立体及表面交线介绍学习教案

1、会计学1立体及表面立体及表面(biomin)交线介绍交线介绍第一页，共84页。本章本章(bn zhn)学习目的学习目的1 . 掌握平面立体和曲面立体的投影。掌握平面立体和曲面立体的投影。2 . 掌握立体表面掌握立体表面(biomin)上的点和线的投影及作上的点和线的投影及作图。图。3 . 掌握平面立体的截交线。掌握平面立体的截交线。4 . 掌握回转体的截交线。掌握回转体的截交线。5 . 掌握回转体的相贯线。掌握回转体的相贯线。6 . 掌握相贯线的特殊情况。掌握相贯线的特殊情况。第1页/共84页第二页，共84页。3.13.1平面立体平面立体(lt)(lt)的投影的投影3.4 3.4 回转回转(h

2、uzhun)(huzhun)体的截交线体的截交线3.5 3.5 回转回转(huzhun)(huzhun)体的相贯线体的相贯线3.2 回转曲面立体的投影回转曲面立体的投影3.3 平面立体的截交线平面立体的截交线第2页/共84页第三页，共84页。基本立体平面平面(pngmin)立体立体 曲面(qmin)立体棱柱(lngzh)棱锥圆柱圆锥圆环球物体的组成物体的组成基本立体基本立体表面表面线线点点第3页/共84页第四页，共84页。 常常见见的的基基本本(j(jbbn)n)立立体体平平面面(p(pnngmgmiin)n)立立体体曲曲面面(q(qmmiin)n)立立体体棱柱棱柱棱锥棱锥圆柱圆柱圆圆锥锥球球

3、圆环圆环平面平面+ +平面平面曲面曲面+ +平面平面曲面曲面+ +曲面曲面第4页/共84页第五页，共84页。围成立围成立(chngl)体的各类表面相交形成不同的表面交线。体的各类表面相交形成不同的表面交线。2）相贯线：立体）相贯线：立体(lt)与立体与立体(lt)表面相交所形成的交线。表面相交所形成的交线。立体立体(lt)表面上的交线可分为两大类：表面上的交线可分为两大类：1）截交线：平面与立体表面相交后形成的交线；截交线：平面与立体表面相交后形成的交线；可见可见的轮廓线画的轮廓线画粗实粗实线，线， 不可见不可见的轮廓线画的轮廓线画细虚细虚线。线。第5页/共84页第六页，共84页。NoImag

4、e 平面立体的投影是平面立体各表面平面立体的投影是平面立体各表面(biomin)(biomin)投影投影的集合的集合-由直线段组成的封闭图形。由直线段组成的封闭图形。平面立体平面立体(lt)(lt)侧面的交线称为棱线。侧面的交线称为棱线。棱柱棱柱棱锥棱锥平面立体基本知识：平面立体基本知识：棱线棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱棱柱。若平面立体所有棱线交于一点，称为若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥棱锥。第6页/共84页第七页，共84页。一、棱柱一、棱柱(lngzh)的投的投影影 将三棱柱将三棱柱(lngzh)分别向三个投影面作正投射，得到分别向三个投影面

5、作正投射，得到H、V、W面三个投影。面三个投影。 再按规定方向，将再按规定方向，将H、W面展开到与面展开到与V面重合的位置面重合的位置(wi zhi)上，便得三棱柱的上，便得三棱柱的三面投影图。三面投影图。 XZOYWYHacba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )第7页/共84页第八页，共84页。1）投影之间的度量关系）投影之间的度量关系 ：V面投影与面投影与H面投影沿面投影沿OX轴方向轴方向(fngxing)的坐的坐标相等；标相等；V面投影与面投影与W面投影沿面投影沿OZ轴方向轴方向(fngxing)的坐的坐标相等；标相等；H面投影与面投影与W面投影

6、沿面投影沿OY轴方向轴方向(fngxing)的坐的坐标相等。标相等。XZOYWYHacba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )第8页/共84页第九页，共84页。2）投影之间的位置）投影之间的位置(wi zhi)关系关系 ：H面投影反映物体前、后和左、右的位置面投影反映物体前、后和左、右的位置(wi zhi)关系；关系；V面投影反映物体上、下和左、右的位置面投影反映物体上、下和左、右的位置(wi zhi)关系；关系；W面投影反映物体上、下和前、后的位置面投影反映物体上、下和前、后的位置(wi zhi)关系。关系。投影规律适用于所投影规律适用于所有有(suy

7、u)物体的物体的投影投影XZOYWYHacba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )第9页/共84页第十页，共84页。平面平面(pngmin)立体投影的可见性立体投影的可见性判别判别 1）外形）外形(wi xn)轮廓线都是可见的。轮廓线都是可见的。 XZOYWYHacba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )2）外形）外形(wi xn)轮廓线内的相交直线，可利用重影点来判别可见性。轮廓线内的相交直线，可利用重影点来判别可见性。 3）若外形轮廓线内的多条棱线交于一点，且交点可见，则这些棱线均）若外形轮廓线内的多条棱线交于

8、一点，且交点可见，则这些棱线均 可见，否则均不可见。可见，否则均不可见。 4）若外形轮廓线内的两可见表面相交，其交线为可见。）若外形轮廓线内的两可见表面相交，其交线为可见。 两不可见表面的交线为不可见。两不可见表面的交线为不可见。 第10页/共84页第十一页，共84页。acba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )XZOYWYH 由于物体由于物体(wt)投影图的形状和大小，与物体投影图的形状和大小，与物体(wt)对投对投影面的距离无关，所以在画图时为了合理布置图幅，通常去影面的距离无关，所以在画图时为了合理布置图幅，通常去掉投影轴。但它们之间的投影关系，仍

9、应严格遵守。掉投影轴。但它们之间的投影关系，仍应严格遵守。第11页/共84页第十二页，共84页。acba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )例例1：在三棱柱表面上有点：在三棱柱表面上有点K，已知点，已知点K的的V面投影面投影k，求作它的另外，求作它的另外(ln wi)两面投两面投影。影。分析：分析：1）由于点）由于点K的的V面投影面投影(tuyng)k是可见的，所以点是可见的，所以点K位于侧表面位于侧表面AA1B1B上；上；HVWkABCA1B1C12）侧表面）侧表面AA1B1B是铅垂面，其是铅垂面，其H面投影面投影(tuyng)积聚为直线段，所以点积聚

10、为直线段，所以点K的的 H面投影面投影(tuyng)k 必在该直线段上；必在该直线段上；aa1bb1kK第12页/共84页第十三页，共84页。acba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )分析：分析：3）根据点的投影）根据点的投影(tuyng)规律，先求出点规律，先求出点K的的H面投影面投影(tuyng)k，然后由，然后由k、k求出求出 其其W面投影面投影(tuyng)k；4）因侧表面）因侧表面AA1B1B的的W面投影面投影(tuyng)为可见，故为可见，故k也为可见。也为可见。kABCA1B1C1aa1bb1kkY2Y2kHVWK例例1：在三棱柱：在三棱

11、柱(lngzh)表面上有点表面上有点K，已知点，已知点K的的V面投影面投影k，求作它的另外两面投，求作它的另外两面投影。影。第13页/共84页第十四页，共84页。acba1b1( )c1acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )例例2：在三棱柱表面上有点：在三棱柱表面上有点(yudin)M，已知点，已知点M 的的H 面投影面投影m，求作它的另外两面投影，求作它的另外两面投影m、m。分析分析(fnx)：1）由于点）由于点M的的H面投影面投影m是可见的，所以点是可见的，所以点M位于顶面位于顶面ABC内内；HVWmABCA1B1C12）顶面）顶面ABC为水平面，其为水平面，其V、W

12、面投影面投影(tuyng)均积聚为直线段均积聚为直线段，Mabcacbmm可由点可由点M的的H面投影面投影m，利用点的投影规律，求出其，利用点的投影规律，求出其V、W面投影面投影m、m。 mY3Y3m第14页/共84页第十五页，共84页。HVWABCScabsabcsb(c)a二、棱锥二、棱锥(lngzhu)特点特点(tdin)：棱锥各棱相交于锥顶。：棱锥各棱相交于锥顶。 a ( )abcbcssabcss分析：侧表面分析：侧表面SAB及及SBC为一般为一般(ybn)位置平面，侧表面位置平面，侧表面SAC为侧垂面，为侧垂面，底面底面ABC为水平面；三条棱线中为水平面；三条棱线中SA和和SC为一

13、般为一般(ybn)位置直线，而位置直线，而SB为为侧平线。侧平线。第15页/共84页第十六页，共84页。ba ( )abcbcssabcs例例3：在三棱锥表面上有点：在三棱锥表面上有点N，已知点，已知点N 的的H面投影面投影(tuyng)n，求作它的另外两面投影，求作它的另外两面投影(tuyng)。分析：分析：1）由于点）由于点N的的H面投影面投影n是不可见是不可见(kjin)的，所以点的，所以点N位于底面位于底面ABC内；内；2）底面）底面ABC为水平面，其为水平面，其V、W面投影均积聚面投影均积聚(jj)为直线段，为直线段，可由点可由点N的的H面投影面投影n，利用点的投影规律，求出其，利用

14、点的投影规律，求出其V、W面投影面投影n、n。 (n)nYnYHVWABCScabsabcsN(c)as第16页/共84页第十七页，共84页。HVWABCScab(c )sabcsdbca ( )abbcssabcssa例例4：在三棱锥表面上有点：在三棱锥表面上有点(yudin)K，已知点，已知点K 的的V 面投影面投影k ，求作，求作K的另外两面投影。的另外两面投影。分析：分析：1）由于点）由于点K的的V面投影面投影(tuyng)k为可见，所以点为可见，所以点K在一般位置平面在一般位置平面SAB内；内；2）过点）过点K作辅助直线作辅助直线(zhxin)SD，其，其V面投影面投影sd必通过必通

15、过k； 3）求出辅助线）求出辅助线SD的的H、W面投影面投影sd、sd，则点，则点的的H、W面投影面投影k、k必在必在sd、sd上。上。 YYKDdd YKYKkkk辅助线法辅助线法1第17页/共84页第十八页，共84页。HVWABCScab(c)sabcsb ( )abacbcssabcsasKYKYKkk辅助线法辅助线法22）求出）求出EF的的H、W面投影面投影(tuyng)ef、ef，则点，则点K的的H、W面投影面投影(tuyng)k、k必在必在ef、 ef上。上。 1）通过）通过(tnggu)点点K作水平辅助线作水平辅助线EFAB，则，则ef通过通过(tnggu)k且且ab；efefk

16、EF例例4：在三棱锥表面上有点：在三棱锥表面上有点K，已知点，已知点K 的的V面投影面投影(tuyng)k ，求作，求作K的另外两面投影的另外两面投影(tuyng)。第18页/共84页第十九页，共84页。本节介绍常见本节介绍常见(chn jin)的回转曲面立体，简称回转体。的回转曲面立体，简称回转体。 回转回转(huzhun)曲面曲面由母线绕定轴线作回转由母线绕定轴线作回转(huzhun)运动生成。运动生成。直母线直母线直线回转面直线回转面圆柱面、圆锥面圆柱面、圆锥面曲母曲母线线曲线回转面曲线回转面球面、圆环面球面、圆环面 轴线轴线母线母线素线素线第19页/共84页第二十页，共84页。1.圆柱

17、圆柱(yunzh)的投的投影影（1） 圆柱圆柱(yunzh)表面的组成：圆柱表面的组成：圆柱(yunzh)面面+上底面上底面+下底面。下底面。（2） 圆柱面的形成：可看成是由一条直母线圆柱面的形成：可看成是由一条直母线AA1，绕与它平行，绕与它平行的轴线的轴线OO1旋转形成的。旋转形成的。 AA1OO1上底面上底面下底面下底面圆柱面圆柱面第20页/共84页第二十一页，共84页。HVW如一圆柱直立如一圆柱直立(zh l)，则：，则：1）上、下底面是水平面，在）上、下底面是水平面，在H面上的投面上的投影反映底的实形；影反映底的实形；在在V、W面上面上(min shn)的投影积聚为一直线；的投影积聚

18、为一直线；2）圆柱）圆柱(yunzh)的轴线垂直于的轴线垂直于H面，圆柱面，圆柱(yunzh)面在面在H面上的投影积聚为圆周；面上的投影积聚为圆周；在在V、W面上的投影收缩为一矩形线框。面上的投影收缩为一矩形线框。 AA1O1BC1DD1CB1O第21页/共84页第二十二页，共84页。H V WAA1O1BC1DD1CB1O 界限界限(jixin)素线是素线是回转曲面对投影面可回转曲面对投影面可见和不可见部分的分见和不可见部分的分界线。界线。 cc1dd1如如AA1、BB1、 CC1、DD1。第22页/共84页第二十三页，共84页。aa1bb1cc1dd1HVWAA1O1BC1DD1CB1Oa

19、a1bb1cc1dd11）V、W面投影，必须面投影，必须(bx)用细点画线画出回转轴线；用细点画线画出回转轴线；2）H面投影，必须面投影，必须(bx)画出对称中心线。画出对称中心线。 第23页/共84页第二十四页，共84页。p（k）d例例5：圆柱面上有两点：圆柱面上有两点P和和K，已知其，已知其V面投影面投影(tuyng)p和和k，求另外两，求另外两面投影面投影(tuyng)p、p和和k、k 分析：分析：1）由于）由于(yuy)p点位于圆柱面最左边界限素线上，其另外两面投影点位于圆柱面最左边界限素线上，其另外两面投影p、p可直接求出。可直接求出。 2）点）点K须利用须利用(lyng)圆柱面圆柱

20、面有积聚性的有积聚性的H面投影，先求出点面投影，先求出点K的的H面投影面投影k，再求出，再求出k。kYKYK 3）点）点K的可见性判别的可见性判别:由于点由于点K位于圆柱面的前面右半部分，其位于圆柱面的前面右半部分，其W面投影面投影k不可见。不可见。第24页/共84页第二十五页，共84页。P 求圆柱面上的曲线时，通常求圆柱面上的曲线时，通常(tngchng)采用取点的方法。采用取点的方法。求特殊求特殊(tsh)点点求一般点求一般点顺序连接顺序连接步骤：步骤：回转体回转体界限素线界限素线上的点上的点其他对作图有意义的点其他对作图有意义的点（如椭圆长、短轴的端点）（如椭圆长、短轴的端点）最左最左最

21、右最右最高最高最低最低最前最前最后最后第25页/共84页第二十六页，共84页。分析：此圆柱面的轴线垂直于分析：此圆柱面的轴线垂直于W面，故其面，故其W面投影积聚为圆。曲线面投影积聚为圆。曲线AE在圆柱面上，其上的点必然在圆柱面上，其上的点必然(brn)也在这个圆上。也在这个圆上。作图步骤作图步骤(bzhu)：1）在）在ae上选取若干点，如上选取若干点，如a、b、c、d、e（其中（其中A、C 为特殊点）。为特殊点）。2）利用积聚性，先求出各个点的）利用积聚性，先求出各个点的W面投影：面投影：a、b、c、d、e。aeeaeabcdbcd第26页/共84页第二十七页，共84页。3）由各点的）由各点的

22、V、W面投影面投影(tuyng)，求各个点的，求各个点的H面投影面投影(tuyng)：a、b、c、d、e。4）用曲线板依次光滑连接各点的同面投影）用曲线板依次光滑连接各点的同面投影(tuyng)；由于；由于AC在圆柱面之上半部，而在圆柱面之上半部，而CE在下半部，在下半部，c是曲线是曲线H面投影面投影(tuyng)可见性的分界点可见性的分界点(水平投影水平投影(tuyng)界限素线上的点界限素线上的点)，故其，故其H面投影面投影(tuyng)abc为可见，画粗实线，为可见，画粗实线，cde为不可见，画细虚线。为不可见，画细虚线。aeeaeabcdbcdabcde第27页/共84页第二十八页，共

23、84页。1. 圆锥圆锥(yunzhu)的投影的投影（1）圆锥表面）圆锥表面(biomin)的组成：圆锥面的组成：圆锥面+底面（圆形）底面（圆形） 。（2）圆锥面的形成：可看成是由一条直母线）圆锥面的形成：可看成是由一条直母线SA，绕与它相交的轴线，绕与它相交的轴线OO1旋转形成的。旋转形成的。 圆锥面上任意位置的素线，均交于锥顶圆锥面上任意位置的素线，均交于锥顶S。SAOO1底面底面圆锥面圆锥面第28页/共84页第二十九页，共84页。HVW圆锥面上圆锥面上(min shn)任意位置的素线，均交于锥顶任意位置的素线，均交于锥顶S。如一圆锥直立，则：如一圆锥直立，则：1）底面是水平面，在）底面是水

24、平面，在H面上面上(min shn)的投影反映底的的投影反映底的实形；实形；在在V、W面上的投影积聚为一直线。面上的投影积聚为一直线。2）圆锥的轴线垂直于）圆锥的轴线垂直于H面，圆锥面在面，圆锥面在H面上的投面上的投影收缩为平面圆。影收缩为平面圆。在在V、W面上的投影收缩为一等腰三角形线框。面上的投影收缩为一等腰三角形线框。 S第29页/共84页第三十页，共84页。H V W 界限素线是回转界限素线是回转(huzhun)曲面曲面对投影面可见和不可见部分的分对投影面可见和不可见部分的分界线。界线。 cd如如:SA、SB、 SC、SD。s第30页/共84页第三十一页，共84页。abcd1）V、W面

25、投影，必须用细点面投影，必须用细点(x din)画线画出回转轴线；画线画出回转轴线；2）H面投影，必须画出对称中心线。面投影，必须画出对称中心线。 H VWcds第31页/共84页第三十二页，共84页。m（k）例例7：圆锥：圆锥(yunzhu)面上有两点面上有两点M和和K，已知其，已知其V面投影面投影m和和k，求另外，求另外两投影两投影m、m和和k、k分析：分析：1）由于）由于m点位于圆锥面最左边界限点位于圆锥面最左边界限(jixin)素线上，其另外两投素线上，其另外两投影影m、m可直接求出；可直接求出； 2）点）点K 投影投影k 须用作辅助线的须用作辅助线的方法，过方法，过K 作作SA（过（

26、过k作作sa）有积）有积聚性的聚性的H面投影，先求出点面投影，先求出点K的的H 面投影面投影k，再求出，再求出k；k 3）点）点K 的可见性判别：由的可见性判别：由于点于点K 位于圆锥面的前面右半部分位于圆锥面的前面右半部分，其，其W 面投影面投影k不可见。不可见。sa第32页/共84页第三十三页，共84页。（k）sks求点求点K的投影的投影k方法方法(fngf)二二作辅助圆的方法作辅助圆的方法(fngf)：2）画纬线圆的水平投影）画纬线圆的水平投影(tuyng)； 为实形为实形圆，半径为圆，半径为R ;R3）求）求k、k ； 由由k向下向下(xin xi)引垂线与纬线圆交于点引垂线与纬线圆交

27、于点k，再由，再由k及及k求出求出k。1）过）过k作水平线；作水平线； 过过K作在圆锥面上作一水平辅助圆。作在圆锥面上作一水平辅助圆。 该圆所在的平面与圆锥的轴线垂直，此圆称为纬线圆。该圆所在的平面与圆锥的轴线垂直，此圆称为纬线圆。 点点K 的各投影必在纬线圆的同面投影上。的各投影必在纬线圆的同面投影上。第33页/共84页第三十四页，共84页。P 求圆锥求圆锥(yunzhu)面上的曲线时，通常也采用取点的方法。面上的曲线时，通常也采用取点的方法。求特殊求特殊(tsh)点点求一般点求一般点顺序连接顺序连接步骤：步骤：回转体回转体界限素线界限素线上的点上的点其他对作图有意义的点其他对作图有意义的点

28、（如椭圆长、短轴的端点）（如椭圆长、短轴的端点）最右最右最高最高最后最后最左最左最低最低最前最前第34页/共84页第三十五页，共84页。bea分析：此圆锥面的轴线垂直于分析：此圆锥面的轴线垂直于H 面，故其面，故其H 面投影积聚为圆。曲线面投影积聚为圆。曲线AE在圆锥面上，其上的点可通过作辅助在圆锥面上，其上的点可通过作辅助(fzh)线或辅助线或辅助(fzh)圆的方法求得。圆的方法求得。1）在）在ae上选取上选取(xunq)若干点，其中若干点，其中C为特殊点，先求出为特殊点，先求出c，再求出，再求出c；2）利用纬线圆，先求出各个点的）利用纬线圆，先求出各个点的H 面投影面投影e（a、b、d）；

29、）；bcdea3）再求出各个点）再求出各个点的的W 投影投影e（a、 b、d）；）；ee作图步骤：作图步骤：aabcdd（ ）（ ）4）判断）判断可见性；可见性；5）顺序连接。）顺序连接。e（ ）eaac第35页/共84页第三十六页，共84页。1.球的投影球的投影(tuyng)（1）球的组成）球的组成(z chn)：球。：球。（2）球面的形成）球面的形成(xngchng)：由一圆作母线，以它的直径为：由一圆作母线，以它的直径为回转轴旋转形成回转轴旋转形成(xngchng)的。的。球的三个投影球的三个投影球直径相等的圆。球直径相等的圆。球面球面OO1第36页/共84页第三十七页，共84页。HVW

30、球的三个投影球的三个投影(tuyng)球直径相等的圆。球直径相等的圆。O正面正面(zhngmin)最大圆最大圆V面投影面投影圆圆其其H、W面投影积聚在相应轴线上面投影积聚在相应轴线上直线段直线段前半球可见，后半球不可见；前半球可见，后半球不可见； 水平最大圆水平最大圆H面投影面投影圆圆其其V、W面面投影积聚在相应轴线上投影积聚在相应轴线上直线直线(zhxin)段段上半球可见，下半球不可见；上半球可见，下半球不可见；侧面最大圆侧面最大圆W面投影面投影圆圆其其H、V面投影面投影积聚在相应轴线上积聚在相应轴线上直线段直线段左半球可见，左半球可见，右半球不可见。右半球不可见。第37页/共84页第三十八

31、页，共84页。必须必须(bx)画出所有轴线和对称中心线。画出所有轴线和对称中心线。 HVWO第38页/共84页第三十九页，共84页。3）点）点C为球面上一般点，可选水平为球面上一般点，可选水平(shupng)纬线圆为辅助线：纬线圆为辅助线：例例9：已知球面上的三个点：已知球面上的三个点A、B、C的的V面投影面投影(tuyng)，求，求A、B、C点的另外两面投影点的另外两面投影(tuyng)。分析：分析：1）两点两点A、B 均为界限素线上的点，可直接求出其另外两投影。均为界限素线上的点，可直接求出其另外两投影。 2）点点C 是一般位置点，其投影是一般位置点，其投影c 需作水平纬线圆辅助求解。需作

32、水平纬线圆辅助求解。a（b）c作图步骤：作图步骤：1）因）因a位于正面最大圆的位于正面最大圆的V 面投影上，故面投影上，故a 在水平对称中心线上，在水平对称中心线上，a在垂直对称中心线上，因它位于左、上半球，所以在垂直对称中心线上，因它位于左、上半球，所以a 和和a均可见均可见; 2）b位于垂直对称中心线上且不可见，故位于垂直对称中心线上且不可见，故b在侧面最大圆在侧面最大圆W面投影的左半部分，可直接求出面投影的左半部分，可直接求出b，再求出，再求出b，点，点B在后、下半球上，故在后、下半球上，故b不可见；不可见； aab(b)过过c作水平线与圆交于点作水平线与圆交于点e、f；以以ef为直径，

33、在为直径，在H面投影上作水平圆，面投影上作水平圆，c在此圆上；在此圆上；由由c、c求出求出c；点点C在右、下半球上，在右、下半球上，c、c不可见。不可见。ccef（ ）（ ）第39页/共84页第四十页，共84页。bda分析：在曲线分析：在曲线(qxin)AD上，选若干点上，选若干点A、B、C、D，其中点，其中点B和和C为特殊点，点为特殊点，点B在侧面最大圆上，点在侧面最大圆上，点C在水平最大圆上，其另外两投影可直接求出。曲线在水平最大圆上，其另外两投影可直接求出。曲线(qxin)两端点两端点A和和D为一般点，需作辅助线求解。为一般点，需作辅助线求解。1）求特殊）求特殊(tsh)点点B、C的的H

34、、W面投影；面投影；2）过）过a和和d分别作水平纬线圆，求出分别作水平纬线圆，求出a和和d；bc3）由）由a、a及及d、d分别求出分别求出a及及d；作图步骤：作图步骤：d（ ）（ ）4）判断可见性：判断可见性：因因BD线段在球的左半部，线段在球的左半部，b是曲线是曲线W面投影可见性分界点，故面投影可见性分界点，故a不可见；因不可见；因AC线段在球的上半部，线段在球的上半部，C是曲线是曲线H面投影可见性分界点，故面投影可见性分界点，故d为不可见；为不可见；3. 球面上的曲线球面上的曲线aadcbcdabc（ ）（ ）bc细虚线细虚线粗实线粗实线细虚线细虚线粗实线粗实线acbdad第40页/共84

35、页第四十一页，共84页。截交线截交线截平面与立体截平面与立体(lt)表面的交线。表面的交线。一一、平面、平面(pngmin)立体的截交线立体的截交线多边形的各边：截平面与立体表面上不同平面的交线。多边形的各边：截平面与立体表面上不同平面的交线。截交线的性质：截交线的性质：是截平面与立体表面的共有线。是截平面与立体表面的共有线。平面立体截交线：平面立体截交线：由直线段围成的平面多边形。由直线段围成的平面多边形。截平面截平面截交线截交线多边形的顶点：立体棱线与截平面的交点；多边形的顶点：立体棱线与截平面的交点；第41页/共84页第四十二页，共84页。方法方法(fngf)一一线面交点法：线面交点法：

36、1）求平面立体棱线）求平面立体棱线(ln xin)与截平面的交点；与截平面的交点；2）顺序连接各交点，即得截交线。）顺序连接各交点，即得截交线。方法二方法二面面交线法：面面交线法：求截平面与平面立体表面的交线。求截平面与平面立体表面的交线。 当截平面与平面立体表面上的某个面平行时，要当截平面与平面立体表面上的某个面平行时，要特别注意特别注意截交线与原有棱边的平行关系。截交线与原有棱边的平行关系。注意注意 截平面的位置可以是特殊位置，也可以是一般位置。本书主要截平面的位置可以是特殊位置，也可以是一般位置。本书主要以以特殊位置截平面特殊位置截平面为例说明求解平面立体截交线的方法和步骤。为例说明求解

37、平面立体截交线的方法和步骤。第42页/共84页第四十三页，共84页。PVcsa( )b dssabdc作图步骤作图步骤(bzhu)：1）标出）标出1、2、3、4；2）求）求1、2、3、4； 求求1、2、3、4；4）顺序）顺序(shnx)连连接。接。db( )a cSABCD12342 4( )1333）判断可见性判断可见性 四棱锥的上部被四棱锥的上部被P平面切去，因而平面切去，因而截交线的三个投影均可见；注意棱线截交线的三个投影均可见；注意棱线SC的的W面投影为细虚线；面投影为细虚线；1432421分析：分析：截平面截平面P与四棱锥的四个侧表面相交，截交线为四边形；由于截平与四棱锥的四个侧表面

38、相交，截交线为四边形；由于截平面面P是正垂面，其是正垂面，其V面投影积聚为一直线，故截交线的面投影积聚为一直线，故截交线的V面投影为直线段，可直接求出面投影为直线段，可直接求出；再由其；再由其V面投影求出面投影求出W面投影，由面投影，由V、W面投影确定其面投影确定其H面投影。面投影。第43页/共84页第四十四页，共84页。作图步骤作图步骤(bzhu)：1）直接）直接(zhji)标出标出1、4及及2(3)；3）作）作42ab、43ac，根据，根据V面投影面投影2(3)求出求出H面投影点面投影点2和和3；6) 顺序连接。顺序连接。4）由）由2、2求出求出2； 由由3、3求出求出3；2）求出）求出1

39、、4和和1、4；12(3)4141234SABQVPVsab c （ ）sabc sabc142323分析：分析：正垂面正垂面P与三棱锥的两侧表面与三棱锥的两侧表面SAB和和SAC相交于两段直线相交于两段直线和和。水平面。水平面Q与两侧表面与两侧表面SAB和和SAC相交于水平线相交于水平线和和，它们分别与三棱锥底面的边，它们分别与三棱锥底面的边AB和和AC平行。平行。P、Q两截平面相交于两截平面相交于直线直线。点。点和点和点位于位于SA棱线上，其棱线上，其V面投影面投影1和和4已知。已知。5）判断可见性：判断可见性： P、Q两平面交线的两平面交线的H面投影面投影23为不可见，画成为不可见，画成

40、细虚线；其他交线可见，画成粗实线；细虚线；其他交线可见，画成粗实线；第44页/共84页第四十五页，共84页。作图步骤作图步骤(bzhu)：1）截交线的）截交线的H、W面投影面投影(tuyng)已知已知；3）判断可见性）判断可见性 ： 燕尾槽在长方体底部，不可见，画燕尾槽在长方体底部，不可见，画成细虚线；其他交线可见，画成粗实线成细虚线；其他交线可见，画成粗实线；2）根据）根据V、W面投影求出面投影求出H面投影；面投影；分析：分析：物体是由开有燕尾槽的长方体被一个正垂截切平面切割后而形成的，其交物体是由开有燕尾槽的长方体被一个正垂截切平面切割后而形成的，其交线的线的V面投影有积聚性，可直接得知。

41、截交线的面投影有积聚性，可直接得知。截交线的W面投影与立体的轮廓线重合，为已知。面投影与立体的轮廓线重合，为已知。可以根据截交线的可以根据截交线的V、W面投影求得其面投影求得其H面投影面投影 。4）注意）注意 ： 俯视图左侧，因开燕尾槽，俯视图左侧，因开燕尾槽，应擦去线条。应擦去线条。Y1Y2Y1Y2第45页/共84页第四十六页，共84页。一一、圆柱、圆柱(yunzh)的截交线的截交线回转体截交线：由曲线回转体截交线：由曲线(qxin)或曲线或曲线(qxin)+直线围成的平面多边形。直线围成的平面多边形。回转体截交线求解：回转体截交线求解：1）利用积聚性；）利用积聚性； 2）作辅助面。）作辅助

42、面。 截平面与轴线截平面与轴线垂直垂直圆圆； 圆圆柱柱面面的的截截交交线线截平面与轴线截平面与轴线平行平行矩形矩形； 截平面与轴线截平面与轴线倾斜倾斜椭圆椭圆。 是截平面与回转立体表面的是截平面与回转立体表面的共有点共有点集合。集合。截平面：截平面：以特殊位置为例。以特殊位置为例。第46页/共84页第四十七页，共84页。求平面与回转求平面与回转(huzhun)体截交线的一般步骤：体截交线的一般步骤：1. 空间及投影空间及投影(tuyng)分析分析 分析分析(fnx)回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。以便确定截交线的

43、形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。2. 画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：* 光滑连接各点，并判断截交线的可见性。光滑连接各点，并判断截交线的可见性。 * 先找特殊点，补充中间点。先找特殊点，补充中间点。第47页/共84页第四十八页，共84页。分析：圆柱轴线分析：圆柱轴线V面，被水平面面，被水平面P和侧平面和侧平面Q所截切；截

44、平面所截切；截平面P圆柱的轴线，与圆柱面的交线为两条侧垂线圆柱的轴线，与圆柱面的交线为两条侧垂线(chu xin)。截平面。截平面Q垂直于圆柱的轴线，与圆柱面的交线为平行于垂直于圆柱的轴线，与圆柱面的交线为平行于W面的一段圆弧。平面面的一段圆弧。平面P和和Q的交线为正垂线的交线为正垂线(chu xin)。可利用截平面。可利用截平面P、Q和圆柱面投影的积聚性，直接求圆柱截交线的投影。和圆柱面投影的积聚性，直接求圆柱截交线的投影。 作图步骤作图步骤(bzhu)：1）画出截平面）画出截平面P、Q的的V面投影面投影PV、QV；2）找出截平面）找出截平面P与圆柱面交线的与圆柱面交线的V面投影面投影ab、

45、cd及及W面投影面投影a(b)、c(d)，求出两交线，求出两交线AB、CD的的H面投影面投影ab、cd；4）顺序连接。）顺序连接。3）找出截平面）找出截平面Q与圆柱面交线的与圆柱面交线的W面投影面投影bed及及V面投影面投影bed，求出，求出H面投影面投影bed；ePQABEDCQVba（ ）cd（ ）badcPVeeac( )d( )b第48页/共84页第四十九页，共84页。作图步骤作图步骤(bzhu)：1）找出特殊点）找出特殊点A、B、C、D的三面的三面(sn min)投影；投影； 2）确定若干一般点：求点）确定若干一般点：求点E及其对称的三点：在及其对称的三点：在W面投影上确定面投影上确

46、定e，由，由e在在V面投影上求出面投影上求出e，由，由e和和e求出求出H面投影上的点面投影上的点e ； 方法二：方法二：先求出截交线在先求出截交线在H面上的椭圆长、短轴面上的椭圆长、短轴ab和和cd，再利用四心法画近似椭圆。，再利用四心法画近似椭圆。3）求出足够的一般点，然后顺序光滑连接起来，即得截交线的）求出足够的一般点，然后顺序光滑连接起来，即得截交线的H面投影。面投影。d( )aPVABCDbcdabcabcdeee分析：分析：截平面与圆柱的轴线倾斜相交，截交线为一椭圆。由于截平面与圆柱的轴线倾斜相交，截交线为一椭圆。由于P平面为正垂面，截交线在平面为正垂面，截交线在V面投影面上有积聚性

47、。圆柱面的面投影面上有积聚性。圆柱面的W面投影具有积聚性，故截交线的面投影具有积聚性，故截交线的W面投影与圆柱面的面投影与圆柱面的W面投影重合。由于面投影重合。由于P平面与平面与H面倾斜，所以截交线的面倾斜，所以截交线的H面投影与其本身具有相仿性，一般仍为椭圆。面投影与其本身具有相仿性，一般仍为椭圆。第49页/共84页第五十页，共84页。 截平面与圆柱截平面与圆柱(yunzh)轴线斜交，截交线随截平面与圆柱轴线斜交，截交线随截平面与圆柱(yunzh)轴线夹角轴线夹角的变化而变化。的变化而变化。45时，时，截交线的截交线的H面投影面投影(tuyng)为圆为圆4545第50页/共84页第五十一页，

48、共84页。例例16：圆柱上部有一切：圆柱上部有一切(yqi)口，若已知其口，若已知其V面投影，试求面投影，试求H、W面投影。面投影。 分析：圆柱上部被左右对称的两个侧平面和一个水平面截切。两侧平面平分析：圆柱上部被左右对称的两个侧平面和一个水平面截切。两侧平面平行行(pngxng)于圆柱轴线，与圆柱面的交线为平行于圆柱轴线，与圆柱面的交线为平行(pngxng)于圆柱轴线的铅于圆柱轴线的铅垂线。水平面垂直于圆柱轴线，与圆柱面的交线为水平的两段圆弧。垂线。水平面垂直于圆柱轴线，与圆柱面的交线为水平的两段圆弧。第51页/共84页第五十二页，共84页。例例17：空心圆柱：空心圆柱(yunzh)上部有一

49、切口，若已知其上部有一切口，若已知其V面投影，求面投影，求H、W面投影。面投影。 分析：空心圆柱的上部被两个侧平面和一个分析：空心圆柱的上部被两个侧平面和一个(y )水平面截切，形成一个水平面截切，形成一个(y )长方槽。三个截平面与圆柱的内、外表面分别相交，和外表面交线的求法和上例相同。三个截平面和空心圆柱内表面截交线的求法，与求外表面截交线相同。长方槽。三个截平面与圆柱的内、外表面分别相交，和外表面交线的求法和上例相同。三个截平面和空心圆柱内表面截交线的求法，与求外表面截交线相同。第52页/共84页第五十三页，共84页。二、圆锥二、圆锥(yunzhu)的截交线的截交线 当平面与圆锥面相交时

50、，随着当平面与圆锥面相交时，随着(su zhe)截平面与圆锥轴线相对位置的不同，截平面与圆锥轴线相对位置的不同，截交线的形状有五种：截交线的形状有五种： 截平面截平面垂直于圆锥垂直于圆锥(yunzhu)轴轴线时，截交线时，截交线为圆。线为圆。截平面与圆锥截平面与圆锥轴线的夹角轴线的夹角/2时，时，截交线为椭圆。截交线为椭圆。截平面与圆锥轴线截平面与圆锥轴线夹角夹角/2时，截交线时，截交线为抛物线。为抛物线。当当/2，故截交线为椭圆。截交线的，故截交线为椭圆。截交线的V面投影积聚面投影积聚(jj)为直线段，而其为直线段，而其H面投影和面投影和W面投影仍为椭圆。先求特殊点，再求一般点。面投影仍为椭

51、圆。先求特殊点，再求一般点。PV作图步骤作图步骤(bzhu)：1）找出特殊点）找出特殊点A、B、C、D的的V面投影，这是截交线椭圆长、短轴的端点，所以面投影，这是截交线椭圆长、短轴的端点，所以c、(d)位于位于ab的中点；的中点；2）求出）求出A、B的的H、W面投影；面投影；3）过）过C、D作水平纬线圆，求其作水平纬线圆，求其H面投影面投影c、d，并根据投影关系求出，并根据投影关系求出c、d；4）求特殊点）求特殊点E、F，这两点是，这两点是W面投影界限素线上的点，找出其面投影界限素线上的点，找出其V面投影面投影e、fe、f e、f；5）采用纬线圆法求一般点）采用纬线圆法求一般点G、H；6）画出

52、）画出H、W面投影上面的椭圆。在面投影上面的椭圆。在W面投影上，椭圆应与圆锥的界限素线的投影切于面投影上，椭圆应与圆锥的界限素线的投影切于e、f 。ABCDd( )babceaabcdcdf( )efegh( )ghPVd( )babceaabcdcdf( )efefgh( )ghf第55页/共84页第五十六页，共84页。例例19：正平面：正平面P截切圆锥截切圆锥(yunzhu)，求截交线的投影。，求截交线的投影。 分析：分析：P平面平行于圆锥平面平行于圆锥(yunzhu)的轴线，截交线为双曲的轴线，截交线为双曲线，其线，其H面投影积聚在面投影积聚在PH上，上，W面投影积聚在面投影积聚在PW上

53、，截交线的上，截交线的H、W面两个投影已知，可求出面两个投影已知，可求出V面投影。面投影。 作图步骤：作图步骤： 先求特殊先求特殊(tsh)点点1、2、3，再用纬线圆法求一般点。再用纬线圆法求一般点。 231PWPHPWPH1(3)3332121 11(3)333221第56页/共84页第五十七页，共84页。kk1例例20：圆锥被正垂面：圆锥被正垂面P和侧平面和侧平面(pngmin)Q截切，已知其截切，已知其V面投影，求作面投影，求作H、W面投影。面投影。分析：截平面分析：截平面(pngmin)P为正垂面且过锥顶，其与圆锥面的交线为两段相交直线，截平面为正垂面且过锥顶，其与圆锥面的交线为两段相

54、交直线，截平面(pngmin)Q为侧平面为侧平面(pngmin)，垂直于圆锥的轴线，与圆锥面的交线为一段圆弧。面，垂直于圆锥的轴线，与圆锥面的交线为一段圆弧。面P与面与面Q 相交于一直线（正垂线）。相交于一直线（正垂线）。 作图步骤作图步骤(bzhu)：1）在）在V面投影上过面投影上过s、k 、(k1)作直线，交圆锥底圆周的作直线，交圆锥底圆周的V面投影于面投影于1(2)点；点；2）由此可求出）由此可求出s1、s2和和s1、s2；空间点空间点K和和K1分别位于分别位于S和和S两条直线上，可求出其两条直线上，可求出其W面投影面投影k、k1和和H面投影面投影k、k1；3）在）在W面投影上，以面投影

55、上，以s为圆心，以为圆心，以sk为半径画弧为半径画弧kek1，即为其，即为其W面投影，且反映实形。其面投影，且反映实形。其H面投影积聚为直线段面投影积聚为直线段kek1；4）作出平面）作出平面P与与Q交线的交线的W面投影面投影kk1，完成圆锥的，完成圆锥的H、W面投影。面投影。QVPVsss121(2)ek(k1)kk1e21第57页/共84页第五十八页，共84页。 平面与球相交平面与球相交(xingjio)，其截交线总是一个圆。，其截交线总是一个圆。三、球的截交线三、球的截交线截平面截平面投影投影(tuyng)面面截交线的投影截交线的投影(tuyng)是圆、直线是圆、直线截平面截平面投影面投

56、影面截交线的投影是椭圆截交线的投影是椭圆(tuyun)、直线、直线第58页/共84页第五十九页，共84页。例例21：正垂面：正垂面P与球面相交与球面相交(xingjio)，求其截交线的投，求其截交线的投影。影。分析分析(fnx)：P平面与球面相交平面与球面相交的截交线为圆，其的截交线为圆，其V面投影有面投影有积聚性，积聚性，H面投影和面投影和W面投影面投影均为椭圆。均为椭圆。PV1234第59页/共84页第六十页，共84页。例例21：正垂面：正垂面P与球面与球面(qimin)相交，求其截交线的投影。相交，求其截交线的投影。 分析：分析：P平面与球面相交平面与球面相交(xingjio)的截交线为

57、圆的截交线为圆，其，其V面投影有积聚性，面投影有积聚性，H面投影和面投影和W面投影均为面投影均为椭圆。椭圆。作图步骤：作图步骤：1）求特殊点）求特殊点、，这六个点是界限素线上的点；，这六个点是界限素线上的点；2）求特殊点）求特殊点、，这两个点是极限，这两个点是极限位置的点（最前、最后位置的点（最前、最后(zuhu)），同时），同时也是也是H、W面投影椭圆的长轴端点；面投影椭圆的长轴端点；3）用纬线圆法求一般点）用纬线圆法求一般点A、B、C、D；4）顺序光滑连接。）顺序光滑连接。12341234（ ）8（ ）7（ ）561212565678783434（ ） ab（ ）cdabcdabcd第60

58、页/共84页第六十一页，共84页。例例22：已知开有通槽半球的：已知开有通槽半球的V面投影面投影(tuyng)，求其，求其H、W面面投影投影(tuyng)。 分析：通槽是由两侧平面和一个水平面截切而成，与球面的交线均为圆分析：通槽是由两侧平面和一个水平面截切而成，与球面的交线均为圆弧。其中弧。其中(qzhng)侧平圆弧在侧平圆弧在V、H面上的投影积聚为直线段，在面上的投影积聚为直线段，在W面上的投面上的投影反映实形。水平圆弧在影反映实形。水平圆弧在V、W面上的投影积聚为直线段，在面上的投影积聚为直线段，在H面上的投影反面上的投影反映实形。映实形。第61页/共84页第六十二页，共84页。作图步骤

59、：作图步骤：1）求出两段水平）求出两段水平(shupng)圆弧的圆弧的H面投影；面投影；2）画出两段侧平圆弧的）画出两段侧平圆弧的W面投影；面投影；3）画出通槽水平底面的）画出通槽水平底面的W面面投影，不可见投影，不可见(kjin)部分画部分画细虚线；细虚线；4）擦除半球上部被切去的轮）擦除半球上部被切去的轮廓线，即得所求。廓线，即得所求。例例22：已知开有通槽半球的：已知开有通槽半球的V面投影面投影(tuyng)，求其，求其H、W面投影面投影(tuyng)。第62页/共84页第六十三页，共84页。例例23：已知组合回转体被两个：已知组合回转体被两个(lin )平面截切，完成其平面截切，完成其

60、V面投影。面投影。分析：该回转体是由两个圆柱面和一个半球面组合而成，左端半球与圆柱分析：该回转体是由两个圆柱面和一个半球面组合而成，左端半球与圆柱2相切，右边为一大圆柱相切，右边为一大圆柱3，被正平面，被正平面(pngmin)和侧平面和侧平面(pngmin)切割。切割。作图步骤：作图步骤：1）以）以o为圆心、为圆心、o1为半径为半径(bnjng)在在V面面投影上画出半圆；投影上画出半圆；2）求正平面与圆柱）求正平面与圆柱2的交线；的交线； 3）求正平面与圆柱）求正平面与圆柱3的交线；的交线； 4）求正平面与圆柱）求正平面与圆柱3左端面的交线左端面的交线GD和和EB，求出其，求出其V投影投影gd