大学物理：22章电磁感应

1、本章本章教学要求：教学要求：理解电动势的概念。掌握法拉第电磁感应定律。理解电动势的概念。掌握法拉第电磁感应定律。理解动生电动势及感生电动势。了解涡旋电场理解动生电动势及感生电动势。了解涡旋电场(感生电场）的概念感生电场）的概念 了解自感系数和互感系数。了解自感系数和互感系数。了解磁能密度的概念。了解磁能密度的概念。本章重点：本章重点：法拉第电磁感应定律。动生电动势及感生电动势。法拉第电磁感应定律。动生电动势及感生电动势。本章难点：本章难点：感应电动势的大小计算与方向判断。感应电动势的大小计算与方向判断。涡旋电场涡旋电场(感生电场）感生电场）返回目录下一页上一页第二十二章第二十二章 电磁感应电磁

2、感应返回总目录返回总目录 电磁感应电磁感应（Electromagnetic Induction）引引 言：言： 1820年丹麦物理学家年丹麦物理学家奥斯特奥斯特发现了电流发现了电流的磁效应，人们就开始了其逆效应的研究。的磁效应，人们就开始了其逆效应的研究。 1831年八月英国物理学家年八月英国物理学家M.Faraday发现了电磁感应定律。发现了电磁感应定律。大大推动了电磁理论的发展。大大推动了电磁理论的发展。 电磁感应定律的发现，不但找到了电磁感应定律的发现，不但找到了磁生电磁生电的规律，的规律，更重要的是它揭示了电和磁的联系，为电磁理论奠定了更重要的是它揭示了电和磁的联系，为电磁理论奠定了基

3、础。并且开辟了人类使用电能的道路。成为电磁理论基础。并且开辟了人类使用电能的道路。成为电磁理论发展的第一个重要的里程碑。发展的第一个重要的里程碑。里里程程碑碑Michael Faraday 电磁感应定律 法拉第最初公布他的发现时，一位贵夫人问： “这有什么用？”他说：“一个新生的婴儿又 有什么用？ ”第二十二章第二十二章 电磁感应电磁感应 结论结论当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中就会产生感应电流。发生变化时，回路中就会产生感应电流。请点击此处看插图当穿过不闭合导体回路所包围面积的磁通量当穿过不闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，回

4、路中就会产生感应电动势。发生变化时，回路中就会产生感应电动势。两者相对运动？回路所在处磁场发生变化？结论：回路所在处结论：回路所在处磁通量发生变化。磁通量发生变化。楞次定律：楞次定律： 感应电流的方向总是企图使感应电流本身所产生的通过回路面积的磁通量，去补偿或反抗引起感应电流的磁通量的改变。分析以下几个图：分析以下几个图：i增加）(ai增加）(bi减少）(ci减少）(d楞次定律的实质是能量转化与守恒定律在电磁感应现象中的具体体现参见插图法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律：回路中的感应电动势与通过回路的磁通量对时间的变化率成正比。即dtdk取合适的单位制，则有dtd“”的意义：（1）“”即为

5、楞次定律的数学表示；（2）用“”号表示电动势的方向是相对而言的，即先应确定 一个绕行方向（对应一个法向 ）为正方向；（3）确定了正方向 之后，由 与 的关系，才能确定 的正负，从而确定 的正负，最终明确 的正负。nnBdtd n回路的方向任意标定作下面的规定的方向（正负）问题，关于Li. 1:Ln外内B.0, 0,. 40, 0,2; 0,20. 31212与回路方向相反则说明与回路方向相同说明如果计算出且求出夹角与iiiiidtdttdtdnB).(. 2右手定则所围曲面正法线确定nL0di向上且增加Ba)(n绕行方向0di向下且增加Bb)(Bn绕行方向0d0i向上且减少Bc)(Bn绕行方向

6、0di向下且减少Bd)(Bn绕行方向试用电磁感应定律分析下面四图中的试用电磁感应定律分析下面四图中的 方向。方向。0i0ii0i对于多匝线圈有对于多匝线圈有dtddtddtd 2121 21若dtdN而回路中的感应电流还与回路的电阻有关：而回路中的感应电流还与回路的电阻有关：dtdRRIii1则通过回路中某一截面的电荷量为：末初末初RdRdtIqtti1121此即磁通量计原理只要测出通过回路截面的感应电量iq，就可以计算出磁通量的变化。 引起回路磁通量变化的原因有三种，由此可将感应电动势进行如下分类：（1）动生电动势：一定，由于回路面积变化B如：BFF如：tIIsin0（3）感应电动势：（1）

7、+（2）如：teII0v（2）感生电动势：回路不动， 变化BBveF洛BveFEK洛vBll dBvl dEabKi即动生电动势是由洛伦兹力作用所产生的。iIv洛FKEabcd对应的非静电场BvEKbaiabbaUUUUab或者方向只有当导体有垂直磁感应线运动分量时，导体棒内才能产生动生电动势iIv洛FKEabcd上产生的电势为l dvl dBl dBvd 可见：整个导线L上的动生电动势 等于整个导线在单位时间内所切割的磁力线数目。L)()()(LLiildBvdl dBvd（1）由 计算l dBv注意：1. 只有首先取定 的方向， 的正负才有方向意义， 表示 的方向与所取 （由整个回路的绕行

8、方向定）一致。反之则反。显然 的方向有两种取法。l d0l dl d 2. 计算中，要明确两个夹角：一是 与 的夹角。由速度与磁场而定；二是 与 的夹角，它与速度、磁场方向及 方向均有关。vBBvl dl d（2）由 计算1. 对于一回路，由运动情况求出2. 对于一段不闭合导线ab，无磁通量概念，如图所示，BabvcSSdBdtddtd t 再由 求出 。dtd则假想用另一段导线acb与ab组成回路，使之成为闭合回路。:解90 与 为 夹角， 方向如图。vBBv取a b方向为 方向，则l dbaabl dBvabBvIdLvl d例例1如图求 。ab式中dlIB20ddLIvdldlIvLab

9、ln212000负号表示 方向与 方向相反。即b a方向。a极是“+”极，b极是“”极。abl d与 夹角为180l dBvbaabIdLvBvl dx解法2用法拉第电磁感应定律求解ab磁通量为顺时针，则通过回路的为成闭合回路，回路正向连bbaadLdvIdtdiln20).(baiUUab与回路饶向相反，即处距离，位于导线运动时刻处，时刻导线位于abxtbat 00ixdrrIsdBd20取面元 ,通过 的磁通量为dsdsdLdxIxdrrILddln2200通过 的磁通量为srdr例例2 在垂直于均匀恒定磁场在垂直于均匀恒定磁场B的平面内有一长为的平面内有一长为L的的直导线绕其延长线上的直

10、导线绕其延长线上的O点以匀角速度点以匀角速度 转动，转轴转动，转轴与与B平行，平行， （如图（如图a），求），求ab上的动生电动势上的动生电动势 。ab1LOa 解法1：由 计算baabl dBv如图a所示，ab上任一线元 （ 的方向取a点至线元的矢径方向），其速度 与磁场 垂直，且 与同向，故其上产生的动生电动势l dl dvBBvl dBdllvBdll dBvd:解图图a aabv1LLOl dlabv1LLOl dl 其方向用右手定则判断，可得知由a b。这时ab相当于一个处于开路状态的电源，电源内部电动势方向由负 正，即a为负极，b为正极。21212111LLLBBldldLLLba

11、abBdllvBdll dBvd解法二（a）cdabdab1LLO（b） 图a，ab上任一线元 （ 的方向取a点至线元的矢径方向），其速度 与磁场 垂直，且 与 同向.l dl dvBBvl d设导线ab与假想线框adcb构成闭合回路，并设ab在dt时间内转过了 角dabv1LLOl dlcdabdab1LLO（b）解法2：用法拉第定律求解。由法拉第定律得设导线ab与假想线框adcb构成闭合回路，并设ab在dt时间内转过了 角（图b），则它扫过的面积为ddLLL212121此面积的磁通dLLLBSdBd212121212121212121LLLBdtdLLLBdtdb图cdabdab1LLO（

12、b） 与（1）求得的结果相同。动生电动势的方向也可用楞次定律判断。当导线ab运动至 位置时，回路面积减小，故由 楞次定律判断得出，这时导线上所产生的动生电动势方向由a b。结果与上面一致ba Odl dBvBX（a）:解abc例例3. 稳恒的均匀磁场垂直于纸面向里，导线稳恒的均匀磁场垂直于纸面向里，导线abc的形的形状是半径为状是半径为R的的 圆。导线沿圆。导线沿 的分角线方向以速度的分角线方向以速度V水平向右运动，如图所示。求导线上的动生电动势。水平向右运动，如图所示。求导线上的动生电动势。 43aOcv（1）用 求解abcacl dBvcosvBdld Odl dBvBXabcv 当闭合回

13、路abca 整体以速度v 向右运动时，由于穿过回路的磁通量不变，所以0abca用法拉第定律求解。假设用一直导线 ac与导线 abc构成一闭合回路。而caabcabca故accaabc直导线ac 在磁场中作切割磁感线运动，产生的动生电动势 可用法拉第定律计算。ac故在导线ac上产生的动生电动势直导线ac 在磁场中作切割磁感线运动，产生的动生电动势 可用法拉第定律计算。acRvBdtSdBd2RvBdtdac2所以RvBacabc2用右手定则或楞次定律的方法同样可判的c为负极，a为正极。ac在dt内所切割的磁感线数连结该导线端的直导线连结该导线端的直导线ac，以同一速度运动所产生的动，以同一速度运

14、动所产生的动生电动势相同，即生电动势相同，即 。 由此，对计算任意形状的一段导线在稳恒均匀磁场中运动所产生的电动势，你得到了什么启示？acabc在在，一段任意形状的导，一段任意形状的导线线abc，以某一速度运动所产生的动生电动势，与，以某一速度运动所产生的动生电动势，与vabcB（b）.,sin,sin00随时间变化空间均匀则设密绕长直螺线管内部tnIBtIInIBkEab.,电动势在其中产生感应导体回路或一闭合发现放一导体ab而麦克斯韦假说：麦克斯韦假说：变化的磁场在其周围会激发一种电场感生场 （有旋场） 对导体中电荷施加力的作用（非静电力）。l dE感感LSdBdtddtdl dE感所以有

15、SdtBl dE感感形成左手螺旋关系。在方向上与且。上式表明，感感感tBEEtB感EtBL感感EtB 感感EtB 与与构成左旋关系。构成左旋关系。感感EtB SLSdtBldE感感NSYY电子轨道真空室O感EF洛F电子枪靶电子轨道逆时针逆时针顺时针顺时针 涡旋 电场方向Bto（a）（b）（c）（1）电子受力：a、切向感生电场的作用力。 b、法向洛伦兹力。（2）电子在每个 周期中的受力及运动情况分析。41动生电动势动生电动势感生电动势感生电动势特特点点磁场不变，闭合电路的整磁场不变，闭合电路的整体或局部在磁场中运动导体或局部在磁场中运动导致回路中磁通量的变化致回路中磁通量的变化闭合回路的任何部分

16、都不闭合回路的任何部分都不动，空间磁场发生变化导动，空间磁场发生变化导致回路中磁通量变化致回路中磁通量变化原原因因由于由于S的变化引起的变化引起回路中回路中 变化变化由于由于B的变化引起的变化引起回路中回路中 变化变化非静电力就是洛仑兹力，非静电力就是洛仑兹力，由洛仑兹力对运动电荷由洛仑兹力对运动电荷作用而产生电动势作用而产生电动势变化磁场在它周围空间激发变化磁场在它周围空间激发涡旋电场，非静电力就是感涡旋电场，非静电力就是感生电场力，由感生电场力对生电场力，由感生电场力对电荷作功而产生电动势电荷作功而产生电动势结结论论 l dBvi 其方向由其方向由Bv 决定决定 SiSdtBl dE涡涡其

17、方向由其方向由的积分方向决定的积分方向决定涡E沿沿ld的来源的来源非静电力非静电力 是涡旋场（非位场）是涡旋场（非位场）不能引入电位概念不能引入电位概念感感E0 ldEL库库 SqSdE01库库感生电场（涡旋电场）感生电场（涡旋电场） LSSdtBl dE感感0 SSdE感感由静止电荷产生由静止电荷产生由变化磁场产生由变化磁场产生库库E是发散场，是发散场，线是线是“有头有尾有头有尾”的，的，库库E感感E是无散场，是无散场，是一组闭合曲线是一组闭合曲线静电场（库仑场）静电场（库仑场） 是位场（无旋场）是位场（无旋场）可以引入电位概念可以引入电位概念库库E起于正电荷而终于负电荷起于正电荷而终于负电

18、荷感感E线是线是“无头无尾无头无尾”的的静电场和涡旋电场的静电场和涡旋电场的共同点：均对电荷有作用力。共同点：均对电荷有作用力。总电场：总电场：感感库库EEE SqSdE01 LSSdtBl dEE是发散场是发散场 是涡旋场是涡旋场E库库库库EqF 感感感感EqF 0 SSdE感感 SqSdE01库库 SLSdtBl dE感感0 ldEL库库(1) 一段导线一段导线 l dE感感条件是感生电场的分布已知（2）闭合导线（或假想闭合）闭合导线（或假想闭合） LSdtBdtdl dE感（3） 若感生和动生电动势都存在若感生和动生电动势都存在SdtBl dBvba 或dtdBR tB 例例1：局限于半

19、径：局限于半径 R 的圆柱形空间内分布有均匀磁场，的圆柱形空间内分布有均匀磁场， 方向如图。磁场的变化率方向如图。磁场的变化率0 tB求：求： 圆柱内、外的圆柱内、外的 分布。分布。涡涡ErL SLSdtBldE感感按对称性分析：截面内与中心相距为r的圆柱上各点的感生电场场强感生电场场强 大小相等、大小相等、 方向与回路相切方向与回路相切 lSSdtBldE感感 lSdStBdlE000cos0cos感感22rtBrE 感感tBrE 2感感Rr 方向：逆时针方向方向：逆时针方向BR tB rL取顺时针方向为回路正向讨论讨论负号表示负号表示感感EtB 与与反号，反号， B，则，则0 tB0感E感

20、感E与与 L 积分方向切向同向。积分方向切向同向。 B，则，则0 tB0感E感感E与与 L 积分方向切向相反。积分方向切向相反。2（1）2（2）BR tB rL由此可由由此可由tB 感感E来确定来确定的方向。的方向。的正负的正负在圆柱体外，由于在圆柱体外，由于B=0 Ll dE0感感上上于是于是L 0 感感E LSSdtBl dE感感虽然虽然tB L 上每点为上每点为0，在在但在但在S 上则并非如此。上则并非如此。由图可知，这个圆面积包括柱体内部分的面积，由图可知，这个圆面积包括柱体内部分的面积，而柱体内而柱体内 tB L rBR0 tBRr L 0 tB上上故故 SS tB L rBR22R

21、tBrE 感感tBrRE 22感感SdtBSdtBSS2RtB Ll dE感感2RtB 方向：逆时针方向方向：逆时针方向SS E感感rROtBr 2Rr tBrR 22Rr 无限长圆柱体内外无限长圆柱体内外感感E 与与 r 的关系类似于的关系类似于均匀带电球体内外均匀带电球体内外 与与 r 的关系。的关系。库库E 感感E:解计算。用dtdi例例2、 在半径为在半径为R的圆柱体内，充满磁感强度为的圆柱体内，充满磁感强度为的均匀磁场，有一长为的均匀磁场，有一长为L的金属棒放在磁场中，如图所的金属棒放在磁场中，如图所示。设示。设 ，且为已知，求棒两端的感生电动势。，且为已知，求棒两端的感生电动势。0

22、dtdBBLbOa 假想一回路oabo，则dtdBLRLdtdBhLdtdBSdtdoabooabo42222boaboaoabo而0l dEbooa感但badtdBLRLoaboab方向4222h感El dB计算用感l dEibaabdlEl dEcos感感rhdtdBrEcos 2 感而bOahl dB感EabdtdBhdldtdBhdlrhdtdBrbabaab222badtdBLRL方向 4222 tB B CDoh讨论讨论只有只有CD导体存在时，导体存在时，电动势的方向由电动势的方向由C指向指向D加圆弧连成闭合回路，加圆弧连成闭合回路，由楞次定理知：感生电流的由楞次定理知：感生电流的

23、方向是逆时针方向方向是逆时针方向. 矛盾？矛盾？CD12tBStBhLOCD 21121 tBSDOC 22扇扇12323 tB B CDo4tBSCOD 44扇扇41 和和 的大小不同，说明的大小不同，说明 不是位场，不是位场，其作功与路径有关（感生电场力作功类似于摩擦力作功）其作功与路径有关（感生电场力作功类似于摩擦力作功）1 4 感感EtBSOCD 14 的方向逆时针的方向逆时针D 4 C1:解例例3、如图所示，长直导线如图所示，长直导线AB中的中的I沿导线向上，并且以沿导线向上，并且以 的变化率均匀增长，导线附近放一个与之的变化率均匀增长，导线附近放一个与之共面的直角三角形线框，其一边

24、与导线平行，尺寸如图共面的直角三角形线框，其一边与导线平行，尺寸如图所示。求感应电动势的大小和方向。所示。求感应电动势的大小和方向。)SA(2dtdIocmb10cm5cm20XYAB取如图所示的坐标，线框斜边方程为：2 . 02 xy1 . 000005. 02 . 02205. 02dxxxIxIydxba则三角形中的磁通量为(回路顺时针方向）WbIIIb8001059. 205. 005. 01 . 0ln15. 0VdtdIdtd881018. 51059. 2方向为逆时针方向。dxy05. 020 xIB方向为逆时针方向。VdxxxydxdtdIxSdtB8001018. 505.

25、02 . 02)05. 0(2StBSdtB *注意：切不可认为ocmb10cm5cm20XYABdtdIxtB05. 020dxy:解例例4、如图所示，真空中一长直导线通有电流如图所示，真空中一长直导线通有电流 （式中（式中 、 为常量，为常量，t为时间），有一带滑动边的矩形为时间），有一带滑动边的矩形导线框与长直导线共面，两者相距为导线框与长直导线共面，两者相距为a，矩形导线框的滑，矩形导线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度为动边与长直导线垂直，它的长度为b，且以匀速，且以匀速v（方向（方向平行与长导线）滑动。若忽略线框中的自感电动势，并平行与长导线）滑动。若忽略线框中的自感电动势，并设开

26、始时滑动边与对边重合，试求任意时刻设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻t在矩形导线在矩形导线框内的感应电动势框内的感应电动势 。 teItI00Ii （1）由于线框中既有动生电动势（设其为 ），又有感生电动势（设其为 ），故回路中总的感应电动势 是动生电动势与感生电动势的叠加，即12iSdtBl dBvi21vabXydy)(txYo设顺时针为回路正向SdtBl dBvi21vabydy)(txYo设顺时针为回路正向veIabaabaIvdyyIvvBdyl dBvtbaabaabaa00001ln2ln22 teIabaxxdydttdIySdtB0002ln22teItI0)(veIab

27、at001ln2 teIabax002ln2vtx 按题意tveIabat002ln2 故1ln2 0021tveIabati所以vabXydy)(txo（2）此题亦可直接用法拉第定律的通量法则来求解，即 SiSdBdtddttd abatxtIdytxytISdBtbaaSln2200 1ln2 ln2000tveIabadttdxIxdttdIabadttdti所以vabXydy)(txo与（1）的计算结果相同。如图：取 向下，则 的方向为向里。时，顺时针。时，逆时针；的方向：当11tti注意：（1）利用 计算总电动势过程中，在计算 时需要选定一个方向 ，在计算 时，需要选定一个方向 ，必

28、须保证两个方向是自洽的，即应使 的方向与 的方向之间构成右手关系。l dl dSd感动动感l dl dSdSd补充：补充： 涡电流（涡流）涡电流（涡流）1. 涡电流的概念涡电流的概念 大块的金属在磁场中运动，或处在变化的磁大块的金属在磁场中运动，或处在变化的磁场中，金属内部也要产生感应电流，这种电流在场中，金属内部也要产生感应电流，这种电流在金属内部自成闭合回路，称为金属内部自成闭合回路，称为涡电流或涡流涡电流或涡流。铁芯铁芯交交流流电电源源涡流线涡流线铁铁 芯中的芯中的 涡电流涡电流涡电流的热效应涡电流的热效应利用涡电流进行加热的方法叫做感应加热。利用涡电流进行加热的方法叫做感应加热。3、电

29、磁阻尼、电磁阻尼利利2、家用、家用电磁灶电磁灶低频炉低频炉中频炉中频炉高频炉高频炉及特种合金及特种合金1、冶炼难熔金属、冶炼难熔金属金属块中的涡电流将受到磁场的作用力。当金属块相金属块中的涡电流将受到磁场的作用力。当金属块相对于磁场运动时，涡电流所受磁力总是反抗相对运动，对于磁场运动时，涡电流所受磁力总是反抗相对运动，即产生阻尼作用，叫做即产生阻尼作用，叫做电磁阻尼电磁阻尼可用于电度表、电磁制动机械，甚至磁悬浮列车等。可用于电度表、电磁制动机械，甚至磁悬浮列车等。 减少涡流的途径减少涡流的途径1、选择高阻值材料、选择高阻值材料（电机变压器的铁芯（电机变压器的铁芯材料是硅钢而非铁）材料是硅钢而非

30、铁）2、多片铁芯组合、多片铁芯组合弊弊增加能耗增加能耗热效应过强热效应过强-温度过高温度过高-易破坏绝缘易破坏绝缘-造成事故造成事故应减少涡流应减少涡流如变压器铁芯。如变压器铁芯。 不论何种方式只要能使穿过闭合回路的磁通量发生变化，此闭合回路内就会有感应电动势出现。引起磁通量变化的原因是多种多样的，必须依据情况作具体分析。如图，依场叠加原理知，穿过回路1的磁通量为：1I12I211 11 2 由回路l中的电流I1在回路1中引起的磁通量由回路2中的电流I2在回路1中引起的磁通量22.3 自感自感 互感互感则，回路1的电动势为：11112()()iddddtdtdt 由回路l条件变化而在回路1中引

31、起的电动势由回路2条件变化而在回路1中引起的电动势11Lddt 1212ddt 自感电动势互感电动势一、一、 自感自感LIot1. 自感现象由于回路中电流变化，引起穿过回路包围面积的磁通变化，从而在回路自身中产生感生电动势的现象叫自感现象。自感电动势LARBLR ,K由叠加原理：BBdIB ImLIm令自感系数：ILm定义：某回路的自感自感，在数值上等于通有单位电流时，穿过回路的全磁通。L L与回路形状、大小、匝数与回路形状、大小、匝数及周围介质的磁导率有关。及周围介质的磁导率有关。与与 I 无关无关由毕-萨定律：2. 自感系数自感系数(1) 定义：dBIBm又(2) 物理意义由法拉第定律dd

32、()dd()ddddmLLILIILtttt若 为常数LtILLdd:L描述线圈电磁惯性的大小；基本的电器元件。I一定, 线圈阻碍 变化能力越强。L.L tIdd当 1dIdtLL 物理意义：L单位：亨利（H）愣次定律的数学表达式111HWb A常用：3611010HmHH自感自感现象的应用：现象的应用：（1）汽车点火装置（2）日光灯的镇流器日光灯镇流器的作用日光灯镇流器的作用: :日光灯点燃时日光灯点燃时产生产生大大大大高于电源电压的瞬时电压高于电源电压的瞬时电压; ;日光灯日光灯正正常常工作时使加在灯管的电压大大低于电源电压。工作时使加在灯管的电压大大低于电源电压。自感现象不利的一面： 自

33、感系数很大而电流有很强的电路（如大型电动机的定子绕组）中，在切断电路的瞬间，由于电流强度在很短的时间内发生很大的变化，会产生很高的自感电动势，使开关的闸刀和固定夹片之间的气电离而变成导体，形成电弧。这会烧坏开关，甚至危人员安全。因此，切断这段电路时必须采用特制的安全开关，逐渐增加电阻来断开电路。起动器s镇流器灯管220v:解设螺线管通有电流I，管内磁感应强度通过每匝线圈的磁通量通过整个螺线管的磁链所以螺线管的自感系数nIBnISSBlISnnlN2VnlSnIL22例例1、有一长度为有一长度为l的长直螺线管，单位长度的匝数为的长直螺线管，单位长度的匝数为n，截面积为截面积为S，其中充满磁导率为

34、，其中充满磁导率为 的磁介质。试求该螺的磁介质。试求该螺线管的自感系数。线管的自感系数。提高L的途径增大V提高n放入 值高的介质实用例例2、有一同轴电缆，内、外圆有一同轴电缆，内、外圆筒截面半径分别为筒截面半径分别为 、 ，两，两圆筒间磁介质的磁导率为圆筒间磁介质的磁导率为 ，如，如图所示，试计算该电缆单位长度图所示，试计算该电缆单位长度的自感系数。的自感系数。1R2R1R2RABDCI单位长1:解 设电缆传输的电流为I，且电流由内筒流入，外筒流出。据安培环路定理，电缆两导体圆筒间磁感应强度表达式为通过单位长度一段的磁通量，即为通过图中截面ABCD的磁通量 rIB212ln2212121RRI

35、rdrIdrBSdBRRRR因此，该电缆单位长度的自感系数12ln2RRIL总结：总结：求L的步骤(与求电容C类似)设 分布 求BIsmSBNdILm1I2I12121121IMI即21212212IMI即212121IIM的磁通量引起的通过线圈由2:121I的磁通量引起的通过线圈由1:212I12MMM2112实验、理论均证明：dtdIMdtd12121则dtdIMdtd21212定义1：两线圈的互感系数为其中一个线圈中电流为1个单位时，通过另一个线圈的磁通量。212112,2,感应电动势中产生导致线圈发生变化的磁通量通过线圈变I定义2：两线圈的互感系数为其中一个线圈中电流变化率为1个单位时

36、，在另一个线圈中产生的感应电动势。M只与两线圈的位置，形状，大小，匝数，介质有关只与两线圈的位置，形状，大小，匝数，介质有关负号表示互感电动势阻碍另一线圈中电流的变化负号表示互感电动势阻碍另一线圈中电流的变化M是两电路耦合程度的量度是两电路耦合程度的量度互感现象的应用互感现象不仅发生于绕在同一铁芯上的两个线圈之间互感现象不仅发生于绕在同一铁芯上的两个线圈之间,且可发生且可发生于于任何两个相互靠近的电路任何两个相互靠近的电路之间之间.:解1N2N1C2Cl例例1. 两个长度与横截面都相同的共轴螺线管（设长度两个长度与横截面都相同的共轴螺线管（设长度 截面截面S的线度），匝数分别为的线度），匝数分

37、别为 、 ，如图所示。，如图所示。管内介质的磁导率为管内介质的磁导率为 。求：（。求：（1）二线圈的互感系数；）二线圈的互感系数；（2）二线圈的自感系数及其与互感系数的关系。）二线圈的自感系数及其与互感系数的关系。1N2Nl，中通有电流设线圈11 ) 1 (IC的磁链引起的穿过线圈21 CI1121221IlSNNSBNlSNNIM21121lINB111 则链时，穿过线圈自身的磁通有电流当线圈 )2(11IClSINSBN121111lSNIL21111 2的自感系数同理，线圈ClSNL22221212 LLMLLMlSNNIM21121lSNIL21111两螺线管共轴，且 ：完全耦合两螺线

38、管轴相互垂直， ：不耦合 1 , 21KRR0K一般情况：21LLKM （ ）10K 耦合系数，取决于两线圈的相对位置及绕法。:KxdxbIbdxxIBdSSdBd2200ddabIxdxbIdadln2200ddabIMln20*电容C，自感L，互感M的计算原理基本一样。例例2. 如图，计算无限长直导线如图，计算无限长直导线与一矩形线圈之间的互感系数。与一矩形线圈之间的互感系数。Idabx dx:解 I为令无限长导线上的电流xIB2 0则22-3 磁场的能量磁场的能量 在电容器充电过程中，外力克服静电力作功，将非静电力能电能。当极板电压为U时，电容器储存的电能为：21122eWQUCU201122eerWwEDESd 电场的能量密度电场中单位体积内的能量 在电流激发磁场的过程中，也是要供给能量的，所以磁场也应具有能量。可以仿照研究静电场能量的方法来讨论磁场的能量kR 以自感电路为例，推导磁场能量表达式。当K接通时设：有一长为 ，横截面为S,匝数为N，自感为L的长直螺线管。电源内阻及螺线管的直流电阻不计。lSIl在I过程中，L内产生与电源电