中考数学阅读理解题及答案

1、阅读理解题1 .(2019 重庆中考A卷22题)道德经中的“道生一，一生二，二生三， 三生万物”道出了自然数的特征.在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某 种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现 在我们来研究另一种特珠的自然数一一“纯数”.定义：对于自然数n,在计算 n+(n+1) + (n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”.例如：32是“纯数”，因为计算32 + 33 + 34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23 + 24+25时，个位产生了进位.(1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；(2)求出不

2、大于100的“纯数”的个数.解(1)2019不是“纯数”，2020是“纯数”.理由：当 n=2019 时，n+1 = 2020, n+2 = 2021,个位是9 + 0 + 1 = 10,需要进位，.2019不是“纯数”；当 n=2020 时，n+1 = 2021, n+2 = 2022,.个位是0 + 1 + 2 = 3,不需要进位，十位是2 + 2 + 2 = 6,不需要进位，百 位为0 + 0 + 0 = 0,不需要进位，千位为2 + 2 + 2 = 6,不需要进位，.2020 是“纯数”.(2)由题意可得，连续的三个自然数个位数字是0,1,2,其他位的数字为0,1,2,3时，不会产 生

3、进位,当这个数是一位自然数时，只能是0,1,2,共3个，当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1,2,3,个位数字是0,1,2,共 9个，当这个数是三位自然数时，只能是100,由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3 + 9 + 1 = 13,即不大于100的“纯数”有13个.2 .阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌.这是武侠小说 中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的"对子"，如：('15 + 3)(,'15 3)=4, (-.；13 +'12)(回;12) =1,它们的积不含根号，

4、我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是，二次根式除法可以这样解:299'-,1,，97 + 97'99；'5 '3(,'5 ,''3)(/5+,;3)、后+2>q5+/3,二2,1、/62 点一季.2+金=（2+2+=7+4 ：3.像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把 2 ；3 （2 ；3）（2 + %：3）分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化.解决问题：（1）比较大小：厂E+V35 + /3厂（用“”“”或“二”填空）;4 6 2：5 ：3(2)计算：二+一尸+1 L3 + ： 35

5、 '3 + 3 ； 57、； 5 + 5 ； 7(3)设实数 x, y 满足(x+：'x2+2019)(y+；'y2+2019) =2019,求 x+y+2019 的值.,'6 + 2y'6 + 2'6 2(.16 2)(；16 + 2)2 ，原式=2(3/3 5也3 m 775 5W99 病97 顾)返)12 198J1991、6 +30+70 H 99X97X2 ,£42区 6+610 + 10 14+ + 194 198)33 ,：(x+ -Jx2+2019)(y+ ：反+2019) =2019,2019y+ y2+2019_20

6、19(y %反+2019)2019=qy2+2019y, 同理可得2019x+ 'i''x2+2019_2019(x ；x2 + 2019)2019=%入2+2019x, + 得 x+y = 0,，x+y+2019 = 2019.3.阅读材料：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分 子的次数高于分母的次数，在实际运算中往往难度比较大，这时我们可以考虑逆 用分数(分式)的加减法，将假分数(分式)拆分成一个整数(或整式)与一个真分数 的和(或差)的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法， 此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明.解：X

7、2 x+3x(x+1) - 2(x+1) + 5x(x+1)2(x+1)5：=：=：1：x+1x+1x+1x+1x+15x+1,x2 - x + 3,. . 5这样，分式一T.一就拆分成一个整式x2与一个分式的和的形式.x 1x-1解决问题：x2 + 6x 3(1)将分式+61 V2x2+ (1 2a)x+ (4 3a) =0,拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式， x 1则结果为;2x2 + 5x 20(2)已知整数x使分式2 +5)的值为整数，则满足条件的整数 x =x 3；(3)若关于x的方程2x2+ (1 2a)x+ (4-3a) =0有整数解，求正整数a的 值.解(1)x+

8、7+7 解法提示x-1x2+6x3x 1(x1)2 + 8(x1) + 4x1一x1 + 8 +44xrx+7+xI故结果为x+7+4x1'(2)2,4,16,10 解法提示2x?+5x20 2x2 6x+11x 33 + 13x 3x32x(x3)+11(x3)+13x3= 2x+11 +13 x-3.13要使原式的值为整数，则一为整数，故x=2,4,16,10. x32x?+x 2ax+4 - 3a0,即(2x+3)a=2x2 + x+4,.2x? + x+4 7 + (2x+3)(x1).a =2x+32x+371 + 2x+3,又a, x均为整数，.2x+3是7的约数， ，2x

9、+3=±1,±7,Jx 1, a5x2, a10或2,I a2或1x5'a 一 7.又二a为正整数，.a=5或2.4 .阅读下列材料：已知实数 m, n 满足(2m2+n2+1)(2m2+n21)=80,试求 2m2+n2 的值.解：设2m2 + n2 = t,则原方程变为(t + 1)(t 1)=80,整理得t21 80, t2 = 81,.t=±9,因为 2m2+n2>0,所以 2m2+n2 = 9.上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方 法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新 字母代替(

10、即换元)，则能使复杂的问题简单化.解决问题：(1)已知实数 x, y 满足(2x2+2y2+3)(2xz+2y2 3)=27,求 x?+y2 的值；(2)若四个连续正整数的积为11880,求这四个连续正整数.解(1)令 2x2+2y2 = t,则原方程变为(t + 3)(t 3)=27,整理得，t2 9 = 27,t2 = 36.t=±6.,.2x2+2y2三0,，2x2+2y2=6,，x2+y2=3.(2)设四个连续正整数为k1, k, k+1, k+2(kN2且k为整数).由题得(k1)k(k+1)(k+2)=11880,.,.(k1)(k+2)k(k+1)=11880,二.(k

11、z+k2)(kz+k) = 11880.令 t=k2+k,则(t 2)-t = 11880, t2 2t 11880 = 0,?.t1 = 110, 5 108(舍去)，则 k2+k=110,得 = 10, k2= - 11(舍去).综上，四个连续正整数为9,10,11,12.5 .阅读材料：材料一：对实数a, b,定义T(a, b)的含义为：当a<b时，T(a, b)=a+b； 当 aNb 时，T(a, b) =ab.例如：T(1,3)=1 + 3 = 4； T(2,1)=2( 1)=3.材料二：关于数学家高斯的故事：200多年前，高斯的算术老师提出了下面 的问题：1 + 2 + 3

12、+ 4+ 100=?据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加 时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1 + 100) + (2 + 99)+ + (50 + 51)=101X50 = 5050.也可以这样理解：令S = 1 + 2 + 3+100，则S=100 + 99+3 + 2+ 1， + 得 2s = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98)+(100 + 1) = 100X(1 +100个100)=10100,即S = MX|3=5050.2解决问题：已知 x+y=10,且 x>y,求 T(5, x)T(5, y)的值;(2)对于正数 m,有 T

13、(m2+1,1)=3,求 T(1, m+99) +T(2, m+99) +T(3, m+99) +T(199, m+99)的值.解 (1)：x+y=10,且 x>y,，x>5, y<5.，T(5, x) T(5, y) = (5+x) (5 y)=x+y=10.(2)：m2+1> 1,Ams+1( 1) =3,Vm>0,Am=1,/.T(1, m+99) +T(2, m+99) +T(3, m+99) +T(199, m+99)= T(1,100) +T(2,100) +T(3,100)+T(199, 100)=(1 + 100) + (2 + 100)+ (99

14、 + 100) + (100 100) + (101 100)+(199100)=(1 + 2 + 3+199) 100100=19800.199X(1 + 199)-100 = 19900 26 .(热点信息)在现今“互联网+ ”的时代，密码与我们的生活已经紧密相 连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简 单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的 密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3 + x2 4x 4 因式分解的结果为(x+1)(x+2)(x 2),当 x=15 时，x+1 = 16, x+2 =

15、17, x 2 = 13,此时可以得到数字密码161713.(1)根据上述方法，当x = 20, y=17时，对于多项式xzy+xz+xy+x分解因式后可以形成哪些数字密码？(写出三个)(2)若多项式x3+(m3n)x2nx21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834,求m, n的值.解 (1)x2y+xz+xy+x = x(xy+x+y+1) =x(x+1)(y+1).当 x=20, y=17 时，x=20, x+1 = 21, y+1 = 18.二形成的数字密码可以是202118,211820,182021(其他结果合理即可).(2)由题意得，x?+ (m

16、3n)x2nx21= (x3)(x+1)(x+7),*/ (x 3)(x+1)(x+7) =x? + 5x2 - 17x21,xa+ (m3n) x2nx-21=xa+5x2 17x21.m3n=5,m=56,n=17,解得 k17.，m, n的值分别是56,17.7 .已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和， 则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则 称这个数为“谐数”.如果一个数既是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为 “和谐数”.例如 321,<3 = 2 + 1,，321 是“和数”，:3 = 22 12,，321是 “谐数”，

17、321是“和谐数”.(1)证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；(2)已知 a=10m+4n+716(0WmW7,1WnW3,且 m, n 均为正整数)是一个 “和数”，请求出所有a的值.解(1)证明：设“谐数”的百位数字为x,十位数字为y,个位数字为 z(1WxW9,0WyW9,0WzW9 且 y>z, x, y, z 均为整数)，由题意知 x = y2 z2= (y+z)(y z),，x+y+z= (y+z)(yz) +y+z= (y+z)(yz + 1). y+z, yz的奇偶性相同，y+z, yz + 1 必然一奇一偶.(y+z)(yz+1)必是偶数.任意“谐数”的

18、各个数位上的数字之和一定是偶数.(2)：0WmW7,，2Wm+2W9. 1WnW3,，4W4nW12.，10W4n+6W18,，a=10m+4n+716= 7X100+(m+1)X10+(4n+6)= 7X100+ (m+2)X10+ (4n+6 10)= 7X100+(m+2)X10+(4n4),a 为”和数”，7=m+2+4n4,即 m+4n=9.：0WmW7,1WnW3,且m, n均为正整数，fm=1,fm=5,，jn=2或jn=1，a 的值为 734 或 770.8 .如果一个正整数m能写成m=a2 bz(a, b均为正整数，且a/b),我们b称这个数为“平方差数”，则a, b为m的一

19、个平方差分解，规定：F(m)=-.afa+b = 8,例如：8 = 8X1 = 4X2,由 8 = a2 b2=(a+b)(ab),可得j b =1 或a+b=4, a b=2.I a=3, 因为a，b为正整数,解得jb=1,所以F(8)= 3又例如：48 = 132 112=8242 = 72 12,所以 F(48)=!|'或;或;.13 2 7(1)判断：6 平方差数(填"是”或“不是”)，并求F(45)的值；(2)若s是一个三位数，t是一个两位数，s = 100x + 5 , t = 10y + x(1WxW4,1WyW9, x, y是整数)，且满足s + t是11的倍

20、数，求F(t)的最大 值.解(1)不是解法提示根据题意，6 = 2X3 = 1X6,由6 = a2 b2=(a+b)(ab)可得，a+b=3, a b=2|a+b = 6, Mair因为a, b为正整数，则可判断出6不是平方差数.根据题意，45 = 3X15 = 5X9 = 1X45,由 45 = a2 b2=(a+b)(ab),Ia+b=15,Ia+b=9,Ia+b=45,可得。h R或1 hi或1 h1la d 3I a d 5I a d1.a和b都为正整数，|a=9,I a=7,I a=23,解得或或jb = 6jb = 2jb = 22,2 2 22，F(45)=5或亍或右.3 7 2

21、3(2)根据题意，s = 100x+5, t = 10y+x,s + t = 100x+10y+x+5.Vl<x<4, l<y<9, x, y 是整数，/.100<100x<400,10<10y<90,6x+5<9,/.116<s + t<499.Vs + t为11的倍数，.*.s+t最小为n的ii倍,最大为n的45倍.lOOx末位为0,10y末位为0, x+5末位为6到9之间的任意一个整数,*.s + t的末位是6到9之间的任意一个整数.当 x=l 时，x+5 = 6,.*.11X16 = 176,此时 x=l, y = 7,

22、，t = 7L根据题意，71 = 71X1,由 71 = 82 b2= (a+b) (ab),可得a+b = 71,| a=36,35”b=L *4=35,.当 x = 2 时，x+5 = 7,.*.11X27 = 297,此时 x=2, y=9.：.t = 92.根据题意，92 = 92X1 = 46X2 = 23X4,I a+b = 23, 或 a-b = 4.由 92 = 82 bz= (a+b) (ab),a+b = 92,I a+b = 46,可得 a-b=l 或 a-b = 2a=24, 解得b = 22._L乙当 x = 3 时，x+5 = 8, .*.11X38=418,此时x

23、=3, y没有符合题意的值， .*.11X28 = 308,此时x=3, y没有符合题意的值.当 x=4 时，x+5 = 9, .*.11X39=429,此时 x=4, y=2.：.t = 24.根据题意，24 = 24X 1 = 12X2 = 8X3 = 6X4,由 24 = 82 b2= (a+b) (ab),a+b = 24,a+b = 12,| a+b = 8,a+b = 6,可得ab=l或ab = 2或ab=3或里解得a=7 b = 5(a=5, 或篙,5 1.F=7或511X49 = 539不符合题意.35 11 5 1 综上，F(t)=35或苫或7或1.35.F(t)的最大值为防9. (1)问题发现：如图 1,在4ABC 中，AB=AC,NBAC=60。，D 为 BC 边 上一点(不与点B, C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转60。得到线段AE,连 接EC,则NACE的度数是；线段AC, CD, CE