命题及其关系、充分条件和必要条件-知识点和题型归纳

1、高考明方向1 .理解命题的概念.2 .了解“若P,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3 .理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.备考知考情常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一考查形式以选择题为主，试卷多为中低档题目命题的重点主要有两个：一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题 的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为 背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之 重.命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考 查考生的逆向思维.一、知识梳理名师一号P4知识点一命题及四种命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子

2、表达的，可以判断真假的陈 述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假 的语句叫假命题.注意：命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题。2.四种命题及其关系（1）四种命题间的相互关系.四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关注意：（补充）1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题2、常见词语的否定原词语等于（=）大于（）小于（）是否定词语不等于（手）不大于（W）不小于（2）不是原词语都是至多有一个至多有n个或否定词语不都是至少有两个至少有n+1个且原词语至少有一个任意两个所有的任意的| 口 AC,*"

3、口 | l 9以旦 | 木E I| 木=| 木 I知识点二充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件的概念（1）充分条件：P = q则P是q的充分条件即只要有条件P就能充分地保证结论q的成立，亦即要使q成立，有p成立就足够了，即有它即可（2）必要条件：P = q则q是P的必要条件p n q oq np即没有q则没有p，亦即q是p成立的必须要有的条件，即无它不可。（补充）（3）充要条件p n q 且 q n p 即 p ° q则p、q互为充要条件（既是充分又是必要条件）“p是q的充要条件”也说成“p等价于q ”、“ q当且仅当p”等（补充）2、充要关系的类型（1）充分但不必要条件定义：若

4、p n q，但qn p，则p是q的充分但不必要条件（2）必要但不充分条件 定义：若qn p，但p n q，则p是q的必要但不充分条件（3）充要条件定义：若p n q，且qn p，即p ° q，则p、q互为充要条件（4）既不充分也不必要条件 定义：若pnq，且qnp，则p、q互为既不充分也不必要条件3、判断充要条件的方法名师一号P6特色专题逆否法一利用互为逆否的两个命题的等价性集合法一一利用集合的观点概括充分必要条件 若条件P以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判 断.(1)若A注B，则P是q的充分但不必要条件(2)若B与A，则P是q的必

5、要但不充分条件(3)若A = B，则p是q的充要条件(4)若A,B，且A力B ,则P是q的既不必要也不充分条件(补充)简记作一若A、8具有包含关系，则(1)小范围是大范围的充分但不必要条件(2)大范围是小范围的必要但不充分条件二、例题分析(一)四种命题及其相互关系例1.(1)名师一号P4 对点自测1命题“若x, y都是偶数，则x +y也是偶数”的逆否命题是0A.若x +y是偶数，则x与y不都是偶数B .若x +y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x +y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x +y不是偶数，则x与y都不是偶数答案C例1.(2)名师一号P5高频考点 例1下列命题中正确的是0“若&qu

6、ot;0,则ab抑，的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若m >0,则x2+x - m=0有实根”的逆否命题；喈x 一3：是有理数则x是无理数”的逆否命题.A .B.C. D .解读：中否命题为“若a=0,则ab=0"，正确；中逆命题不正确；中，4 = 1+4m，当m>0时，4>0,原命题正确，故其逆否命题正确；中原命题正确故逆否命题正确.答案B注意名师一号P5高频考点例1规律方法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”

7、“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.例1.（3）名师一号P4 对点自测2（2014陕西卷）原命题为“若句，z2互为共轭复数，则lz 11 =lz2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断 依次如下，正确的是（）A .真，假，真B .假，假，真仁真，真，假D .假，假，假解读 易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真， 设 z1=3+4i, z2=4+3i,则有lz 1l=lz2l,但是句与z2不是共轭复数，所以逆命题为假， 同时否命题也为假.注意名师一号P5问题探究问题2四种命题间关系的两条规律（1）逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命

8、题的两个命题同真假（2）当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假同时要关注“特例法”的应用例2.（1）（补充）（2011山东文5）已知a, b, c£R,命题“若a + b + c =3,贝I a2 + b 2 + c2工3”的否命题是（） 若 a+b+g,则 a2 + b2 + c2 <3（B）若 a+b+c=3，则I a2 + b2 + c2 <3（C）若 a+b+c手3,则 a2 + b2 + c2 >3（D）若a2 + b2 + c2 >3,则 a+b+c=3【答案】A【解读】命题“若乙则q ”的否命题是：“若P，则q ”例2.（

9、2）（补充）命题：“若冷=0,则x = 0或y = 0”的否定是： 【答案】若xy = 0，则x丰0且y中0【解读】命题的否定只改变命题的结论。注意：命题的否定与否命题的区别（二）充要条件的判断与证明例1.（1）（补充）（07湖北）已知p是r的充分条件而不是 必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的 必要条件。现有下列命题：s是q的充要条件；p是q 的充分条件而不是必要条件；r是q的必要条件而不是 充分条件；P是s的必要条件而不是充分条件；r是 s的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是。A.B.C.D.答案：B 注意：1、利用定义判断充要条件* 17T定义法就是将充要条件的判

10、断转化为两个命题“若p，则q”与“若q，则p”的判甑根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系. p n q则P是q的充分条件；q是P的必要条件2、利用逆否法判断充要条件名师一号P6特色专题方法三等价转化法当所给命题的充要条件不好判定时，可利用四种命题 的关系，对命题进行等价转换.常利用原命题与逆命题的 真假来判断p与q的关系.令p为命题的条件，q为命题 的结论，具体对应关系如下：如果原命题真而逆命题假，那么p是q的充分不必要条件；如果原命题假而逆命题真，那么p是q的必要不充分条件；如果原命题真且逆命题真，那么p是q的充要条件；如果原命题假且逆命题假，那么p是q的既不充分也不必要条件.简

11、而言之,逆否法一一利用互为逆否的两个命题的等价性 例1.(2)名师一号P6特色专题 例1(2014北京卷)设综是公比为q的等比数列.则“ q >1”是“”为递增数列”的()A.充分而不必要条件B,必要而不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件【规范解答】若q>1,则当a =-1时，an =一qnr, an为递减数列， 所以“q>1”力“an为递增数列”；若an为递增数列,则当an =一©n时,a 1=_2, q=2<1， 即“an为递增数列”0/“ q >1” ,故选D.例1.(3)名师一号P6特色专题 例2(201。湖北卷)设U为全集.A,

12、 B是集合，则“存在 集合C使得A之C, B之CuC”是“AdB=。”的()A .充分而不必要条件B ,必要而不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【规范解答】 如图可知，存在集合C,使A三C, B之CuC,则有AAB=。.若AnB=M显然存在集合C. 满足A三C, B三CuC,故选C.例1.(4)名师一号P4对点自测5已知 p ：4<k<0, q :函数 y=kx2kx1 的值 恒为负，则p是q成立的()A .充分不必要条件8.必要不充分条件解读:一4d<0+<0,4kz+4k<0,函数y=kx2kx -1的值恒为负，但反之不一定有一4<k<

13、;0,如k=0时， 函数y=kx2kx1的值恒为负，即pnq，而q / p. 可用定义或集合法 注意：3、利用集合法判断充要条件名师一号P6特色专题方法二集合法涉及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合相关 的命题时，一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间 的充要性.具体对应关系如下：若条件p以集合a的形式出现，结论q以集合B的 形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判 断.(1)若a注»,则p是q的充分但不必要条件(2)若B注A，则p是q的必要但不充分条件(3)若A = B，则p是q的充要条件(4)若A仁B，且A力B ,则p是q的既不必要也不充分条件(补充)简记作一若A

14、、B具有包含关系，则(1)小范围是大范围的充分但不必要条件(2)大范围是小范围的必要但不充分条件例2.名师一号P5高频考点 例3flog户,x>0,函数fx )=1一有 有且只有一个零点的2xa, x<0充分不必要条件是()11A. a<0 或 a>1 B. 0<a'Cq4<1 D. a<0flog x,x>0,解读:因为f x)=1 " 一n 有且只有一个零点 12xa, x<0的充要条件为a<0或a>1.由选项可知，使“a<0或a >1”成 立的充分条件为选项D.注意名师一号P5高频考点例3规律

15、方法有关探求充要条件的选择题，解题关键是： 首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项 其次，利用以小推大的技巧，即可得结论.务必审清题，明确“谁是条件”！此题选项是条件！练习：(补充)已知P : %丰3且y牛2 , q: x + y丰5，则p是q的条件。答案:既不充分条件也不必要条件例3.名师一号P6特色专题 例3已知命题p：关于x的方程4x22ax+2a+5=0的解集 至多有两个子集，命题q： 1m<x<1+m, m>0,若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.p是q的充分不必要条件.对于命题p,依题意知A=(-2a)2-4-4(2a+5)=4(a2-8a-20

16、)<0, /-2<a<10, 令 P=al2<a<10, Q=xl1m<x<1+m, m>0,由题意知P龌Q, m>0,1m<2, 1+m>10|m>0,或 1m<2,11+m>10,解得m > 991 + m > 10所以实数m的取值范围是黑注：A是B的真子集，须确保,1 + m > 10解得m>9.因此实数m的取值范围是m|m».注意：（补充）凡结合已知条件求参数的取值范围是求满足条件的等价条件即充要条件练习：（补充） 已知 p : -2 < x < 10; q

17、 :1 一 m < x < 1 + m（m > 0）若P是q的必要但不充分条件，求实数m的取值范围.解：P是q的必要但不充分条件即p於q且q =p等价于 q 书 p p n q即p是q的充分但不必要条件-2 < x < 10) 1 - m < x < 1 + m (m > 0)1 m < 一2中的等号不同时取得例4.（补充）求证：关于x的方程皿+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a<1.证明：充分性：当a=0时，方程为2x+1=0的根为1x=-2，方程有一个负根，符合题意.当 a<0 时，A=44a>0,方程 ax2+

18、2x+1=0 有两个1不相等的实根，且1<0,方程有一正一负根，符合题意.方程ox 2+2t+1=0有实根，且<o<0故方程有两个负根，符合题意.综上：当。且时，方程ox2+2x+1=0至少有一个负根.必要性：若方程ox2+2x+1=0至少有一个负根.当o=0时，方程为2r+1=0符合题意.当a#0时，方程ox2+2x+1=0应有一正一负根或两A=44o >0个负根,贝启<0或 o2<0 o解得o <0或0<o <1.综上：若方程ox 2+2x+1=0至少有一负根，则o <1. 故关于x的方程ox2+2x+1=0至少有一个负根的充要条 件是o <1.注意：（补充）证明充要条件务必明确充分性和必要性并分别给予证明 练习：（补充）已知f （x）是定义在R上的函数，求证：f（x ）为增函数的充要条件是任意的x