2020届河北省“五个一”名校联盟高三上学期一轮复习收官考试数学(理)试题(解析版)

1、2020届河北省“五个一”名校联盟高三上学期一轮复习收官 考试数学(理)试题一、单选题1 .设集合 A x|2x1 1, B y|y log3x,x A ,则 eBA（）A. 0,1B. 0,1C.0.1D. 0,1【答案】B【解析】先化简集合A,B,再求A得解.【详解】由题得 A x|2x1 20 x|x 1 , B y|y 0 .所以 eBA x|0 x 1.故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平1 2i2 .已知复数z满足1 i ,则z| ()B.32d. V3【答案】C1 2i 一1 2i【解析

2、】 将 1 i化为z 后，两边取模即可求得答案z1 i【详解】所以z2i所以1z1一1|1 2i |r4、,5|1 i|,1 12,10故选:C【点睛】1 2i本题考查了复数的模的运算化为z :一后，两边取模，根据模的运算性质求解，不需要1 i进行复数的除法运算，这样可以减少运算，本题属于基础题.3 .已知函数 f (x) 2x,若 a f 20.2 , b f 2 ,c f log2 5 ,则()A. avbvcB. cvbvaC. bvavcD. avcvb【答案】Ax【解析】由于f(x) 2为增函数，故只需判断f(x)中自变量的大小关系即可.【详解】由题，f(x) 2x 为增函数，且 2

3、0.2 21 2,2 log2 4 10g 2 5,故 20.22 log 2 5,所以_02- - ._f 2 f 2 f log25 ,故 a b c.故选：A.【点睛】本题主要考查指数函数的单调性，当f(x)为增函数时，自变量越大则函数值越大.4 .我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币(质量较轻)，把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有27枚这样的硬币，其中有一枚是假币(质量较轻) ，如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所

4、需要使用天平的最少次数为()A. 2B. 3C. 4D . 5【答案】B【解析】根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为 3组，再将其中有问题的一组分为 3,此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组 9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组 3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡， 则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，

5、则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平.故选：B.【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.5 .如图，直线l的解析式为y=- x+4 ,它与x轴和y轴分别相交于 A, B两点.平行于 直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它 与x轴和y轴分别相交于 C, D两点，运动时间为t秒（0 4W4）,以CD为斜边作等腰 直角三角形 CDE（E, O两点分别在CD两侧）.若4CDE和4OAB的重合部分的面积为 S, 则S与t之间的函数关系的图象

6、大致是 （）A.C.B.D.【答案】C【解析】分别计算出0 t 2和2 t4时，S与t之间的函数关系，再结合四个选项即可判断出答案.【详解】当 0 t 2 时,S 1t2,21 2 1 _23?_当 2 t 4时,S 1t2 1(2t 4)23t2 8t 8222，分析四个选项可知，选C.故选:C本题考查了求分段函数的解析式，考查了函数的图象的识别，属于基础题.6 .如图所给的程序运行结果为S 41，那么判断框中应填入的关于k的条件是（A. k 7 ?B. k 6 ?C. k 5 ?【解析】程序运行结果为 S 41,执行程序，当k 6时,判断条件成立，当k 5时,判断条件不成立，输出S 41，

7、即可选出答案.根据程序框图，运行如下初始 k 10, S 1,判断条件成立，得到S1 1011,k109;判断条件成立，得到S1120,k8;判断条件成立，得到S2028,k7;判断条件成立，得到S2835,k6;判断条件成立，得到S3541,k5;判断条件不成立，输出S 41，退出循环,SPk6符合题意.故选：B.本题考查了程序框图的识别与判断，弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键，考查了学生的推理能力，属于基础题.7 .下列判断正确的是()A. “x 2”是“ln(x 3) 0”的充分不必要条件18 .函数f(x) Qx 9 2 的最小值为2x 9C.当， R时，命题“若sin

8、 sin ,则 ”为真命题D.命题“ x 0, 2019x 2019 0” 的否定是“x0 0, 2019x0 2019 0”【答案】C【解析】 求解对数不等式之后即可考查选项A是否正确，利用换元法可确定选项B中函数的最小值，利用原命题与逆否命题的关系可判断C选项是否正确，否定全称命题即可确定选项D是否正确.【详解】 逐一考查所给命题的真假:对于选项A：由ln(x 3) 0可彳导0 x 3 1,即3 x 2,故 “ x 2” 是 “ ln(x 3)0”的必要不充分条件，则题中的命题为假命题;对于选项B：令tVx29 t由对勾函数的性质可知函数f1-t 3单调递增，其最小值为10f 3 一，则3

9、题中的命题为假命题;对于选项C:考查其逆否命题:sin sin很明显该命题为真命题，则题中的命题为真命题;对于选项D：命题“ x 0, 2019x 20190”的否定是0,2019x0 2019 0”，则题中的命题为假命题;故选：C.当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断:一个命题的否定与原命题肯定一真一假:原命题与其逆否命题同真假8.若两个非零向量a, b满足r v rb与v b的夹角是A- 6B. 一2C.先将条件平方，进而得r a b2利用夹角公式求解即可2 a平方得2vV2aV2a2Var r a b 0解得：r2 r2 .b 3av r v r （

10、V $（V b） V2 b2 cos a b,a b-or-nv2|v b |a b| 4av r v r2所以向量v b与v b的夹角是.【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，利用向量的数量积求向量的夹角，本题的解题关键 是将条件平方得向量的长度关系及数量积的值，属于基础题9 .如图，宋人扑枣图轴是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该 作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝梗不停晃动，粒粒枣子摇落满地, 有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个

11、动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是()7B. 一121 C.一2_512【解析】依题意，基本事件的总数为4A 24,设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模14个基本事件，故 P (A)可求.3 一 2仿“扶”，则事件A包含1 A3 2 2A24.依题意，基本事件的总数为 A4 24,设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，若甲模仿“扶”，则A包含1 A3 6个基本事件；2若甲模仿“捡”或“顶”则A包含2 2A2 8个基本事件，综上A包含6+8 = 14个基本事件，所以 P (A)14 ,24 12故选B.【点睛】本题考

12、查了古典概型的概率计算，分类讨论的思想，属于基础题. 22x y10 .设F2是双曲线C： J 1(a 0,b 0)的右焦点，。为坐标原点，过F2的直线 a b交双曲线的右支于点 P, N,直线PO交双曲线C于另一点M,若MF2 3PF2 ,且MF2N 60 ,则双曲线C的离心率为()A. 3B. 2C.直D .22【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为 F1,则MF2PF1为平行四边形，根据双曲线定义可得MF a, MF2 3a,在可尸尸2中利用余弦定理得出 a, c的关系即可求出离心率.【详解】设双曲线的左焦点为 Fi,由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形. MF1PF2 ,

13、MF"/PN.设 PF2I m,则 |MF2| 3m,.2a MF2 MF1 2m,即 MF1 a, MF2 3a. MF2N 60 ,F1MF2 60 ,又 F1F2 2c,222在AMFiF2中，由余弦定理可得：4c a 9a 2 a 3a cos60 ,22 c 7即 4c 7a ,a24.双曲线的离心率e ca 2【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于中档 题.11 .设函数f (x)ex 2a sin x ,x 0,有且仅有一个零点,则实数a的值为B.-2 4e2C.【解析】先由题意得到方程xesinx2a在x0,上仅有一个实根;令

14、 g(x)xesinxx一一一e得到函数g(x)与直线ysinx2a在x0,上仅有一个交点;用导数的方法判断结合图像,即可得出结果exg(x) 单调性，求出最值, sinx因为函数 f (x) ex 2asin x ,x 0,有且仅有一个零点;所以方程ex 2 a sin x 0在x0, 上仅有一个实根;xesinxx即方程 工 2a在x0,上仅有一个实根；令 g(x)sinxex则函数g(x)与直线ysinx2a在x 0, 上仅有一个交点;因为g (x)x - xe sin e cosx2sin xex sin2sincosx ,由 g (x) 0 得 sincosx0,因为由 g (x)

15、0 得 sincosx0,因为0,0,所以所以所以，函数g(x)exsinx在0,一上单调递减, 4上单调递增;因此 g (x)ming4 sin-4x因为函数g(x) e与直线y 2a在x 0, 上仅有一个交点, sinx所以 2a g(x)mm、.2e4，记得 a故选B本题主要考查利用导数研究函数的零点,通常将函数零点问题， 转化为两函数图像交点的问题，结合图像求解即可，属于常考题型12.在三棱锥 A BCD中， BAC BDC 60 ,二面角A BC D的余弦值为1,当三棱锥 A BCD的体积的最大值为 g6时，其外接球的表面积为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解析】根据两个射影，

16、结合球的图形，可知二面角A BC D的平面角为/AMD；根据题意可知当 AB AC, BD CD时，三棱锥 A BCD的体积最大。根据体积的最大值可求得 BC的长，结合图形即可求得球的半径，进而求得表面积。【详解】如图，设球心 O在平面ABC内的射影为Oi,在平面BCD内的射影为O2则二面角 A BC D的平面角为/AMD点A在截面圆Oi上运动，点D在截面圆。2上运动，ABC与由图知，当 AB AC, BD CD时，三棱锥 A BCD的体积最大，此时BDC是等边三角形设 BC a ,则 AM DM a ,2S BCDh AM sin(AMD),6a3.2a12VA BCD1S hDBC h33

17、解得a V3,所以DM 一21DO2 1 , 02M -,设 AMD 222/1则 cos2 2cos 13解得tan . 2OO202M tan球0的半径R "DO； 00；.62所求外接球的表面积为S 4 R2 6故选B.【点睛】本题考查了三棱锥外接球的综合应用,根据空间几何关系求得球的半径,进而求得表面积，对空间想象能力要求较高，属于难题。、填空题13.已知实数x、y满足线性约束条件x 1y 1，则目标函数z 2x y的最大值是x y 4【答案】9【解析】在直角坐标系内画出不等式组的表示的平面区域，平移直线y 2x,在平面区域内找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，把点的坐标代入

18、目标函数中即可求出目标函数的最大值.在直角坐标系内，不等式组所表示的平面区域如下图所示:平移直线y2x当直线经过点B时直线在纵轴上的截距最大.点B的坐标是方程组x y 4 x 5B(5, 1),所以目标函数z 2x y的最大值是5 2 19. y 1 y 1故答案为：9本题考查了求线性目标函数最大值问题，正确画出不等式组所表示的平面区域是解题的关键.，、cc5-14 .在等比数列an中，已知a2a5 2a3,且a4与2a7的等差中项为一，则S54【答案】3151【解析】根据a2 a5 2a3，求出a4 2 ,又a4与2a7的等差中项为一，得到a7 一,44所以可以求出1q - , a1 16

19、,即可求出S2【详解】2 52依题意，数列an是等比数列，a2a5 2a3 ,即a1 q2a1q，所以a42 ,又a与八5一一 一 512a7的等差中项为,所以2 2a7 2 7 ,即a7 -,3 a7 11a所以q 一 二，所以q 一,所以a1 16,a4 82q1 516 1 (2)S5 1- 311 2故答案为：31 【点睛】 本题考查等比中项、等比数列的通项公式以及求和公式，需熟记公式。是曲线y f x的一条对称轴，则15 .函数 f x 3sinx 4cosx,若直线 xcos2 sin cos 19【解析】引入辅助角，根据对称性的性质可得，sin()1,从而k -，k Z，结合诱导

20、公式和二倍角公式可求得.因为 f x 3sin x 4cosx5(3sinx 九osx), 5534令 cos - ,sin -贝U f (x) 5(sin xcoscosxsin ) 5sin( x ),因为直线是曲线yf x的一条对称轴，所以k 一 ,k Z,2所以 k 一 ,k Z,2所以 2 2k 2 ,k Z,所以 cos 2 cos(2k2 ) cos 2 2cos22 (3)2 1525sin cos所以cos2 sin 22sin cos1 sin(2k271225 2512 ) -sin2219.25sin cos1225故答案为1925【点睛】本题考查了三角函数的辅助角公式

21、，函数的对称性，诱导公式和二倍角公式，属于中档题.22_ x y16 . Fi、F2 是椭圆y fa2b21 a b 0的两个焦点，P为椭圆上的一点，如果PF1F21-L LC的面积为 1 , tan PFE - , tan PF2F12,则 a=1【解析】不妨设点P在x轴下方，根据tan PF1F2 - , tan PF2F12,可得直线P的坐标，利用面积可以算出PF1 ,直线PF2的斜率和方程，联立方程组成方程组解得c3,将P的坐标代入椭圆方程，结合b2 a2 c2,解方程组可得a2,根据a c舍去2一个值即可得到答案.不妨设点P在x轴下方，如图所示：1/-(x c),2(x c),1.1

22、因为tan PF1F2 2 ,所以卜弓2,直线PF1的方程为:y因为tan PF2 F12，所以Kpf22，直线PF2的方程为：y联立2(xc)，解得2(x c)5-c354、,gp p(-c, c),433-c3又PF1F2的面积为1,所以2c1,所以c , 2所以P2.3、, 丁,代入到2 y b21，又 b2(5_il)2 得(6 )2a(呼)23b225所以12a23(a24)14，整理得12a50a27542所以（3a524)(4a15)解得9或a21215因为3一,所以4所以15一，所及a4-15215故答案为：52本题考查了直线方程的点斜式，考查了三角形的面积公式考查了椭圆的标准

23、方程，考查了运算求解能力，利用直线PF1，直线PF2的方程解得点P的坐标，代入椭圆方程是解题关键，属于中档题.三、解答题17 .已知ABC的内角A,B,C的对边分别为ah。，若cos葭1得(1)求角C;(2) BM平分角B交AC于点M ,且BM 1,c 6 ,求cos ABM.【答案】(1) C ； (2) cos ABM2【解析】(1)利用降次公式化简 cos2：341 b- -,再用正弦定理、三角形内角和定理、2 2c两角和的正弦公式进行化简，由此求得cosC的值，进而求得 C的大小.(2)设 ABMBCMBC ,求得CB,然后利用cos ABC 以及二倍角公AB式列方程，解方程求得cos

24、 ABM 的值.1 cos A(1)由题21 A2 2ccosA b ccos Asin C sin Bsin( AC) sin AcosC cosAsinCsin AcosC 0又 A(0,)sin A 0 cosC 0 C 2(2)记 ABM则 MBCMCB 中,CB在Rt ACB中,cos一 _2.即 2cos1cos6BCABC ，AB3cos 一或4本小题主要考查利用正弦定理解三角形,cos2cos62 人7 (舍)3cosABM考查二倍角公式和降次公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题1-18 .在四棱锥 P ABCD 中，AD/ BC , AB BC CD 2AD , G

25、 是 PB 的中点,PAD是等边三角形，平面 PAD 平面ABCD .(I)求证：CD 平面GAC；(n)求二面角 P AG C大小的正弦值.【答案】（I）证明见解析;(H) J05【解析】（I）取AD的中点为O ,连结OP , OC , OB ,设OB交AC于H ,连结GH .根据题意可得到四边形 ABCO与四边形OBCD均为菱形，即可说明 CD AC, 再由题意说明PO 平面ABCD，即PO CD ,又GH P PO ,即可说明CD GH , 即可说明CD 平面GAC .（n）取BC的中点为E,以。为空间坐标原点，分别以 Ouu, Ouu, Ouu的方向为x八uuu umr轴、y轴、z轴的

26、正方向，建立空间直角坐标系 O xyz.令AD 4,则可写出AP , AG . 即可求出平面 PAG的法向量二，再由（1）知平面 AGC的法向量Cuu,代入公式IV uuv|n CDcos1Vj|UiuV即可求出二面角 P AG C的平面角的余弦值，方可求出二面角同cd|P AG C大小的正弦值.解：（I）取AD的中点为O ,连结OP , OC , OB ,设OB交AC于H ,连结GH . 1. AD II BC , AB BC CD - AD 2四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形. OB AC , OB / CD CD AC PAD为等边三角形， 。为AD中点.PO AD.平面PAD 平

27、面ABCD且平面PAD I平面ABCD AD .PO 平面PAD且PO AD . PO 平面 ABCDCD 平面ABCD.PO CD.H, G分别为OB, PB的中点，GH PPO. GH CD又.GH I AC HAC , GH 平面 GACCD 平面GAC(n)取BC的中点为E,以。为空间坐标原点，分别以Ouu, Ouu , Ouu的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.设AD4,则 P 0,0,273 , A 0, 2,0,C 73,1,0 , D 0,2,0 ,GuuuAP0,2,2 .3uuur AG2 2面角P AG C大小的正弦值为105、3,1

28、,0iv uuv|n CD|Vi|UUU/|n| CD2.32/55r设平面PAG的一法向量n (x, y,z).v C 2y 2 3z 0-n AP 0_y 、3z由 v uuuv 、33n AG 03x 3y 、3z 0 x z22令 z 1,则 n 1, v3,1.uuir由(l)可知，平面 AGC的一个法向量CD.二面角P AG C的平面角的余弦值c0s本题考查线面垂直的证明、二面角的正弦值，其中证明线面垂直一般情况有两种思路:一，根据线面垂直的判定定理，在平面内找两条相交直线与这条直线垂直；二、通过面 面垂直的性质定理，构造两平面垂直，且直线在平面内且垂直于两平面的相交直线，则 直线

29、就垂直于另一个平面。二面角的正弦值一般通过向量法，先求其余弦值，再求正弦 值。属于中档题。19.设函数 f(x) ax sin x, x (0,一),a 为常数2(1)若函数f x在0,-2上是单调函数，求 a的取值范围；1 3(2)当 a 1 时，证明 f (x) -x .6【答案】(1) (,01,) ; (2)证明见解析.【解析】(1)对函数求导，单调分单调增和单调减，利用f x a cosx 0或f x a cosx 0在0,上恒成立，求得实数 a的取值范围；2(2)利用导数研究函数的单调性，求得结果 .【详解】(1)由 f x ax sinx得导函数 f x a cosx,其中 0

30、cosx 1.当a 1时，f x0恒成立，故f x ax sinx在0,上是单调递增函数，符合题意；当a 0时，f x 0恒成立，故f x ax sinx在0,-上是单调递减函数，符合题意；当 0 a 1时，由 f x a cosx 0得cosx a,则存在x00, 一，使得cosx。 a .2当 0 x x0 时，f x00 ,当 x 一时，2f %0,所以f x在0,% 上单调递减，在x0,- 上单调递增，故f x在0,- 上是不是单调函数，不符合题意 2综上，a的取值范围是,01,(2)由(1)知当 a 1 时，f x x sinx f 00,2即 sinx x ,故 sin2 二22f

31、 x1x3 ax sinx 1x3, x 0,6621 2a cosx 一 x 22 x 1 2a 1 2sin x2 22x12.a 1 2xa1,22当a 1时，g x a 1 0,所以g x在0,- 上是单调递减函数,1 3从而 g x g 00,即 f x -x3.6该题考查的是有关导数的应用,涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于中档题目 20 .某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量 x （千件）有关，经统计得到如下数据：x12345678y1126144.53530

32、.5282524根据以上数据，绘制了散点图b观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y a 一和指x数函数模型y cedx分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为§ 96.54e 0.2x , lny与x的相关系数r10.94.1参考数据（其中ui 一）：Xi8ui§i i 1u-2 u82 uii 18小i 182 yii 16.61 6185.52 e183.40.340.1151.5336022385.561.40.135（i）用反比例函数模型求 y关于x的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精

33、确到0.01）,并用其估计产量为io千件时每件产品的非原料成本；（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为 100元，则签订9千件订单的概率为 0.8,签订10千件 订单的概率为0.2;若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为 0.3 ,签订11千 件订单的概率为 0.7.已知每件产品的原料成本为 10元，根据（2）的结果，企业要想获 得更高利润，产品单价应选择 100元还是90元，请说明理由.参考公式：对于一组数据Ui, 1 , u2, 2 ,，un, n ,其回归直线U的斜率和截距的最小二乘估计分别为:(1ui i nu i

34、 1n 2 '2-2uinui 1nui i i 1nun2 uii 1-2 nun 2-2i ni 111100(2)见解析;(3)见解析.【解析】(1)首先可令x1b.u 并将y a x转化为y a bu ,然后根据题目所给数据以及线性回归方程的相关计算出$以及$,即可得出结果;(2)计算出反比例函数模型的相关系数r并通过对比即可得出结果;(3)可分别计算出单价为100元和90元时产品的利润，通过对比即可得出结果。(1)令b一可转化为y a bu , x因为360“45 ,所以8b?=8? ui yi - 8uyi=1183.4-8创0.34 4561=100;52-8片1.53-

35、8?0.115i=10.61则$u 45 1000.34 11,所以 y 11 100u ,所以y关于x的回归方程为11100；x(2)1y与一的相关系数为： x8ui yi nuyi 188u2 8u2yi2 8y2i 1i 161610.99V0.61 6185.561.4'因为31 3| ,所以用反比例函数模型拟合效果更好,100 一 当x 10时，y 11 21 (元)，10所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元;(3)当产品单价为100元，设订单数为x千件:因为签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2 ,所以 E(x) = 9?0.8 10?

36、0.2 9.2,cc 物00所以企业利润为100? 9.2 9.2?曲- 21 =626.8 (千元)， 桃.2当产品单价为90元，设订单数为y千件：因为签订10千件订单的概率为 0.3,签订11千件订单的概率为 0.7,所以 E(y) = 10?0.3 11? 0.7 10.7,一cWl00 -所以企业利润为90? 10.7 10.7? H0-7 21 =638.3 (千元)，故企业要想获得更高利润，产品单价应选择90元.【点睛】本题考查了线性回归方程的相关性质，主要考查了线性回归方程的求法、函数模型的对比以及通过线性回归方程解决实际问题，考查了计算能力，是中档题。-/ 321 .已知中心在

37、原点的椭圆 C1和抛物线C2有相同的焦点(1,0),椭圆C1过点G 1,-抛物线C2的顶点为原点.求椭圆C1和抛物线C2的方程；(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点， 过点P作抛物线C2的两条切线PA, PB,其 中A、B为切点.设直线PA, PB的斜率分别为 k1, k2,求证：k1k2为定值；若直线AB交椭圆Ci于C, D两点，Szpab, Szpcd分别是PAB, APCD的面积，试SvPAB 问：一是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.SVPCD222XV【答案】(1)抛物线C2的标准万程为V 4x,椭圆Ci的万程为：一 匚 1,(2)证明434见解析，有，最小值为一

38、3一, 一，一 D【解析】(1)利用；2 1可得抛物线的标准方程，根据C 1和点P在椭圆上列方程组可求得a所以抛物线C2的标准方程为V 4X,和b2,从而可得标准方程；(2)利用4=0以及韦达定理可得结论；SVPAB11d |AB|1 八2d |CD|AB| |AB|而,即求而得最小值，当直线AB的斜率存在时，联立直线与抛物线利用弦长公式求出| AB|和|CD |,然先求出直线过定点(1,0),将问题转化为-一 SVPCD22设椭圆方程为-2-匕1,则ca b22a b 121且 19，解得a 1221a 4b4,b2 3,4后求比值，此时大于一,当直线AB的斜率不存在时，直接求出| AB |

39、和| CD |可得比值为 34 “一 .从而可彳#结论.3(1)因为抛物线C2有相同的焦点(1, 0),且顶点为原点，所以卫1,所以P 2,222所以椭圆C1的方程为：工匕 1 .43(2)证明：设P( 1,t),过点P与抛物线V24x相切的直线为V tk(x 1),y t k(x y2 4x1)2，消去x得y4 ky4t4 0,.4.2.,4t由= ()4(4) 0,得 ktk 1 0,k k设 A(xi, yi), B(x2, y2)221由得y1则”/X21k22所以直线ab的方程为y yiy2 yi ,、(x x1所以 y yiX2 Xik2 i(xi),k22ki22即y-(x i)

40、,即直线AB恒过定点(i,0),K K2设点P到直线AB的距离为d ,i .所以 SPAB 5d 吧 |AB|SVPCD 2d|CD| |CD|,当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y K（x i）,设 C(x3, y3), D(x4, y4),y2 4x由y K(x i)消去y -2 2_22x (2K4)x K 0,K 0时, 0恒成立，|AB| .(iK2)(x2 X)2(i Y) i64(i K2)K22 x由4y2 y3K(xi消去y得（3i）,2、2_.2.2一 一4K )x 8K x 4K i2 0 , 0恒成立，则 |CD|、,(i K2)(x3 4)22、i44 i44K2(i K )2 2(3 4K2)22i