第二学期高数下期末考试试卷及答案

1、第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、填空题（每空3分，共15分）0t221. 设Fx2eldt，则Fx2xexx12. 曲面zsinxcosy在点一，一，一处442的切平面方程是xy2z10.3. 交换累次积分的次序：dxx,ydy14. 设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成,则:QP使得格林公式：dxdy?PdxQdydxyl成立的充分条件是：Px,y和Qx,y在D上具有一阶连续偏导数其中L是D的取正向曲线；5.级数n13nn的收敛域是3,3单项选择题（每小题3分,共15分）xy1. 当x0,y0时，函数的极限是D3x4y21A.等于0;B.等于一；31C.等于一；D.不存在42. 函数

2、zfx,y在点x0,y0处具有偏导数fxx0,y0，fyx0,y0是函数在该点可微分的CA.充分必要条件；B.充分但非必要条件；C.必要但非充分条件；D.既非充分又非必要条件.3.设zexcosyxsiny，则dzx1BB.y0a.e；B.edxdy；c.e1dxdy;d.xedxdy4.若级数anx1在x1处收敛，n1则此级数;在x2处AA.绝对收敛；条件收敛；C.发散；D.收敛性不确定.5.微分方程y6y9ye3x的特解y应设为Da.ae3xB.3xaxbec.xax3xbeD.x2axbe3x三.（8分）设平面通过点3,1,而且通过,求该平面方程.1解：QA3,1,2,B4,3,0uuu

3、AB1,4,2平行该平面该平面的法向量n5,2,11,4,28,9,22所求的平面方程为:8x322即：8x9y22z59四.（8分）设zfxy,ey,其中fu,v具有二阶连续偏导数，2试求和xxy解：令uxy，vey五.（8分）计算对弧长的曲线积分e'22xydsReR20eRRdt其中L是圆周x2y2R2与直线x0,y0解：LL1L2L3其中：L1:x22yR2x0,y0L2:x00yRL3:y00xR在第一象限所围区域的边界22而exydsLi卡22故：exydsLRRRe2e2六、（8分）计算对面积的曲面积分Z2X3ydS'其中为平面一_2341在第一卦限中的部分0x2

4、解：QDxy:0y33x223-x40dx02361dy461,七.（8分）将函数fX,展开成x的幕级数.x24x3解:Qfx111111121x3x21x61x3而12111nxn,1,11x2n01110nx,3,361xn03n3fxn01n1213-nxJ1,1八.（8分）求微分方程：5x43xy2y3dx3x2y3xy2y2dy0的通解.也PQ2解:Q6xy3y,yx原方程为：通解为：x513y322xyy3xC32246n九.幕级数：yx1xxxx2!4!6!2n!1. 试写出yxyx的和函数；（4分）2.利用第1问的结果求幕级数x2n的和函数.（8分）2n!解：1、yxx3x5x

5、2n13!5!2n于是yxx2x32!3!2、令：Sx2n2n由1知：Sxex且满足：S通解：SexexdxCe1ex21得:；故：Sx2十.设函数ft在0,上连续,且满足条件其中t是由曲线ty2绕z轴旋转一周而成的曲面与平面zt（参数t0）所围成的空间区域1、将二重积分tx2y2dv写成累次积分的形式（3分）2、试求函数ft的表达式.（7分）解：1、旋转曲面方程为：ztx2y2X22ztxy，得：x2y2t在xoy面的投影区域为:Dxy:x2y212、由1得:记：A0则：ft1t12tAt2解得：15A44故:115fttN1t222两边乘以:第二学期期末高数（下）考试试卷及答案21t2再在

6、0,1上积分得:填空题（每空3分，共15分）2zy1.曲线，绕z轴旋转一周所得到的x0旋转曲面的方程是zx2y212.曲线z在点】，2,1处2的法平面方程是2x8y16z103.设z,其中fu具有二阶连续导数,2z2x14.4.级数n满足不等式5.级数n1nx1的收敛域是2nn1,3四、单项选择题（每小题3分,共15分）1.设a与b为非零向量,则arra.a/b的充要条件；b.ab的充要条件；c.ab的充要条件；d.ab的必要但非充分条件2.平面3x3y60的位置是Ba.垂直于z轴；b.平行于z轴；c.平行于xoy面；d.通过z轴.3.设函数fx,y0当Xy0时1当xy0时则下列说法正确的是c

7、A.limfx,y存在且fx,y在点0,0处的x0y0两个偏导数也存在B.limfx,y存在但fx,y在点0,0处的x0y0两个偏导数不存在c.limfx,y不存在但fx,y在点0,0处的x0y0两个偏导数存在；d.limfx,y不存在且fx,y在点0,0处的x0yo两个偏导数也不存在；4.曲线L为圆周x3cost0y3sintA.2c.6y232n13n；5.设正项级数ds等于AD.B.9n1132n12n1Unn1收敛，则必有a.limnUn1;b.limn1;c.limuncn0;D.limun0.n三.（8分）在平面1上求一直线,使得它与直线1垂直相交1解：方法1：直线y1的方向向量为

8、1,0,0z1它与平面xyz1的交点为1,1,1所求直线通过这一点，所求直线的方向向量为:故所求的直线方程为:y1方法2：直线的方向向量为1,0,0z1它与平面xyz1的交点为1,1,1所求直线通过这一点,过交点1,1,1且与直线y1垂直的平面方程为:z1即：x1xyz1故所求的直线方程为：x1yz0或:四.（8分）设zz（x,y）是由方程z33xzy0所确定的隐函数,2z解：设Fx,y,zz32xzy，则:Fx2z,Fy1,Fz3z22x,当x0,y1时z1,2z3z22x3z22x)2z(6z24x(3z22x)3五.（8分）计算曲线积分1xe2ydxL其中L为从O0,0经xx2e2yyd

9、yy24的上半圆到A2,2的一弧段解：由2xe2y知与路经无关3取B2,0，作新路经OBA折线,于是1Lxe2ydxx2e2yydy六、（8分）利用高斯公式计算曲面积分xz2dydzx2ydzdxy2zdxdy,其中为球面：x2y2z2a2的上半部分的上侧.解:作0:z0取下侧.贝Uxz2dydzx2ydzdxy2zdxdy而bz2x2y2dva50故:xz2dydzx2ydzdxy2zdxdy1七. （8分）将函数fxx24x展开成x1的幕级数111解:Qfx11而：412LJ4n2八. （8分）求微分方程：yy解：r210.r11,r21n1x彳n1x3x12n024xex的通解.1.Q1

10、是特征方程的单根，所以设yxAxBex.代入原方程得：A1,B1.y*xx1ex.故原方程的通解为：yC1exC2exx2xex.九.（12分）求由曲面z、x2y2和z6x2y2所围成立体的体积6x2y2zx2y2解:Q:o2Dxyxy02十.（10分）设yfx是第一象限内连接点A0,1，B1,0的一段连续曲线，Mx,y为该曲线上任意点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为1。试建立fx所满足的微分方程，并求fx63的表达式。1解：梯形OCMA的面积为：一x12为边的平行四边形的面积等于、449曲边三角形CBM的面积为:tdtx3dt根据题意

11、得：X12两边关于x求导得:即:x2x2Cx1故：f丄dxex由:得：C2，故:第二学期高数（下）期末考试试卷及答案3填空题（每空3分，共15分）i.已知向量arb,4,则以a,b2.曲面zsinxcosy在点一，一，处442的切平面方程是xy2z10222y3.交换积分次序dxfx,ydydyfx,ydx0x0014.对于级数（a>0）,当a满足条件a1时收敛.nia5.函数y展开成x的幕级数2x（A）充要条件（B）充分但非必要条件n2x2x1n02二、单项选择题（每小题3分,共15分）1.平面x2z0的位置是（A）（A）通过y轴（B）通过x轴（O垂直于y轴（D）平行于xoz平面2函数

12、zfx,y在点x0,y0处具有偏导数fxx0,y0,fyx0,y0,是函数在该点可（C）(C)必要但非充分条件(D)既非充分又非必要条件3设zexcosyxsiny(A)e(B)(C)e1(dxdy)4.若级数anx1n在xn1则此级数在x2处(A)敛散性不确定，则dz|x1(B)y0e(dxdy)(D)ex(dxdy)1处收敛，D)(B)发散(C)条件收敛(D)绝对收敛5.微分方程yxyx的通解是(D)!x2(A)ye2-x2(B)y(C)yCe2(D)yCe2-x2三、(本题满分8分)设平面通过点3,1,2，而且通过直线心2z，求该平面方程.521解：由于平面通过点A3,1,2及直线上的点

13、B4,3,0,因而向量AB1,4,2平行于该平面该平面的法向量为：n(5,2,1)(1,4,2)(8,9,22)则平面方程为:8(x4)9(y3)22(z0)0.或：8(x3)9(y1)22(z2)0.即：8x9y22z590.四、（本题满分8分）xy,xy，其中fu,v具有二阶连续偏导数,试求fiyf2,五、（本题满分8分）计算三重积分yzdxdydz,其中x,y,z0x1,1y1,1z212dyzdziii解:zdxdydzdxo六、（本题满分8分）计算对弧长的曲线积分Lexyds，其中L是圆周x2y2R2在第一象限的部分.解法2Lexyds解法二：Le22xydseRdseRg_（L的弧

14、长）LReR2解法三：令xRcos，yRsin，0，2七、（本题满分9分）计算曲面积分qxdydzzdzdx3dxdy，其中是柱面x2y21与平面z0和z1所围成的边界曲面外侧.解：Px,Q乙R3,由高斯公式：qxdydzzdzdx3dxdy八、（本题满分9分）求幕级数nxn1的收敛域及和函数.n1解：收敛半径：Rlim出1nan1易判断当x1时，原级数发散于是收敛域为1,1九、（本题满分9分）求微分方程y4yex的通解.解:特征方程为：r240特征根为：r2,r24y0的通解为：丫C1e2xC2e2x设原方程的一个特解为：yAex,1x原方程的一个特解为：ye3故原方程的一个通解为：y丫yC

15、1e2xC2e2x-ex3十、（本题满分11分）设L是上半平面y0内的有向分段光滑曲线,其起点为1,2，终点为2,3,212X记I|xydxxydyLyy1 证明曲线积分I与路径L无关；2 .求I的值.证明1：因为上半平面G是单连通域，在G内：212XPx,yxy,Qx,yxy二yy有连续偏导数，且：Pc1Qc1PQ2xy,2xy,yyxyyx所以曲线积分I与路径L无关。解2：设A1,2,B2,3,C2,2，由于曲线积分I与路径L无关，故可取折线路径：ACB。东北大学高等数学（下）期末考试试卷2007.7.选择题（4分6=24分）1、设a,b,c为非零向量，则（ab）c=(A)a(bc)(B)

16、(ba)c(C)c(ab)(D)c(ba).f(x,y)在(Xo,y°)处2.函数zf（x,y）在点（x0,y0）可微分的充分条件是3. 设D:x123 .二次积分odxeydy的值是y22x，f(x,y)在D上连续.f(x,y)d=D(A)2sindf(rcos,rsin00)rdr(B)22cosdf(rcos00',rsin)rdr(C)2cos2df(rcos,rsin02)rdr(D)2sin2df(rcos0'2,rsin)rdr4若级数Un与Vn都发散，则必有n1n1(A)(UnVn)发散(B)(UnVn）发散n1n1(C)（u：V；）收敛n1(D)(U

17、nn1Vn）收敛、填空题（4分6=24分）1.直线-与平面xy2z60的交点是132 .用钢板做体积为8m0x的有盖长方体水箱.最少用料S=2.4. 设为球面x2y2z2a2(a0)，贝Uo(xy)2dS=L5. 小山高度为z5x22y2.在(-,1,-)处登山，最陡方向是.246.设f(x)为周期为2的周期函数，它在,)的表达式为1,x0f(x)c，x,0x若f(x)的傅立叶级数的和函数为s(x)，则s()s()=_2三. (10分)求过点(1,2,3)垂直于直线-而与平面7x8y9z1004 56的平行的直线方程.1四. (10分)将函数f(x)一展开成(x?1)的幕级数.并给出收敛域。x

18、4x3五. (10分)计算三重积分(x2y2x)dv?其中？是由抛物面x?y?2z及平面z?5所围成的空间闭区域？六. (10分)设L是由直线x2y2上从A(2,0)到B(0,1)一段及圆弧x1y2上从B(0,1)再到C(1,0)的有向曲线，计算L(x22y)dx(3xyey)dy七. (10分)计算曲面积分，x'dydzy3dzdxz'dxdy,其中为球面x2y2z22az(a0)八. (10分)设uf(x2y2,z),f具有二阶连续偏导数，而zz(x,y)由方程得t1ez确定，求高等数学参考答案2007.7一选择题(本题共4小题，每小题4分，共计16分)1、【解】应选择Db

19、c(ba)=c(ab)=(ab)(c)=(ab)c2. 【解】应选择Aofx(x,y),fy(x,y)在点Po(xo,y°)连续zf(x,y)在点Po(x°,yo)处可微分3o【解】应选择CO在极坐标下2cosf(x,y)d=2df(rcos,rsin)rdrD204o【解】应选择Bo二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共计24分)1. 【解】应填(1,1,3)直线化为参数式代入平面方程(12t)(2t)2(3t)60代入参数方程得X1,y1,z3故交点为(1,1,3)2. 【解】应填24m2设水箱的长为xm?宽为ym?则其高应为m?此水箱所用材料的面积为xy8888小S

20、2(xyyx)2(xy)(x0,y0)?xyxyxy82)0?得x?2?y?2?y8令Sx2(y2)0?Sy2(xx即当水箱的长为2m宽为2m高为走“时?水箱所用的材料最省?最少用料为S(2,2)2(222222)24m23 .解11dxe0x1dy=°ey2dyydx=00yedy=*e111=;(1-)02e4.【解】应填8a4?322(xy)dS=(x2xy)dS=2x2dS于是s()(4分)sS1n方程为=2(x2y2z2)dS=?a2'dS=833a45.解gradz(6.解由于xs(2)=应填3i4j?31,3)处登山，最陡方向是432,1)(2xi4yj)1应填-？2三.解x22y2在(|,1)的梯度方向.(孑1)=3i4j是f(x)间断