命题角度3+应用正弦定理和余弦定理求解三角形中的范围问题

1、2020届高考数学(理)大题狂练命题角度3:应用正弦定理和余弦定理求解三角形中的范围问题1.已知函数f(x)=J3sin2x+sinxcosx-咚.(I)求函数f(x)的单调递增区间；(n)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A为锐角且求a的取值范围【答案】(1)f(x)=sin'2xI单调增区间霭.5二一k二，|1212+knZ)aw2,4)【解析】试题分析ND由隆幕公式与倍角公式，及轴助角公式，化简竭力二向0元-，再由zrjrjj-+2k7i<2x-<-+2kkZf解得单调递增区间(2)由/(4)=0乂一,解，二一，再由方+£=4和角A余弦定理和

2、均值不等式，可得232/二y十，一加=.*3bc之丝2-="要注意三角形两边之和大于第三边？即8十c口,4,所以。已2,4)。试题解析(1)函数变形f(x>5?3P-cOs2x21、3一一sin2xl_Hrr=sin2xI,即3fx=sin(2)fA=sina兀-一兀兀一.一令+2k；r<2x-<-+22k,k解Z得23255nI55冗一+kn<<)5-十几，乘以单调增区间一+kn,+knYkeZ1212，1212_二二二2奠二二0MA<一,一-<2A<所以2A-=一2333332奠-：112222bc解得A=，又b+c=4,在ABC中

3、，a=b+cbc=(b+c)-3bc-=4,34等边三角形时等号成立，所以a>2,又因为是三角形所以b+c>a,a<4,所以ae2,4)。2.已知函数一xxfx=sin-cos33(i)求f(x)的最小正周期;(n)若a,b,c是AABC的三条边，且b2=ac,边b所对的角为x弧度，求f(x)的最大值.【答案】f(x)的最小正周期为T=3n;(2)x=T时，"x)的最大彳1为咚+1.【解析】试题分析：(I)利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式可将f(x)化为sin色十三)+显,从而可得结果；(n)根据余弦定理以及基本不等式求得0<xM2，3323结合正弦函数

4、的图象与单调性可得结果.试题解析：(I)因为f(x)=1sinZ+4311+cosZx1=sinf2+,2323332所以f(x)的最小正周期为T=3冗.(n)因为b2=ac所以cosx=222ac-b2acc2-ac2ac2ac-ac1/-2ac2.1.,一贝U一cosx：二1,从而2冗0：x.32x二5瓦|13.2x二因为一<十w,则<sinI十IM1.33392.332x工工工.',13所以当十-=,即*=一时，f(x)的最大值为+1.332423.已知a,b,c分另ij为|_ABC三个内角A,acosC.3asinC-b-c=0.(I)求A的大小;a=J3,求b2+

5、c2的取值范围(n)若ABC为锐角三角形，且(n)1；2sin2B-6<2,5:二b2c2<6【解析】试题分析：(I)根据条件，由正弦定理可得sinAcosC+褥sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC,由此求得A的值.一一,11化简可得sin(A-309=一2n)由正弦定理sinAsinBsinC22,2_bw4siBn=讨论2b-二6的范围，可得b2+c2的取值范围.试题解析：(I)由OCQSC+«sinChc=0得：sincosC+siiijlcosCsin5sinC=0；艮1siiL4cosC+sinJcosC-sin(/+C)sinC=0

6、,括siik4co$C8sJsiiiCsinC=0,且siuC。,716eC'6,6一万，所以66(n)由正弦定理:sinAsinBsinC,22bc.2_22=4sinBsinC=22-cos2B-cos2c=4-2cos2B-2cos2,;B3=4-cos2B3sin2B=2sinI2B一又JT0:二B:二2ji，冗Ji0：二-B:二所以1<2sin'2B-）<2,5<b2十c2<6I6厂4.在AW即中,角小小r所对的边分别是/:，已知sinB+疝C二郎i闻mER），且啰一物沪。.（1）当=2,阳=,时，求b、？的值；（2）若角A为锐角，求小的取值范

7、围【答案】（1）工/（2）c-Jc=2,11【解析】试题分析：（i）由正弦定理把已知等式sinB+sinC=rnsinAfmER）化为j+e二用0即可利用已知条件解方程组.（2）当角4为锐角可转化为cos4二一；：,从而士<m2<2再由由。+r=楸可得加>0.所以“in<也.2试题解析：由题意得白+C=吟曲4氏=SCI)当a=2m=声寸，8+c=Lb=2.h-解得L_i或葭=2m2-3E(OA).c-2C=2tQ】)m=二=.；<m2<29又由8+卷=ma可得wi>0所以<m<遮.5 .已知AEC三个内角的对边为Qbcrn=（a.cosB）

8、,（ssAT）,d*b，mln（i）判断三角形的形状，并说明理由；3波+京血1T（n）若y=,试确定实数y的取值范围.丸限见面【答案】（I）三角形ABC是直角三角形，理由见解析；（n）（2眼+00）。【解析】试题分析：（I）利用题意结合正弦定理可得4+E二;所以三角形ABC是直角三角形；2（n）利用题意换元，结合对勾函数的性质可得实数y的取值范围是（2'2+g）.试题解析:(I)Ln,tm-n=03.acosAbcosB=0由正弦定理知-三=上=2K=.a=sinA匕=sSnB.Bin/*smoJsiiL4cos4=sii15cosB，:sin2H=sin2&E(Otn)9/.

9、24=25244-2B=3（舍去）,月+6=9所以三角形ABC是直角三角形(口)”:sinE=coMsin*roU2t2ta-l-fi-Lsill(A+7)E(7，1«sinA+cos以6(t2令siM+cosA=tE(L闻siMco娟二?，,一-在（1,以单调递增，二.Qt一二y2-三二匚t确工2”，与。，故y的取值范围为（2徽.+叫点睛：（1）应用公式时注意方程思想的应用，对于sina+cosa,sinacosa,sinacosa这三个式子，利用（sina±cosa）2=1+2sinacosa可以知一求二.（2）关于sina,cosa的齐次式，往往化为关于tana的式子

10、.6 .I_ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知点（a,b）在直线x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上.(i)求角C的大小；(n)若|_ABC为锐角三角形且满足m=1,求实数m的最小值.tanCtanAtanB【答案】(1)三(2)实数m的最小值为2.【解析】试题分析：1 一二(1)利用题意结合余弦定理求得cosC=一，故角C的大小为一；2 3.一ab)(2)切化弦整理可得m=2|a+b_1今2,lbaJ当且仅当a=b即LABC为正三角形时，实数m的最小值为2.试题解析：解：(1)由条件可知a(sinAsinB)+bsinB=csinC,根据正弦定理得a2+b2-c

11、2=ab,ab-c1又由余弦定理cosC=abc=12ab2sinCcosAcosB"I+cosCIsinAsinB/“、11m二tanCtanAtanBsinCcosAsinBcosBsinAxcosCsinAsinB_2_22sinC_2csinAsinBab_222ab-abab=2+2-/)>2x(21)=2,ba当且仅当a=b即LABC为正三角形时，实数m的最小值为2.a7.设a,b,c分别为MBC三个内角A,B,C的对边，若向量a_Lb,且-42A-B5a=co(A+B),cos,b=_,1.,528(1)求tanAtanB的值；(2)求j蜉的最小值(其中S&

12、;BC表示AABC的面积).222c-a-b13【答案】(1)tanAtanB=(2)一916【解析】试题分析：(1)由542A-BI1a?b=0n.1(A+B)o+s=ABo=;s08IL529SABC22,2c-a-b1,.cabsinC222.2c-a-b1tanC4tanAtanB>2,tanAtanB3试题解析:r4-yCOS5),005411-9),MJ162a-bf-f5且G_LB.苕匕=0,即日分=84cos5(/+为2a-b+cos5cos(/+8)+4cos(A£)=055cosJcosS+5siiL4siiiS+4coi4coiS+4siik4sjiiS=

13、0,+9sixL4sin5=0因此fajkdtaiiS=_91=-absinC与余弦te理,21.-absinC2absinCc2-a2-b2c2-a2-b24abcosC-tanC4在AABC中，tanC=tan(A+B),_SABC2=1tanAB)=222c-a-b4tanAtanBtanAtanB41-tanAtanB41-1921tanAtanB-2,tanAtanB=一3S.ABC222一c-a-b16,即当且仅当A=B时,S.ABC22.2.ca一bmin16.但是本【点晴】本题主要考查正余弦定理、向量的数量积和重要不等式，属于属于中档题型题使用重要不等式公式是比较容易犯错，使用

14、该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等.平时应熟练掌这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.8.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,并且b=2.(1)若角A,B,C成等差数列，求AABC外接圆的半径;(2)若三边a,b,c成等差数列，求AABC内切圆半径的最大值【答案】(1)R=23(2)r工叵33【解析】试题分析：(1)首先求得/B的值，然后利用正弦定理求解外接圆半径即可；(2)利用题意首先求得r=ac陋，然后确定r=空陋或结合余弦定理和均值不等式确

15、定求66MBC内切圆半径的最大值即可.试题解析：7T(1)由角4&C成等差数列及N/+NS+NC=得NB=，3设AC外接圆的半径为立由正弦定理或=3=2更。迫332(2)由三边2瓦仁成等差额列得2i=c+c,所以口+B+c=6,设&15c内切圆半径为r面积为贝ijS=-(o+b+c”=三0«山£22所以广=-6方法一：a+c=4之2acW4ccc22ac2ac12一26-12acac一6-1411皿=-(a=cW2sinBB-0,332(Bn=一时取等号)343acsinB.r:66ji(a=c,B=一时取等，即三角形为正三角形时)3cosB=ac"

16、;=ac一2ac-4方法ccc2a2c2-b2ac-2ac-4cosB=2ac2ac12-2ac6,二12acacac=4acbabcbca1：二a:二31：c:二3b=2ac=a(4-a)=-(a-22+4w(3,4】r0,Tr<9.在MBC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足cosA2cBoscrnA)n,=2cosAcos-+A.66(1)求角B的值；(2)若b=J3且bWa,求a1c的取值范围.2冗一出Q【答案】(1)a；(2)|y,V3.【解析】试题分析：(1)由由二倍角的正弦、余弦公式及两角和与差的余弦公式化简可得,2-2A-2B=-,可得8窈的值，从而求得3的值,

17、(2)由正弦定理可得2a-c=2sinA-sinC=3sin(f求出的范围，根据正弦函数的图象与性质可得结果一26/6,7T、，冗试题解析：(1)由已知cos2Acos2B=2cosIAIcos+A66Zg223212得2sinB-2sinA=21-cosAsinA44化简得sinB=Y3,故8=三或".因为bEa,所以B=±,2333(2)由正弦定理=_c_=里=2彳马，sinAsinCsinB、32故a-lc=2sinA-sinC=2sinAsinf-A=3sinA-cosA=J3sin1A三】因232262二二,二二为ba，所以一WA<,一AA<一33662所以a-c='Tssin1A-_,V32I6，：2,J10.在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,a-b=bcosC.(1)求证：sinC=tanB；(2)若a=1,C为锐角，求c的取值范围.【答案】(i)见解析；(n)(1,2衣).【解析】试题分析：(I)由正弦定理及sinA=sin(B+C),结合a-b=bcosC化简可得.(n)表示c2=a2+b2_2abosC=b+4b-4(=b彳2厂8再由a-b=bcosC知b=a=2