习题124求下列微分方程的通解

1、习题12-4 1.求下列微分方程的通解: (1);解. (2)xy¢+y=x2+3x+2;解原方程变为. (3)y¢+ycos x=e-sin x;解. (4)y¢+ytan x=sin 2x;解=cos x(-2cos x+C)=C cos x-2cos2x. (5)(x2-1)y¢+2xy-cos x=0;解原方程变形为. (6);解. (7);解. (8)yln ydx+(x-ln y)dy=0;解原方程变形为. (9);解原方程变形为.=(x-2)(x-2)2+C=(x-2)3+C(x-2). (10).解原方程变形为. 2.求下列微分方程满足所

2、给初始条件的特解: (1),y|x=0=0;解.由y|x=0=0,得C=0,故所求特解为y=xsec x. (2),y|x=p=1;解.由y|x=p=1,得C=p-1,故所求特解为. (3),;解.由,得C=1,故所求特解为. (4),y|x=0=2;解.由y|x=0=2,得,故所求特解为. (5),y|x=1=0.解.由y|x=1=0,得,故所求特解为. 3.求一曲线的方程,这曲线通过原点,并且它在点(x,y)处的切线斜率等于2x+y.解由题意知y¢=2x+y,并且y|x=0=0.由通解公式得=ex(-2xe-x-2e-x+C)=Cex-2x-2.由y|x=0=0,得C=2,故所求

3、曲线的方程为y=2(ex-x-1). 4.设有一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k1)的力作用于它,此外还受一与速度成正比(比例系数为k2)的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.解由牛顿定律F=ma,得,即.由通解公式得.由题意,当t=0时v=0,于是得.因此即. 5.设有一个由电阻R=10W、电感L=2h(亨)和电源电压E=20sin5tV(伏)串联组成的电路.开关K合上后,电路中有电源通过.求电流i与时间t的函数关系.解由回路电压定律知,即.由通解公式得.因为当t=0时i=0,所以C=1.因此(A). 6.设曲在右半

4、平面(x>0)内与路径无关,其中f(x)可导,且f(1)=1,求f(x).解因为当x>0时,所给积分与路径无关,所以,即f(x)=2f(x)+2xf¢(x)-2x,或.因此.由f(1)=1可得,故. 7.求下列伯努利方程的通解: (1);解原方程可变形为,即.,原方程的通解为. (2);解原方程可变形为,即.,原方程的通解为. (3);解原方程可变形为,即.,原方程的通解为. (4);解原方程可变形为,即.,原方程的通解为. (5)xdy-y+xy3(1+ln x)dx=0.解原方程可变形为,即.,原方程的通解为. 8.验证形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的微分

5、方程,可经变量代换v=xy化为可分离变量的方程,并求其通解.解原方程可变形为.在代换v=xy下原方程化为,即,积分得,对上式求出积分后,将v=xy代回,即得通解. 9.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解: (1);解令u=x+y,则原方程化为,即.两边积分得x=arctan u+C.将u=x+y代入上式得原方程的通解x=arctan(x+y)+C,即y=-x+tan(x-C). (2);解令u=x-y,则原方程化为,即dx=-udu.两边积分得.将u=x+y代入上式得原方程的通解,即(x-y)2=-2x+C(C=2C1). (3)xy¢+y=y(ln x+ln y);解令u=xy,则原方程化为,即.两边积分得 ln x+ln C=lnln u,即u=eCx.将u=xy代入上式得原方程的通解xy=eCx,即. (4)y¢=y2+2(sin x-1)y+sin2x-2sin x-cos x+1;解原方程变形为y¢=(y+sin x-1)2-cos x.令u=y+sin x-1,则原方程化为,即.两边积分得.将u=y+sin x-1代入上式得原方程的通解,即. (5)y(xy+1)dx+x(1+xy+x2y