随机变量及其分布()

1、一、一、随机变量的概念随机变量的概念第一节 一维随机变量 及其分布(1)第二章三、内容小结三、内容小结二、二、分布函数的概念分布函数的概念 概率论是从数量上来研究随机现象的内在规概率论是从数量上来研究随机现象的内在规律性律性,为了更方便有力的研究随机现象为了更方便有力的研究随机现象,就要用数学就要用数学分析的方法来研究分析的方法来研究, 因此为了便于数学上的推导和因此为了便于数学上的推导和计算计算,就需将任意的随机事件数量化就需将任意的随机事件数量化,当把一些非数当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时量表示的随机事件用数字来表示时, 就建立起了随就建立起了随机变量的概念机变量的概念.1.

2、随机变量的引入随机变量的引入一、随机变量的定义一、随机变量的定义(1) 为什么引入随机变量为什么引入随机变量?(2) 随机变量的引入随机变量的引入实例实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色观察摸出球的颜色.非数量非数量?可采用下列方法可采用下列方法 红色红色 白色白色)(eXR10将将 数量化数量化 =红色、白色红色、白色 即有即有 X (红色红色)=1 , ., 0, 1)(白白色色红红色色eeeXX (白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 =红色、白色红色、白色 数量化了数量化了.实例实例2 抛掷骰子抛掷骰子,观察出现的点

3、数观察出现的点数., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXX).6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1(,61 iiXP =1、2、3、4、5、6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有且有eeX )(则有则有2. 随机变量的随机变量的定义定义定义定义2.1 设设 E是随机试验，其样本空间为是随机试验，其样本空间为 = . 若对于每一个样本点若对于每一个样本点 ，都有唯一的实数值，都有唯一的实数值 X( )与之对应，则称定义在样本空间与之对应，则称定义在样本空间 = 上的上的单值实函数单值实函数X( )为随机变量，简记为

4、为随机变量，简记为 X.常用常用 X，Y，Z，表示随机变量；表示随机变量；用用x, y, z, 表示表示X，Y，Z，的取值的取值.注注. .1 X( )的定义域是样本空间的定义域是样本空间 ，而，而 不一不一随机变量随机变量X( ) 与高等数学中的实函数与高等数学中的实函数有有本质本质的区别：的区别：定是实数集定是实数集；2 X( )的取值是随机的，它的每一个可的取值是随机的，它的每一个可3 随机变量是随机事件的数量化随机变量是随机事件的数量化. 即即对于任意实数对于任意实数 x, X x 是随机事件是随机事件.能取值都有能取值都有一定的概率一定的概率；实例实例3 掷一个硬币掷一个硬币, 观察

5、出现的面观察出现的面 , 共有两个共有两个结果结果:),(1反反面面朝朝上上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有则有)(eX)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X (e) 是一个随机变量是一个随机变量.实例实例4 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止直到击中目标为止,则则,)(所所需需射射击击次次数数 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可能取值为

6、的所有可能取值为:., 3, 2, 1实例实例5 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则则,)(此此人人的的等等车车时时间间 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可的所有可能取值为能取值为:.5 , 03.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限多个无限多个(可列个可列个), 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变

7、量 X 的可能值是的可能值是 :随机变量随机变量连续型连续型实例实例11, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型非离散型其它其它实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为 “连续射击连续射击, 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, 则则 X 的可能值是的可能值是: ., 3, 2, 1实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”, 则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, 3, 2, 1, 0实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“

8、测量某零件尺寸时的测误测量某零件尺寸时的测误差差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a, b) 内的任一值内的任一值.实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.)., 0 (2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围为二、分布函数的概念二、分布函数的概念 为了对离散型的和连续型的为了对离散型的和连续型的 随机变量以及随机变量以及更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方法，下面引进了法，下面引进了分

9、布函数分布函数的概念的概念.1.分布函数的定义分布函数的定义设设 X 是随机变量，是随机变量，x 是任意实数是任意实数，函数，函数 )(xXPxF 称为称为X 的的分布函数分布函数.定义定义2.2记作记作 X F(x) 或或 FX(x). 1 如果将如果将X看作数轴上随机点的坐标看作数轴上随机点的坐标,则分则分布函数布函数F(x)的值就表示的值就表示X 落在区间落在区间(- , x的概的概率率.xxX xxXPxF),()(注注. 问：问： 在上在上 式中，式中，X, x 皆为变量皆为变量. 二者有什么区别？二者有什么区别？ x 起什么作用？起什么作用？ F(x) 是不是概率？是不是概率？X是

10、随机变量是随机变量, x是参变量是参变量.F(x) 是随机变量是随机变量 X 取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.2 分布函数主要研究随机变量在某一区间内分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况取值的概率情况.3 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，分布函数是一个普通的函数，正是通过它， 我们可以用数学分析的工具来研究我们可以用数学分析的工具来研究 随机变量随机变量. 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, 令令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.例例1 1解解1 XP0 XP,21 0 1x,0时时当当 x, 0 0)( xXPxF

11、0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得2.分布函数的性质分布函数的性质(1) ;, 1)(0RxxF (2) 则则有有单单调调不不减减，即即若若,)(21xxxF )()(21xFxF , 0)(lim)()4( xFFx; 1)(lim)( xFFx则则若若,)3(21xx ).()(1221xFxFxXxP 证证(2)21xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,)(22xXPxF ;

12、),()0()()5(000RxxFxFxF 右右连连续续，即即 )(lim0 xFxx(3)2112xXxxXxX 所以所以)(xF单调不减单调不减.2112xXxxXxX 2112xXxPxXPxXP )()(2112xXxPxFxF 即即).()(1221xFxFxXxP 1)()4( PXP一一方方面面， kkXkP1 XP另一方面，另一方面， kkXkP1 kkFkF)()1( XP另一方面，另一方面，)(lim)(limmFnFmn 1)(lim)(lim mFnFmn1)(0,)( xFxF单单调调不不减减又又)(1,Znnxnx 有有而对于任意实数而对于任意实数),1()()(

13、 nFxFnF)()(lim)(lim存存在在进进而而mFxFmx )()(lim)(lim存存在在nFxFnx 1)(lim)(lim xFxFxx于于是是1)()( FF即即1)()()( FFF1 , 1)( F0)( F1)(0 nF1.单调有界单调有界 准则准则2. 夹逼准则夹逼准则xo)(xF 1 21 1).(),()(lim)5(000 xxFxFxx即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续.(证明略证明略)如：对如：对例例1, . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF2，则则的的分分布布函函数数为为若若)(xFX.),0()(0000RxxFxFxXP 事

14、实上，事实上，lim0000 xXxPxXP )()(lim000 xFxF)0()(00 xFxF一个函数若具有上述性质一个函数若具有上述性质(1) 、(2)、(4)和和(5), 则此函数一定是某个随机变量的则此函数一定是某个随机变量的分布函数分布函数.1 可以证明：可以证明：注注.),()()2(aFbFbXaP ).(1) 3(aFaXP 重要公式重要公式:.),0()()5(RbbFbFbXP ) 0() 4( bFbXP),() 1 (bFbXP 例例2求求已知随机变量已知随机变量 X 的分布函数为的分布函数为 . 3 , 1, 32 ,87, 21 ,84, 10 ,81, 0 ,

15、 0)(xxxxxxF,31 XP5 .5 XP,31 XP31 XP331 XPXP解解31 XP)1 () 3(FF 87)03()3( FF.83 31 XP) 1 () 3(FF 841 .21 331 XPXP)1()03(FF .3 , 1,32 ,87,21 ,84, 10 ,81,0 ,0)(xxxxxxF845 . 5 XP5 . 51 XP) 05 . 5(1 F11 . 0 例例3的分布函数为：的分布函数为：已知随机变量已知随机变量 X 0, 00,)(22xxBeAxFx.21)2()1( XPBA的的值值；，常常数数求求解解 (1)得得，由由1)( F)(lim)(l

16、im)(122xxxBeAxFF A 1 A由分布函数的右连续性，得由分布函数的右连续性，得)0()(lim)00(220FBeAFxx 0 BA即即1 AB(2) 21XP)1()2(FF )1()1(212 ee4712. 0221 ee 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘米的圆盘,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量试求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解,0时时当当 x,是是不不可可能能事事件件xX ,2

17、0时时当当 x.,02是常数是常数kkxxXP , 120 XP由由, 14 k得得.41 k即即.402xxXP 因而因而; 0)( xXPxF于于是是例例4于是于是)(xXPxF ,2时时当当 x故故 X 的分布函数为的分布函数为 . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 XP0 xXP .42x )()( PxXPxF. 1 其图形为一连续曲线其图形为一连续曲线三、内容小结三、内容小结2. 随机变量的分类随机变量的分类:离散型离散型,连续型连续型.1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的律性的, 因此为了方便有力的研究随机现象因此为了方便有力的研究随机现象, 就需就需将任意的随机事件数量化将任意的随机事件数量化,把一些非数量表示的随把一些非数量表示的随机事件用数字表示时机事件用数字表示时, 就建立起了随机变量的概念就建立起