固体物理 电子教案 3.4长波近似ppt课件

1、第四节第四节 长波近似长波近似本节主要内容本节主要内容: :3.4.1 3.4.1 长声学波长声学波3.4.2 3.4.2 离子晶体的长光学波离子晶体的长光学波 3.4 长波近似3.4.1 长声学波下面以一维双原子链为例讨论。下面以一维双原子链为例讨论。,2aqMmA aMmvp 2 212222cos2aqmMMmMmmMA , 0q1.对于声学支格波2.对于连续介质 考虑介质中考虑介质中x与与(x+dx)间长度为间长度为dx的一段，设一维介质的的一段，设一维介质的线密度为线密度为 ，则这段介质的运动方程为：，则这段介质的运动方程为： )xx(F)x(Ftxuxdddd22 ,x)t ,xx

2、(ux)t ,x(uc ddddd改用偏微商的符号，则有：改用偏微商的符号，则有：2222x)t ,x(uct)t ,x(u 上式是标准的波动方程，其解为：上式是标准的波动方程，其解为： qxtiut ,xu e)(0,x)x(uct)x(u2222dddd: 即即代入得：代入得：22qc 由此得弹性波的传播相速度：由此得弹性波的传播相速度： cqv 弹弹在简单情况下上式中在简单情况下上式中c相当于杨式模量。相当于杨式模量。恢复力恢复力,xucFdd 将上式用于一维复式格子，应变是将上式用于一维复式格子，应变是,auuxumm 1dd 其中其中um+1和和um分别是第分别是第m+1个及第个及第

3、m个原子的位移，个原子的位移，a为第为第m+1个及第个及第m个原子平衡时的间距。个原子平衡时的间距。auucFmm 1aru 22dd mmuuF 1 又又:ac 对一维复式格子，显然密度对一维复式格子，显然密度 为：为：aMm2 可推知：可推知：aMmaMmav212122 弹弹 cqv 弹弹ac aMm2 由此可以看出，弹性波的波速与长声学波的波速完全相由此可以看出，弹性波的波速与长声学波的波速完全相等，即长声学波与弹性波完全一样。等，即长声学波与弹性波完全一样。长声学波，格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。3.4.2 离子晶体的长光学波 光光学学波波声声学学波波 长光学波，在半波长

4、范围内，正负离子各向相反的方向长光学波，在半波长范围内，正负离子各向相反的方向运动，电荷不再均匀分布，出现以波长为周期的正负电荷集中运动，电荷不再均匀分布，出现以波长为周期的正负电荷集中的区域。由于波长很大，使晶体呈现出宏观上的极化，因此的区域。由于波长很大，使晶体呈现出宏观上的极化，因此长光学波又称为极化波。由两种不同离子组成的一维复式格子。由两种不同离子组成的一维复式格子。1.黄昆方程PEE031 有效电场有效电场宏观电场宏观电场宏观极化强度宏观极化强度离子晶体的极化离子晶体的极化离子位移极化离子位移极化 P电子位移极化电子位移极化eP 对于长光学波，在相当大的范围内，同种原子的位移相对于

5、长光学波，在相当大的范围内，同种原子的位移相同，所以离子位移极化强度为：同，所以离子位移极化强度为： uueP1 对于立方晶格，洛伦兹提出了求解有效电场的方法，由理对于立方晶格，洛伦兹提出了求解有效电场的方法，由理论分析得到：论分析得到：e*为离子的有效电荷量为离子的有效电荷量 一个原胞内正负离子受到有效电场的作用，产生的电子一个原胞内正负离子受到有效电场的作用，产生的电子位移极化强度为：位移极化强度为： EP 1e 其中其中 为原胞的体积，为原胞的体积， + + ， - - 分别为正负离子的电位移极化分别为正负离子的电位移极化率，率， 则总的极化强度为：则总的极化强度为： EuuePPP 1

6、e EueP 03111将将 代入，得：代入，得：PEE031 = + + + + - - 122222122212122222dd2dd nnnnnnnnxxxtxmxxxtxM 1212222,;, nnnnxxuxxu代代替替以以代代替替以以 作用在离子上的除了准弹性恢复力以外，还要考虑到有作用在离子上的除了准弹性恢复力以外，还要考虑到有效电场的作用。效电场的作用。则正负离子的运动方程为：则正负离子的运动方程为： 22EeuuumEeuuuM 再看离子运动方程，我们对一维复式格子的方程再看离子运动方程，我们对一维复式格子的方程 uuu令令)( 2)( 2bEeuumaEeuuM Eeuu

7、 *2 MmmM ,Eeue 0002313132 由上式由上式 得得:Mbma )()( ,Eeue 0002313132 u 引进位移参量引进位移参量uW EueP 03111则有则有)2( )1( 22211211EbWbPEbWbW -黄昆方程黄昆方程 eb002113132 其中0223 b ebb021211231 )2( )1( 22211211EbWbPEbWbW Wb11 (1) (1)式代表振动方程，右边第一项式代表振动方程，右边第一项 为准弹性恢复力，第为准弹性恢复力，第二项表示电场二项表示电场 附加了恢复力。附加了恢复力。E (2) (2)式代表极化方程，式代表极化方程

8、， 表示离子位移引起的极化，第表示离子位移引起的极化，第二项表示电场二项表示电场 附加了极化。附加了极化。 Wb21E)2( )1( 22211211EbWbPEbWbW 晶体内无自由电荷，得晶体内无自由电荷，得 00 PED 将电场分成有旋场和无旋场两部分，将电场分成有旋场和无旋场两部分，,TLEEE 2.LST关系(LyddaneSachsTeller关系)将黄昆方程将黄昆方程 代入得代入得 022021 LLEbWb 上式的成立条件是：上式的成立条件是：LLWbbE22021 由黄昆方程得：由黄昆方程得：TLTLTLEbWbbWbWbWW 122202121111 将上式中的有旋场与无旋

9、场分开得到：将上式中的有旋场与无旋场分开得到：LLWbbbW 22021211 由麦克斯韦电磁波理论可知，由麦克斯韦电磁波理论可知，LTEE，则上式变为，则上式变为TTWbW 11 TTTEbWbW 1211 上面两方框中式子均为简谐方程，由此得振动频率上面两方框中式子均为简谐方程，由此得振动频率,1120bT 22021220bbT 2202121120bbbL 为了将系数为了将系数b11，b21(=b12)和晶体的介电系数联系起来，再和晶体的介电系数联系起来，再考虑两种极端情况：考虑两种极端情况：对于静电场，对于静电场，0 W ，则由黄昆方程得：，则由黄昆方程得：EbEbbWT201211

10、12 EbbPT)(2021222 将上式与将上式与 EPs10 比较得：比较得：)1(02021222 sTbb 式中式中 s是离子晶体的相对介电常数。是离子晶体的相对介电常数。 对于光频振动，离子的惯性已跟不上如此高频的振动，其对于光频振动，离子的惯性已跟不上如此高频的振动，其位移位移W=0由黄昆方程由黄昆方程(2)式得：式得：,) 1(022EEbP )(b1022 式中式中 是离子晶体的光频介电常量是离子晶体的光频介电常量。 200212Tsb )1(02021222 sTbb sLT 2020220212202202121120bbbbbTL 又又-著名的著名的LST关系关系光频介电

11、常量光频介电常量静电介电常量静电介电常量ToLos ,) 1 ( 有些晶体在某种温度下，有些晶体在某种温度下，, 0TO S 0 2/1 恢复力消失，发生位移的离子回不到原来平衡位置，即晶体结恢复力消失，发生位移的离子回不到原来平衡位置，即晶体结构发生了改变。在这一新结构中，正负离子存在固定的位移偶构发生了改变。在这一新结构中，正负离子存在固定的位移偶极矩，产生了所谓的自发极化。极矩，产生了所谓的自发极化。 (2)(2)铁电软模铁电软模( (光学软模光学软模) )0 0TO 相当于弹簧振子系统中的弹簧丧失了弹性，即弹簧相当于弹簧振子系统中的弹簧丧失了弹性，即弹簧变软。称变软。称 的振动模式为的振动模式为铁电软模铁电软模( (或光学软模或