积分变换第章34节ppt课件

1、2.3 Laplace逆变换LaplaceLaplace逆变换的逆变换的 定义定义2 2 典型例题典型例题 前面主要讨论了由已知函数f (t)求它的象数F(s), 但在实际应用中常会碰到与此相反的问题,即已知象函数F(s)求它的象原函数 f (t). 本节就来解决这个问题. 由由LaplaceLaplace变换的概念可知变换的概念可知, , 函数函数 f (t)f (t)的的LaplaceLaplace变换变换, , 实际上就是实际上就是 f (t)u(t)e-bt f (t)u(t)e-bt 的的FourierFourier变换变换. . ()00( ) ( )( ) ( )( )( )tt

2、j tjtstf t u t ef t u t eedtf t edt sjf t edtF s 因而因而, , 按按FoueierFoueier积分公式积分公式, , 在在f (t)f (t)的连续点就有的连续点就有jjj(j)0j( ) ( )e1( ) ( )eeded21ed( )ed21(j)ed,02ttttf t u tfufFt (j)1( )(j)ed,02tf tFt 等式两边同乘以等式两边同乘以ebt, 那么那么(j)jj1( )(j)ed,021j,1( )( )e d ,0.2jstf tFts djf tF ss t 令令ds,ds,有有 积分路线中的实部 b 有一

3、些随意, 但必须满足的条件就是e-btf (t)u(t)的0到正无穷的积分必须收敛. 计算复变函数的积分通常比较困难,但当F(s)满足一定条件时,求Laplace逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等. 右端的积分称为右端的积分称为LaplaceLaplace反演积分反演积分. .1jj1( ),(Re)lim( )0,01( )Res( ),.2jnsnststkkF sssF stF s e dsF s es 定定理理 若若在在全全平平面面只只有有有有限限个个奇奇点点s s均均在在左左侧侧 ，且且则则时时RO实轴实轴虚轴虚轴LCRjRjR为奇点为奇点解析解析( )( )nnts一些

4、常用函数的一些常用函数的Laplace变换变换( )1t 1( )u ts1ktesk1!nnnts22sinkktsk22cossktsk21( ).(1)F ss s 求求例例的的逆逆变变换换1 10,1,ss为为一一阶阶极极点点为为二二阶阶极极点点1 ,)(Re0 ,)(Re)(ststesFsesFstf stssstesdsdes1lim)1(1102 ststsesest211lim1)0(1 tetett还可以用部分分式和查表的办法来求解拉氏反变换还可以用部分分式和查表的办法来求解拉氏反变换. . 根据拉氏变换的性质以及根据拉氏变换的性质以及,!1 mmsmt!111mtsmm

5、atmmmtase!)(111 21( ).(1)F sss 例例2 2 求求的的逆逆变变换换221111( )(1)1F ssssss ( )f t 所所以以 -121 s121(1)ss 10e().ttt -1-1s-11 s+1 = 例3 知 11F ss s 求( )f t解 11111F ss sss所以 1tf te 例4 知 211sF ses 求( )f t解所以 sin11f ttu t 121sin1ts 01000( )() (), 1steF sf tt u ttt 325sssF ss 例5 知求( )f t解所以 5f tttt 322551sssF sssss

6、22529sF ss 例6 知求( )f t解所以 2212cos3sin33ttf tetet 222222225133292323ssF ssss 2.4 卷积卷积1. 1. 卷积的概念卷积的概念 在第一章讨论过傅氏变换的卷积的在第一章讨论过傅氏变换的卷积的性质性质. . 两个函数的卷积是指两个函数的卷积是指 d)()()()(2121tfftftf如果如果f1(t)与与f2(t)都满足条件都满足条件: 当当t0时时, f1(t)=f2(t)=0, 则上式可以写成则上式可以写成1201212120( )()d( )()d( )()()d)ttfftfftff tftft 120( )()d

7、(1)tfft 今后如不特别声明今后如不特别声明, 都假定这些函数在都假定这些函数在t0时时恒等于零恒等于零, 它们的卷积都按它们的卷积都按(1)式计算式计算. 按按(1)计算的卷积满足计算的卷积满足 交换律交换律: f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t) 结合律结合律: f1(t) * f2(t) * f3(t) = f1(t) * f2(t) * f3(t) 分配律分配律: f1(t) * f2(t) + f3(t)= f1(t) * f2(t) + f1(t) * f3(t)()00:*eedeed1ttata tatat 例例0001eedeeedattttataa

8、aaa 0e1eeattatataa e1e(e1)atatattaa21(e1)attaa 例2 求t * sin t21*e(e1)atatttaa 由由jjjjee1sin(ee)2j2jttttttttt jj22111(e1)(e1)2jjjj( j)tttt jj212eesin2jjjttttt卷积定理卷积定理 假定假定f1(t), f2(t)f1(t), f2(t)满足拉氏变换存在满足拉氏变换存在定理定理中的条件中的条件, , 且且 f1(t)=F1(s), f1(t)=F1(s), f2(t)=F2(s), f2(t)=F2(s), 那么那么 f1(t) f1(t) * *

9、f2(t) f2(t)的拉氏变换一定存在的拉氏变换一定存在, , 且且121211212( )( )( )( )(3)( )( )( )( )f tftF sF sF sF sf tft或或 121201200( )( )( )( )ed( )()dedsttstf tftf tfttfftt tO证明证明: 由于二重积分绝对可积由于二重积分绝对可积, , 可以交换积分次序可以交换积分次序()2202()ed( )ede( )sts usfttfuuF s 令令t-t=u, 那那么么12120( )( )( )()eddstf tftfftt 1212021120( )( )( )e( )d(

10、 )( )ed( )( )ssf tftfF sF sfF sF s 所以所以 不难推证不难推证, , 若若fk(t)(k=1,2,.,n)fk(t)(k=1,2,.,n)满足拉氏变换存满足拉氏变换存在定理中的条件在定理中的条件, , 且且 fk(t)=Fk(s) (k=1,2,.,n) fk(t)=Fk(s) (k=1,2,.,n)则有则有 f1(t) f1(t) * * f2(t) f2(t) * *.* * fn(t) fn(t)=F1(s)F2(s).Fn(s)=F1(s)F2(s).Fn(s)例3 知 12,(,mnfttfttm n 为正整数)求在12( )( ).f tft 0,

11、) 2121!)(*)(nmsnmtftf解 因为1212( )( )( )( ) f tftF s F s 所以 1)!1(! nmtnmnm上的卷积上的卷积 mntt 112! !mnm nmnm nsss 求求例例,)1(1)(422 sssF )(1sF ：解法解法1 )(1sF 211s 1121sttsin：解法解法2 )(1sF *121 s 1121sttsin tdt0)sin( ttsin 222( ),)1)5(sF sf ts 求求例例若若22222( )(1)11sssF ssss 因因( )f t coscostt 1( cossin )2ttt 12211ssss 求求例例,)52(1)(622 sssF )(1sF )(sF解：2222)1(1 ste