几何问题的处理方法ppt课件

1、29.1 29.1 几何问题的处置方法几何问题的处置方法哥白尼哥白尼地球是运动的地球是运动的缺乏根据缺乏根据,无法证明无法证明想一想：想一想：在公理的根底上，我们以证得了许多与平行在公理的根底上，我们以证得了许多与平行线、三角形有关的图形的属性，并将这些图形的线、三角形有关的图形的属性，并将这些图形的属性均作为进一步推理的根据，于是又进一步属性均作为进一步推理的根据，于是又进一步证明等腰三角形、平行四边形的性质与断定定理。证明等腰三角形、平行四边形的性质与断定定理。例如，有了例如，有了“边角边公理，我们以证明了边角边公理，我们以证明了等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理“等腰三角形的底角相

2、等等腰三角形的底角相等、“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合即等腰三角形三线合一底边上的高相互重合即等腰三角形三线合一。 等腰三角形性质定理等腰三角形性质定理 等腰三角形的等腰三角形的两个底角相等。两个底角相等。 简写成简写成“等边对等角等边对等角 等腰三角形顶角的平分线、底边上的等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合中线、底边上的高相互重合 简写成简写成“等腰三角形的三线合一等腰三角形的三线合一我们还可以用逻辑我们还可以用逻辑推理的方法得到等推理的方法得到等腰三角形的性质：腰三角形的性质： 等腰三角形两底角什么关系

3、？怎样证明？等腰三角形两底角什么关系？怎样证明？ 2.等腰三角形的顶角等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、平分线、底边上的中线、底边上的高相互重底边上的高相互重合简写成合简写成“等腰三等腰三角形的三线合一角形的三线合一等腰三角形的性质定理：等腰三角形的性质定理： 1. 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等简写成简写成“等边对等角等边对等角在在ABC中中 AB=AC B=CCAB21BDAC在在ABC中中,AB=AC 1=2 ADBC，BD=CD ADBC 1=2 ，BD=CD BD=CD 1=2 ， ADBC 以等腰三角形为条件时的常用辅助线以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如

4、图：假设如图：假设AB=AC 作作ADBC于于D，必有结论，必有结论:1=2，BD=DC 假设假设BD=DC，连结，连结AD，必有结论：，必有结论：1=2，ADBC 作作AD平分平分BAC必有结论：必有结论：ADBC，BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作这样作：作ADBC，使，使1=2.ABCD1 2 对普通三角形能用对普通三角形能用SSA断定两个三断定两个三角形全等吗？为什么？角形全等吗？为什么？ 我们曾经经过画图、比较，发现： 假设两个直角三角形的斜边及一条直角

5、边分别对应相等，那么这两个直角三角形是全等的RTHL定理 27.2.2 知：如图，在知：如图，在ABC和和ABC中，中， ACBACB90,ABAB，ACAC 求证：求证： ABC ABC 知：如图，在知：如图，在ABC和和ABC中中, ACB=ACB=90 AB=AB,AC=AC. 求证：求证：ABC ABC 把把 ABC和和ABC拼在一同，使相等拼在一同，使相等的直角边的直角边AB和和AB重全在一同，并使点重全在一同，并使点C和和C在在AB.的两旁，的两旁，C、BB、C在一在一条直线上。条直线上。(A)C(B )ACBcBACBA(A)C(B)ACBcBACBA 证明；如图证明；如图,把把

6、ABC和和ABC拼在一同拼在一同,由于由于ABC=ABC=90 (知知) 所以所以 CBC=180等式的性质等式的性质 即点即点C、 B、C在同一条直线上。在同一条直线上。 在在ACC中，由于中，由于AC=AC= AC 知知 所以所以 C= C 等边对等角等边对等角 在在ABC和和ABC中。中。 由于由于ABC=ABC 知知 C=C 已证已证AC= AC 知知 所以所以ABC ABC A.A.S证明：假设一个三角形有两个角相等，那么这证明：假设一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等两个角所对的边也相等 CAB知：在知：在ABC中，中，BC，求证：求证：ABACD等腰三角形的断定定理

7、等腰三角形的断定定理简写成简写成“等角对等边等角对等边在在ABC中中B=CAB=AC我们知道等腰三角形的识别方法是我们知道等腰三角形的识别方法是: 假设一个三角形有两个角相等假设一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等那么这两个角所对的边也相等.知：如图知：如图,在在ABC中中, B=C.求证求证:AB=ACABCD证明证明:作作ADBC于点于点D在在BAD和和CAD中中,B=C(知知)ADB=ADC=90 (作图作图)AD=AD(公共边公共边)BAD CAD(A.A.S.)BA=CA (全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)如图。按照下面的步骤，在方格纸上如图。按照下面的步骤，

8、在方格纸上画一个平行四边形。画一个平行四边形。探求探求步骤步骤1：画两条平行线；：画两条平行线；步骤步骤2：在两条线上分别取点：在两条线上分别取点A和点和点B，连结，连结AB；步骤步骤3：沿着程度方向平移：沿着程度方向平移AB到到DC，就得到，就得到ABCD。ABABDC如图。用剪刀把如图。用剪刀把ABCD从方格纸上剪下，再在一从方格纸上剪下，再在一张纸上沿张纸上沿ABCD的边沿，画出一个四边形，记为的边沿，画出一个四边形，记为四边形四边形EFGH。那么四边形。那么四边形EFGH和四边形和四边形ABCD完完全一样，也为平行四边形。它们的对应边、对应角全一样，也为平行四边形。它们的对应边、对应角

9、都相等。都相等。在在ABCDABCD中连结中连结ACAC、BDBD，它们的交点记为，它们的交点记为O O。用一枚图钉在点用一枚图钉在点O O穿过，将穿过，将ABCDABCD绕点绕点O O旋转旋转18001800，察看旋转，察看旋转后的后的ABCDABCD和纸上所画的和纸上所画的EFGHEFGH能否重合。能否重合。旋转旋转18001800之后两个平行四边形完全重合。之后两个平行四边形完全重合。即平行四边形是中心对称图形，对角线的交即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点点O O就是对称中心。由此得到：就是对称中心。由此得到：他能从中得出他能从中得出ABCDABCD的一些边角关系吗？的一些边角关系

10、吗？ADADBCBC，ABABDCDC A A C C； B B D D即平行四边形的对边即平行四边形的对边相等、对角相等。相等、对角相等。如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是平行四边形。是平行四边形。求证：求证：ABABCDCD，BCBCDADA。例例2证明：连结证明：连结ACAC。四边形四边形ABCDABCD是平行四边形知是平行四边形知ABCDABCD平行四边形的定义。平行四边形的定义。BACBACDCADCA两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等同理同理BCABCADACDAC在在ABCABC和和CDACDA中，中， BACBACDCADCA已证，已证，ACACCACA公共边

11、，公共边， BCABCADACDAC已证，已证， ABCABCCDA CDA A.S.AA.S.AABCD，BCDA全等全等三角形的对应边相等三角形的对应边相等由由ABC CDA ，还可得：，还可得： B D，同理也可得出，同理也可得出: BA D= DCB.平行四边形的对边相等，对角相等。平行四边形的对边相等，对角相等。平行四边形的性质平行四边形的性质w定理定理: :平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等. .BDCA四边形ABCD是平行四边形.AB=CD,BC=DA.w定理定理: :平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等. .四边形ABCD是平行四边形.A=C, B=D.定理定理: :

12、平行四边形的对角线相互平分平行四边形的对角线相互平分. .四边形ABCD是平行四边形.CO=AO,BO=DO.BDCAO推论推论: :夹在两条平行线间的平行夹在两条平行线间的平行线段相等线段相等. .MNPQ,ABCD,AB=CD.BDCAMNPQ回想 思索平行四边形的性质：平行四边形的性质：边边平行四边形的对边平行平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等角角平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补平行四边形的邻角互补对角线对角线 平行四边形的对角线平行四边形的对角线 相互平分相互平分例例3：同样，我们可以证明：平行四边形的对角线相互各平分。同样，我们可

13、以证明：平行四边形的对角线相互各平分。有了平行四边形的性质，还可以证明矩形、菱形、有了平行四边形的性质，还可以证明矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质。例如要证明菱形的对角正方形、等腰梯形的有关性质。例如要证明菱形的对角线相互垂直，可以先证明菱形的四条边相等。这是由于线相互垂直，可以先证明菱形的四条边相等。这是由于菱形的对边相等，且有一组邻边相等，故四条边都相等。菱形的对边相等，且有一组邻边相等，故四条边都相等。如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是菱形。是菱形。求证：求证：ACBDACBD，且，且ACAC平分平分BADBAD。证明：设证明：设ACAC与与BDBD相交于相交于O O。 四

14、边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，BOBODODO平行四边形的对角线相互平分平行四边形的对角线相互平分ABABADAD菱形的四条边相等菱形的四条边相等 ACBD ACBD，且，且ACAC平分平分BADBAD等腰等腰三角形三线合一三角形三线合一矩形的性质矩形的性质w定理:矩形的四个角都是直角.知:如图,四边形ABCD是矩形.w分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.证明: 四边形ABCD是矩形,A=900,四边形ABCD是平行四边形.C=A=900,B=1800-A=900, D=1800-A=900.求证:A=B=C=D=900.四边形ABCD是矩形.DBCA想一想:正

15、方形的四个角都是直角吗? 我思我思,我提我提高高矩形的性质矩形的性质 我思我思,我提我提高高w定理:矩形的两条对角线相等.知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.求证: AC=BD.证明: 四边形ABCD是矩形,AB=DC,ABC=DCB=900.w分析:根据矩形的性质性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.DBCABC=CB,ABCDCB(SAS).AC=DB.菱形的性质菱形的性质w定理:菱形的四条边都相等. 我思我思,我提我提高高知:如图,四边形ABCD是菱形.w分析:由菱形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证.证明: 四边形ABCD是菱形,AB=AD,四边形ABCD是平行四边

16、形.AB=CD,AD=BC.求证:AB=BC=CD=DA. AB=BC=CD=AD.CBDA菱形的性质菱形的性质 我思我思,我提我提高高w定理:菱形的两条对角线相互垂直,并且每条对角线平分一组对角.知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O.求证: (1).ACBD; (2).AC平分BAD和BCD, BD平分ADC和ABC. 证明:(1) 四边形ABCD是菱形,AD=CD,AO=CO.w分析:根据平行四边形对角线相互平分和等腰三角形“三线合一来证明.DO=DO,AODCOD(SSS).AOD=COD=900.DBCAOACBD.(2)AD=AB,DA=DC,ACBD

17、; AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.正方形的性质正方形的性质 我思我思,我提我提高高w定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.w求证:(1)A=B=C=D=900.w (2)AB=BC=CD=DA.w分析:由于正方形具有矩形和菱形的一切性质,所以结论易证.w证明:四边形ABCD是矩形,也是菱形.A=B=C=D=900,AB=BC=CD=DA.四边形ABCD是正方形,ABCDw知:四边形ABCD是正方形.正方形的性质正方形的性质 我思我思,我提我提高高w定理:正方形的两条对角线相等,并且相互垂直平分,每条对角线平分一组对角.w求证:(1).AC=BD,ACBD,AO=CO,B

18、O=DO;w (2).AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC. w分析:由于正方形具有矩形和菱形的一切性质,所以结论易证.w证明:四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.AO=CO,BO=DO;AC=BD;四边形ABCD是正方形,ACBD;AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.w知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.ABCDO等腰梯形的性质定理等腰梯形的性质定理1.1.等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形在同一底上的两个角相等. .ABCD2.2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等. .ABCD19.3.8 对上述定理分别作出证明：对

19、上述定理分别作出证明： 定理等腰梯形的同一条底边上的两个内角相定理等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等等 1.知：如图，在梯形知：如图，在梯形ABCD中，中，ADBC， ABDC 求证：求证：ABCDCB，BADCDA 分析可以过点分析可以过点D作作DEAB， 交交BC于于E 请他写出完好的证明过程请他写出完好的证明过程演示演示 证明：过D作DEAB，交BC于E，由于 ADBC， 所以ABED是平行四边形. 所以 AB=DE. 又由于 AB=DC， 那么 DE=DC, 所以DEC是等腰三角形,可得 DEC=C. 由于 DEAB， 所以 ABC=DEC(两直线平行同位角相等) 所以 ABC=DC

20、B. 同理可证：BAD=CDA. 定理等腰梯形的两条对角线相等定理等腰梯形的两条对角线相等 2.知：如图，在梯形知：如图，在梯形ABCD中，中，ADBC， ABDC 求证：求证：ACBD 分析可以经过证明分析可以经过证明ABC DCB得出结得出结论论 请他写出完好的证明过程请他写出完好的证明过程 3.知：如图，ABCD是等腰梯形. 求证：AC=BD. 分析：可经过平移对角线将等腰梯形转化成平行四边形和等腰梯形，再利用有关知识证得结论. 证明：过D作DEAC，交BC延伸线于E.(以下学生本人完成) 在第在第2020章中，我们证明了平行四边形、矩形、章中，我们证明了平行四边形、矩形、菱形、正方形、

21、等腰梯形的断定方法。菱形、正方形、等腰梯形的断定方法。由此可知，由给出的公理，以及与由此可知，由给出的公理，以及与等式、不等式有关的性质出发，是可以等式、不等式有关的性质出发，是可以经过逻辑推理的方法证明我们曾经探求经过逻辑推理的方法证明我们曾经探求研讨过的一切几何图形属性的。研讨过的一切几何图形属性的。平行四边形的断定平行四边形的断定w定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.w定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理:对角线相互平分的四边形是平行四边形.定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.回想 思索wAB=CD,AD=BC,w四边形ABCD是平行四边形.BDCABDC

22、AOwABCD,AB=CD,w四边形ABCD是平行四边形.wAO=CO,BO=DO,w四边形ABCD是平行四边形.wA=C,B=D.w四边形ABCD是平行四边形.边边角角对角线对角线两组对边分别平行两组对边分别平行两组对边分别相等两组对边分别相等两组对角分别相等两组对角分别相等对角线相互平分对角线相互平分的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形一组对边平行且相等矩形的断定矩形的断定w定理定理: :有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形. .w定理定理: :对角线相等且相互平分四边形是矩形对角线相等且相互平分四边形是矩形. .回想 思索wA=B=C=900,四边形ABCD是矩形

23、.DBCADBCAAC,BD是ABCD的两条对角线,且AC=DB.四边形ABCD是矩形.w定义定义: :有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形. .矩形的断定矩形的断定w定理:有三个角是直角的四边形是矩形. 我思我思,我提我提高高知:如图,在四边形ABCD中, A=B=C=900.w分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.证明: A=B=C=900,A+B=1800,B+C=1800. ADBC,ABCD.求证:四边形ABCD是矩形.四边形ABCD是平行四边形.DBCA四边形ABCD是矩形.矩形的断定矩形的断定w定理:对角线相等的平行

24、四边形是矩形. 我思我思,我提我提高高知:如图,在ABCD中,对角线AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.DBCAw分析:要证明ABCD是矩形,只需证明有一个角是直角即可.w证明:AB=CD,ABCD.AC=DB,BC=CB, ABCDCB.ABC=DCB.四边形ABCD是平行四边形.ABC+DCB=1800.ABC=900.四边形ABCD是矩形.直角三角形的断定直角三角形的断定 我思我思,我提我提高高w定理:假设一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.w求证:ABC是直角三角形.21ABCD知:CD是ABC边AB上的中线,且EABCDw分析:要证明ABC是直角三角

25、形,可以点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.w证明:延伸CD到E,使DE=DC,衔接AE,BE.四边形ACBE是平行四边形.AB=2CD,CE=2CD, AB=CE.四边形ACBE是矩形. AD=BD,CD=ED,ACB=900.ABC是直角三角形.菱形的断定菱形的断定w定理:对角线相互垂直的平行四边形是菱形. 我思我思,我提我提高高知:如图,在ABCD中,对角线ACBD.求证:四边形ABCD是菱形.w分析:要证明ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可.w证明:AO=CO.ACBD, DA=DC.四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD是菱形.DBCAO正方

26、形的断定正方形的断定 我思我思,我提我提高高w定理:对角线相互垂直的矩形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可.w证明:ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.ACBD,四边形ABCD是菱形.ABC=900.四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形.知:四边形ABCD是矩形,且ACBD.ABCDO正方形的断定正方形的断定 我思我思,我提我提高高w定理:有一个角是直角的菱形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一

27、组邻边相等的矩形即可.w证明:AB=BC,C=A=900,B=1800-A=900.A=B=C=900.四边形ABCD是矩形.四边形ABCD是菱形,A=900,AB=BC,四边形ABCD是正方形.w知:四边形ABCD是菱形,A=900.ABCD正方形的断定正方形的断定 我思我思,我提我提高高w定理:对角线相等的菱形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可.w证明:AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.AC=BD,四边形ABCD是矩形.AB=BC,四边形ABCD是菱形,四边形ABCD是正方形.w知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.ABCDO正方形的断定正方形的断定 我思我思,我提我提高高w定理:对角线相互垂直的矩形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可.w证明:ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.A