让之间平分，即事一心一广）“，什久是纳什均衡价格？假定消费者从价格低的厂商购买产品，如果两企业价格相同，就平分市场，如果企业i的价格高于另一企业，则企业i的需求量为0,反之，其它企业的需求量为0。因此，企业i的需求函数由下式给出:Q(Pi)Pi；p_iqi=:Q(pi)/2pip_i

3、0pi>p_i从上述需求函数的可以看出，企业i绝不会将其价格定得高于其它企业；由于对称性，其它企业也不会将价格定的高于企业i,因此，博弈的均衡结果只可能是每家企业的价格都p；c相同，即pi=p/但是如果R=pj>c那么每豕企业的利润g=兀i=qi>0,因此，企j2业i只要将其价格略微低于其它企业就将获得整个市场的需求，而且利润也会上升至p-；-cp_c_Q(pi-s)>HiQ(pi),0)。同样，其它企业也会采取相同的策略，如22果此下去，直到每家厂商都不会选择降价策略，此时的均衡结果只可能是R=pj=c。此时,企业i的需求函数为4=型。2张1.88.(Ed欧wcnh双

4、算头价格竞争)在练习&中，假定每个企业的最大生产能力是K单位生产成本为仁=1。需求函数的参数如果两个企业的阶格相同市场需求在二者之间平分手如果自V声八企他“低价格企业)的产量为min(100/>(即最大销售量不超过生产能力，企业八高价格企业)的产最为minmox(0,100乩-K),K(即只有当低价格企业不能满足需求时高价格企业才生产，并且产量不超过生产能力).(D说明企业】的支付函数是，(Al(J)inin(100一和.长3牝V机Ij(/>!JO)min(5O加tpl)*?S10)min<100K一小,X>t>j>2(0fotherwise(2)行

5、定3OCKV45,证明这个博弈不存在纯桢略纳什均衡.(这个问题可能比较困难.清参阍弗得伯格和泰勒尔1931,第3839页，或TimleQ988)第215-216页。张2.33.下面的两人博弈可以解耗为两个黑头企业的价格竞争博奔.其中户是企业1的价格，4是企业2的价格。企此1的利润函数是：Jr=一(/>口“十+q企业2的利油函数是：式毯=一(<?-+P求解;(3)两个企业同时决策时的纯战略)纳什均衡，(2>企业1先决策时的子博弈精拣纳什均衡；(3)企业2先决策时的子博弈精炼纳什均衡。是否存在某些参数值3M")使得每一个企业都希如自已先决策？<2>企业1先法

6、黄。根墀逆推归纳法，先求企业2的反应函数,学=-b=0=*</=/»出入企业1的利洵函数，得到：2一一(？一吗+广产+。"一必+小十仔Q=再把该价格代入企业I的反应函数,得:因此企业2先决策时子悒奔完美纳什均衡是：企业1定确为P-于+Hr-1；企业2定位为q=多十方。此时两个企业的利润为：通（Qf+p一（号+6-6）+/一rQ?1>=-十ub-c4（4）因为只有先决策的利润大于后决策的利港时企业才希望先决策，因此当：企业1希里自己先决策。这个不等式在。#0的情况下总能满足。当企业2希望自己先选择）这个不等式要求“VO。因此根据上述两个不等式.只要V。,两个企业都

7、会希望自己先决策。如果进一步考虑利润必须非负，那么几个参数还必须满足占>0、/>0、9一，>0和-<->0o其中第四个不等式,在aWO并4Jl第三个不等式成立时必然成立,前三个不等式结合上述a<0.得到两个企业都希望先决策的条件是aVO.6>一葛和，（必，4张2.44.考虑如下的双寡头市场的战略性投资模型.:企业】和企业2前情况下的单位生产成本是F-2.企业1可以引道一项新技术使单位生产成本降低到匚=，该项技术需提的投资为人企业2可以观察到企业】的投资决策.在企业作出是否投资的决策之后，两个企业同时选择产量（库诺恃博弈），因此,这是个两阶段博弈。假定需

8、求函数为P（q）=149其中户是市场价格.q是两个企业的总产量问题;当f取什么值时，企业1将投究引进新技术？拿书琴亲分企业1第一阶埃未引道和引进投费法种情况每种情况都用逆推归纳法进行分析口假设企业I第一阶段未投资引进新技术此时两个企业的边际成本都是2,利润函数为:m（14-g的）旗2电或？"f14一中一雁）%2小家网今隹业利海对各自产市的端肾数并令为Q,得:14-2中一q一2=0a。、.3券=14-2q：一出一2二0联立福个反应函数可杆得纳件均衡产员为位=4,力=4,此时企业1的利润为w=16.瑕设企业I第恸段引进新技术口此时企业1的边际成本下降到L两个企业的利相涵数为：*1=（】4

9、一航一笑,?一/%！=：1一不一钮史-2%求两个企业和演对各自产量的偏百毂并令为耍得:=14f2q1；0%142版一如一20口联立两个反应函数可解得纳外均选产量为切=L企业1的利酒为丁一等一人现在我们回到第一阶段.根目然只有引进新技术后等到息利润大于未引进新技术的总利润,即£=与。一了g%=16即当时，企业】才会投第引迸新技术。<7张2.99.在伯川德价格博弈中，假定有打个生产企业,需求函数为P(Q)="一如其中P是市场价格，0是双个企也的总供给的，偎定博弈量发无穷多次.每次的价格坡立即观察到企业使用.触发战略straregies).求使垄断价格可以作为精馀均衡结果出

10、现的最低贴现闪子初解释与泥的关系,如果观察滞后一个阶段(即t期的价格在/-FI期被观察到).合作会变得更为困难吗？(1)由于古诺博弈的阶段均衡是qi=",此时的利润为a二cn1n1i；若各家企业合作垄断市场，则此时的最优产量是产argmax(anq-c><qi,可求得qi=亘二c,此时的利润2n2a-C二qj为faci,此时若有企业i背叛，其产量就是qi=归一=*U(a-c),其收益4n24nn+122为1I(a-c)°下面我们来看重复博弈下的古诺博弈。在这个博弈中，有两个博弈路4n径，我们分别进行讨论。首先，在惩罚路径上，由于每个阶段参与企业选择的都是最优的产

11、量，因此能够获得最优的收益，因此是均衡的。其次，在合作路径上，只要合作的收益大于背叛的收益，则均衡也是可以实现的，这要十ac：1，1n+1)2,1ac加曰攵、-4n1求：I之I(a-c)+,解得111+2。I4nJ1-6I4nJ1(n+1Ji(n+1)(2)伯川德博弈的阶段均衡是pi=c,此时参与者的利润均为0。若各企业合作，则a-ca-c此时的取优价格te：pi仁argmax(pi-c/a-pi),此时pi=,贝Uqi=,禾U润22n2为3c）。而若有企业i背叛，则其选择价格pi=亘二0其产量为Q,利4n22润为（ac）。下面我们来看重复博弈下的伯川德博弈，在这个博弈中，也有两个博弈路径，4

12、我们分别讨论如下：首先在惩罚路径上，由于每个阶段的企业选择都是眼前最优，因此，它能够实现均衡。其次，在合作路径上，只要合作的收益大于背叛的收益，则均衡也是可以实现的，这就22要求：至la二"十。，求得6至11。4n1-、4n（3）伯川德博弈中的最低贴现因子小于古诺博弈中的贴现因子的原因在于其惩罚要严重的多，因此其对于耐心的要求也就要相对较小。张3.4两个企业同时决定是否进入一个市场'企业的进入成本U.E0,8）是私人信息，来白独立的分布函数FQ（密度函数）严格大干本人如果只有一个企业进入,进入企业i的利润函数为IF-也：如果两个企业都进入雪企业的利洞函数为nJ-；如果没有企业

13、进入，利洞为生.假定115和如是共同知识，且1F用。0问即指出这个博弈与32节第二部分的相同之处和不同之处M2）计算贝叶斯均衡并证明均衡是唯一的.类似的题：两个厂商同时决定是否进入某个市场”两个厂商的炒人成本为白0,+8是各自的私人信息另一个厂商只知道心的分布函额为只有一个厂商i进入时收益为H心，两个L商部进入时收益各为L一小都不SE入收短箱为电求濠博弈的贝叶斯纲什均雷口基考番案，根据何JK的假设，该博弈的餐益矩阵如下:进入不速入工一(1L<tH-a.O*H一口|Q.0J-赛Lrft2进入不专入假设厂商1天足如下的临界值笑略:当口匕加时，采用“讲入"第略；当qA5时，采用&qu

14、ot;不进入“策略：假设厂商2乘用如的益界范策晤;当C时,采用1进入”箧骼；当能/时,采用“不进人策略因此商1果用道入策略的概率是收侬)，不理人的概率是】一产(口3商2采用进入策珞的喉率是O,不进入的唯率是l-P(f),这样就得到厂商I迸人的海罪值物=FY/NLH)+H中从厂商2的角度来看.选择进入和不进入的期望潺益分别为:P(翱)X(Lr；)+IP(w)X(/et)=P1即RLH)+H仃P(w)XOl-P(Ur)yo=Q当迸入的期望得益大于不进入的班室得益时厂商2才会来用进人口所以厂商2的进人条件是工P(w(LHj+H-qPdL-H)+H这样就得到了南2进入的临界值工一P(w)(L-H)4-

15、H在已加分布函数力FSJ的情况下，可从轻立方程纲|w=PHML-H)-HIf=P(710(L-H)-H解词L和50以这四个低界值均造的临界传策明.献是该僻弈的贝叶斯纳什均衡“此时厂商1选搔进人的概率为1-口),厂商2选择送入的概率为尸(打“张3.88.一个垄断企业生产一种产品供应两类消费符，企业的单位成本为，消费者的效用函数为"8.7）二外-T），其中。代表消费柏的需求强度吃代我消费量.rg）代我支付的费用（整廿的函数兀假定5）是产林递噌的四函数t第-类消费者的甫求强度为0=6第二类消费者的需求强度为0_&避外,假定需求强度是消费者的私人信息。企业的问题是决定71/J和取门,

16、/,即向每类消费并的供应地.和收取的费用的“正因为企业不知道消费者的类型,当它这样做的:申生企业啊崎两种打束乙第:二种约束是阳蓬，消受,丹趣喙I.张4.22.图4A.i是一个信号传递博弈：自然首先选择参与人1的类型，参与人1知道白然的选择，参与人2不知道，只知道参与人属于类型力和类型”的可能性相等,参与人1然后选择信号，.或女;参与人2金衍选择行动U或八.博弈结束,支付向量如终点给所示,给出这个博齐的所有纯战略分离均衡和混同均衡.图4A.14.4一等曜虹与*，茨就会号手魅一个楼&电H火空力学.二潴基於假人艺专年起区袅漫我或史伏哈演反鼠弊:个描注音线沟会及然;室灯煞晶必忍够管然士与冷：簌

17、锹大泊港荣子为餐堂凝效/管牛咫£.筏处3絮£叁糠,9宛馔一遹:W；。之班工"p：/x戈/,3声jP：d%：工6/；C哈达吟二二介二（丁七，:、，,"=-/工q应?T空张4.5仅参与人1有两个类型“一强（概率为0,9）和弱（慨率为61人参勺人2有一种类型,恃强欺弱.舂可人I知道丹己的类型，参与人"只均道参与人】类型的分布函效，参与人1的行动是选择早餐时是否吃辣椒匕参与人2观察到参与人2的早餐内容然后判断参与人1的特征，选择是否袭击他,如果参与人1是强者对应不同行动组合的支付矩阵如表4A.M九如参与人I是弱苕，对应不同行动州合的支付好阵如表4A.3

18、（b）u注意，这两个表中参与人2选挂的是行动.从表中可以看出，如果侍息是完全的，当参与人1是强者时，精嫉纳什均衡结果是（吃辣根不袭击）；当参与人是弱步时，格炼纳什均衡结果是（不吃辣椒，袭击）。另外，加类参与人I都不愿意遭受参与人2的袭击。给出这个博汗的扩展式表述（博弈的人找出所有的分离均衡和混同均衡孑特别地,证明（不后辣楸，不袭击M=0.1,q>"2>是一个混同精炼博弈树均衡这个湿同均衡满足“刷除分战略标册。但不满是“白观标MEY这里.是给定参与人不吃辣樵的情况下,参与人2认为参与人1属于弱者的概率叫是给定参与人1吃辣椒的情义卜”.参与人2认为参与A】属弱者的概率兀表4A.J<a>参与人1是强者时参与人1吐疑楸1,-13.0分吃辣椒u.一130参与人2丧出不袭击，w11aLife（b）餐与人1是弱者时拿“人10,12,0不吃甥椒0.13,0参与人2袭击不塞击类似的题:府一蛋铢樽弹Cho&*中（1987”。Cho&Kreps以吃酒一蛋糕博弈的例子来解邺直观标准。在这个痔奔里，参与人1是一个苦于打架的强后的横率为。.9,是个不普于打架的弱者的帐率为0.1。但基，即使参与人I认为自己加第打蜃.他也不想和别人打架。如果参与人I是弱者,参与人2就想和他打架。参与入2不知道参与人i的类型，但是他能够现察客与人I的早餐吃什么。参