132_相似三角形的性质

1、普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质1.直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理定理定理 （1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。那么它们相似。 （2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。例，那么它们相似。类比类比直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对

2、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等应相等的两个直角三角形全等)能得直角三角形能得直角三角形相似相似的的另一个判定定理另一个判定定理.两角对应相等两角对应相等两边对应成比例两边对应成比例及及夹角相等夹角相等普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质定理定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。那么这两个直角三角形相似。.90CC.ABC:0CAACBAABCB

3、ARtRt中和已知CBARtRtABC:求证. kCBBCCAACBAAB.ABCAkACBAk那么，.)(22222222CBkCABAkACABBC.CBkBCCBARtRtABC3得由判定定理ABCABC. kCAACBAAB：设证明普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质例例5.如图，已知如图，已知AD、BE分别是分别是ABC中中BC边和边和AC边上的高，边上的高，H是是AD、BE的交点的交点求证：(1)ADBC=BEAC (2)AHHD=BHHEHEDABC分析分析: (1)只要证明只要证明RtADCRtBEC

4、 (2)只要证明只要证明RtAHERtBHD普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质P19习题习题 1.37.ABC是钝角三角形是钝角三角形,AD,BE,CF分别是三条高分别是三条高. 求证求证:ADBC=BEACABCDEFACDBCE.普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质2.相似三角形的性质相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；角平分线的比都等于相似

5、比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。）相似三角形面积的比等于相似比的平方。ABDCA B C D 普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质2.相似三角形的性质相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；角平分线的比都等于相似比；ABDCA B C D .90.0BAABDAADDBAABDBDAADBBBCBAABC:证明普通高中课程数学选修普通高中课程数学选

6、修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质2.相似三角形的性质相似三角形的性质ABDCA B C D CBAABC:证明（2）相似三角形周长的比等于相似比；）相似三角形周长的比等于相似比；. kCBBCCAACBAAB.ABCAkACCBkBCBAkACCBBACABCAB.)(kACCBBAACCBBAk普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。）相似三角形面积的比等于相似比的平方。ABDCA B C D .21212kkkDAADCBBCDAC

7、BADBCSSCBAABC 普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质例例6.如图如图,锐角三角形锐角三角形ABC是一块钢板的余料是一块钢板的余料,边边BC=24cm,BC边上的高边上的高AD=12cm.要把它加工成要把它加工成正方形零件正方形零件,使正方形的一边在使正方形的一边在BC上上,其余两个顶其余两个顶点分别在点分别在AB,AC上上.求求这个正方形零件的边长这个正方形零件的边长.ABCMDQPNE解解:设正方形设正方形PQMN为加工成为加工成的正方形零件的正方形零件.边边QM在在BC上上,顶点顶点P,N分别在分别在

8、AB,AC上上. ABC的高与边的高与边PN相交于点相交于点E.设正方形的边长为设正方形的边长为xcm. )(8241212cmxxxxBCPNADAEABCAPNBCPN/普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质P20 习题习题 1.310.如图如图,平行四边形平行四边形ABCD中中,AEEB=12 求求:AEF与与CDF的周长比的周长比; 如果如果AEF的面积等于的面积等于6cm, 求求CDF的面积的面积.ADEBCF求求ADF的面积的面积.普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判

9、定及有关性质相似三角形的判定及有关性质 相似三角形中的高，中线，内角平分线，相似三角形中的高，中线，内角平分线，周长，面积等要素都与相似比有关周长，面积等要素都与相似比有关. 思考：思考： 那么，与三角形有关但不在三角形内的那么，与三角形有关但不在三角形内的其他元素是否与三角形的相似比有联系呢？其他元素是否与三角形的相似比有联系呢？你想到哪些元素？你想到哪些元素？三角形的外接圆和内接圆三角形的外接圆和内接圆普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质问题问题1 两个相似三角形的外接圆的直径比，周长两个相似三角形的外接圆的直径

10、比，周长比，面积比与相似比有什么关系？比，面积比与相似比有什么关系？探究探究：ABDCOA B D C O C=C而而D=C D=CD=D,RtABDRtABD. kBAABDAADADADO22的周长DADAO22的周长. kDAADOO周长周长.)2()2(222kDAADOO面积面积结论：结论：两个相似三角形的外接圆的两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比直径比，周长比等于等于相似比；面积比相似比；面积比等于等于相似比的平方。相似比的平方。普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质问题问题2 两个相似三角形的内切圆的直径比，周长两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比，面积比与相似比有什么关系？比，面积比与相似比有什么关系？结论：结论：两个相似三角形的内切圆的两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比直径比，周长比等于等于相似比；面积比相似比；面积比等于等于相似比的平方。相似比的平方。Rr普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质习题习题 1.35.如图如图,线段线段EF平行于四边形平行于四边形ABCD的一边的一边AD,BE与与CF交于一点交于一点G,AE与与DF交于