线性规划常见题型大全

1、绝密启用前2014-2015学年度？学校8月月考卷试卷副标题考试范围：xxx;考试时间：100分钟；命题人：xxx题号-一-二二三总分得分注意事项：1 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分x01.已知实数x,y满足y0，贝Uz=4x+y的最大值为（）xy2A、10B、8C、2D、0、选择题（题型注释）【答案】B【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A（2,0）点时，z=4x+y取得最大值为8考点：线性规划xy02若不等式组2xy2，表示的平面区域是一个三角形区域，则a的取值范围是y0xya

2、()44c4A.a-B.0a1C.1aD.0a1或a333【答案】Dxy0【解析】根据2xy2画出平面区域（如图1所示），由于直线xya斜率为1,y0纵截距为a，xy0自直线xya经过原点起，向上平移，当0a1时，2xy2表示的平面区域y0xyaxy0是一个三角形区域（如图2所示）；当1a4个四边形区域（如图3所示），当a4时,34时，2xy2表示的平面区域是-3 y0xyaxy02xy2表示的平面区域是一个三角形y0xya区域（如图1所示），故选D.3已知变量x,y满足约束条件x1xy7图30则y的取值范围是（）x0Q(3D6可【解析】试题分析：画出可行域,y可理解为可行域中一点到原点的直线

3、的斜率x,可知可592,2），（）则可知k=y的范围是x加.考点：线性规划，斜率xOy上的区域D由不等式组4.（5分）（2011?广东）已知平面直角坐标系定若M（x,y）为D上的动点，点A的坐标为（近,1）,则z顽顽的最大值为（2【答案】B【解析】试题分析：首先做出可行域，将z=|?的坐标代入变为z=-,即y=-：x+z,此方程表示斜率是-的直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z有最大值.解：首先做出可行域，如图所示：z=J？g号廿乂即y=-.:-：x+z做出Io：y=-丿办，将此直线平行移动，当直线y=-"Ex+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值.因为B

4、（出，2），所以z的最大值为4故选ByAB耳iiI11iiib-h$hinij/AId1/-11%Llg：XL>hX点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示，考查数形结合思想解题.xy2>05.已知不等式组x2<0表示的平面区域的面积等于3，则a的值为（）axy2>05(A)1(B)r21(C)2(D)-2【答案】D【解析】试题分析：由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要a1,不等式组表示的2)23，解得a1，故选d.26设x.y满足约束条件3a4c?£>0，若z=的最小值为2,则a的值为(A.B.C.D.1234【答案】【解析】=1+】表示点(x,y

5、)与点(一1,-1)连线的斜率.由图知a>0,否则无可行域，且点(一1,-1)与点(3a,0)的连线斜率最小,7.已知实数，满足条件，则的最小值为(A.B.C.【答案】C【解析】试题分析：如下图可行区域为上图中的靠近x轴一侧的半圆，目标函数z0，所表示在可行x2x22,0)作半圆的切线，切线的斜率的最小值，设切线方程为y=k(x-2)，则A到切线的距离为1，故区域取一点到点(2,0)连线的斜率的最小值，可知过点(考点：1.线性规划；2.直线与圆的位置关系.8若在区间0,2中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于的概率是()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】0x21试题分析：设这

6、两个数为:x,y，则.若两数中较大的数大于一，则还应满0y22足：x-或y1(只需排除2212),作出以上不等式组表示的区域，由几何概型12的概率公式得p1考点：1、几何概型;14P选C.4 162、不等式组表示的区域请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分第II卷(非选择题)、填空题(题型注释)9若实数x,y满足线性约束条件【答案】5.xy31 ，贝Uz2xy的最大值为xy2x2【解析】xy3试题分析：作出不等式组1 表示的平面区域，即可行域，则可知直线xy2x21xy30与直线yx的交点M(2,1)，作直线l:2xy0,平移直线I，可知2当x2,y1时，zmax2215.考点：线性规划2x3

7、y110,10.已知变量x,y满足约束条件x4y80,若目标函数zxaya0的最大xy20,值为1,贝Ua.【答案】3【解析】试题分析：约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B(4,1)点是取得最大值,所以14a1，所以a3.o'考点：线性规划11.设z=kx+y，其中实数xx,y满足x2xy2y00若z的最大值为12,则实数k=【答案】2【解析】作出可行域(如图)，其中A(4,4),B(0,2),C(2,0)过原点作出直线kx+y=0k=0时，y=0,目标函数z=y在点A处取得最大值4，与题意不符11 0k即k0时，直线kx+y=0即y=kx经过一、三象限，平移直线y=22kx可知

8、，目标函数z=kx+y在点A处取得最大值，即上二罪亠4=12,此时k=2与1k0不符；211 k>即k<时，直线kx+y=0即y=kx经过一、三象限，平移直线y=kx可知，目标函数z=kx+y在点B处取得最大值，即Zmax022，此式不成立 k<0即k>0时，直线kx+y=0即y=kx经过二、四象限，平移直线y=kx可知，目标函数z=kx+y在点A处取得最大值，即Zmax4k412，此时k=2与k>0相符，所以k=20x,312.点M(x,y)是不等式组y3表示的平面区域内的一动点，且不等式x、3y2xym0总成立，则m的取值范围是.【答案】m3【解析】试题分析：

9、将不等式化为my2x，只需求出y2x的最大值即可，令zy2x,0x,3就是满足不等式y3的最大值，由简单的线性规划问题解法，可知在0,3处zx、3y取最大值3，则m取值范围是m3.考点：简单的线性规划和转化思想.y13.设变量x,y满足：x3y4则z|x3y|的最大值为【答案】8【解析】试题分析：这是如图可行域,22,表示可行域内的点到直线x3y0的距离的2倍，很显然zmax考点:1.线性规划;2点到直线的距离公式.到直线的距离最大，点A2,2,将其代入点到直线的距离公式得到xy+60,14.已知实数x,y满足x+y0,若z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a3,x3,则实数a的取值范围

10、为.【答案】1,1【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,J>I3；则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值.又kBc=1,kAB=1,1waw1,即一1waw1.15设实数满足向量，.若，则实数的最大值为.【答案】;【解析】试题分析：因为a/b，所以2xym0my2x,故根据线性规划的知识画出可行域如图，则目标函数在点（考点：向量平行线性规划1,8）处取得最大值6.16.已知点，为坐标原点，点满足【答案】【解析】,则的最大值是试题分析：作出可行域如图，uuuuuuOAOP=|OA|uuu|OP|cosAOP，uuuuuuAOP是OA,OP的夹角,uuuuuu目标函数表示OP在OA上的投

11、影，uuu过P作OA的垂线PH,垂足为H,当P在可行域内移动到直线，-3xy=0和直线x、3y2=0的交点B(1,.3)时，uuuuuuuuuuuuOP在OA上的投影OH最大，此时|OP|=|OB|=2,AOPAOB,6uuul的最大值为|OB|cosAOB=2cos=3,故答案为.6考点：简单线性规划的应用，平面向量的数量积，平面向量的投影17若实数、满足x2y22xy,则xy的最大值是.【答案】4【解析】2222试题分析：将xy2xy变形为(x1)(y1)2，表示圆心为(1,1)，半径为、2的圆。令zxy，即xyz0。由图像分析可知圆心到直线距离d2/2，解得0z4，所以xy的最大值是4。

12、考点：1线性规划、数形结合思想；2点到线的距离;18已知O为坐标原点,x4y30A(2,1),P(x,y)满足3x5y25，则pRcosAOPx10的最大值等于【答案】生？5【解析】试题分析:OPcosAOPOPOA2xy，设z.52xy,如图：做出可行域当目标函数平移到C点取得最大值，x4y30解得x3x5y250y5,C5,2，代入目标2函数zmax12,QPcosAOP的最大值为12】55考点：1.向量的数量积的坐标表示；2.线性规划.yx,x+2y4,19 .已知实数x,y满足y2,(x+1)2+(y1)2=r2,(r0)则r的最小值为【答案】.2yx,【解析】作出约束条件x+2y4,

13、表示的可行域，如图中的三角形,y-2,三角形内(包括边)到圆心的最短距离即为r的值，所以r的最小值为圆心到直线y=x的距离，所以r的最小值为,2.0x120 .已知P(x,y)满足则点Qx+y,y)构成的图形的面积为.0xy2【答案】20uv1【解析】令x+y=u,y=v,则点Qu,v)满足，在uOv平面内画出点Qu,0u2v)所构成的平面区域如图，易得其面积为2.21 .已知实数，满足约束条件则的最大值为.【答案】【解析】试题分析：解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形22ABC,(A(0,3),B(3,0),C(3,3)及其内部，而且要挖出目标函数的几何意义，本题中xy可理

14、解为坐标原点到可行域中点的距离的平方要求目标函数最大值，就是求x2y2的最小值，即坐标原点到直线xy3的距离的平方，为5(乞)2考点：线性规划求最值22 .曲线y=Sinx在点M(n,0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三x角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点，贝Ux+4y的最大值为【答案】4【解析】试题分析：Qysinxyxcosxsinx,cossin12,y|x2xx所以曲线ysinx.在点M,0处的切线方程为：1yx,即x0，它与两坐标轴所围成的三角形区域如下图所示:1z1令zx4y，将其变形为yx，当z变化时，它表示一组斜率为，在y444轴上的截距为-的

15、平行直线，并且该截距越在，z就越大，由图可知，当直线经过A0,14时，截距最大，所以Zmax=0414，故答案为：4.考点：1、导数的几何意义；23.已知实数x,y是2、求导公式；xy满足x2yy>03、线必规划.3>0“225<0,贝Vzx1y的最小值【答案】2【解析】试题分析:线性不等式组表示的可行域如图：C（1,2）。xy30x2y50xy30y0A（3,0），y0B（5,0），x2y50zx12y2表示点M(1,0)与可行域内的点间的距离的平方。MA2,MC1,点M(10)到直线xy30的距离为d缶近，因为dIMCIMA所以Zmind22。考点：线性规划。24.已知实

16、数，满足约束条件则的最大值为.【答案】【解析】试题分析：解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形22ABC,(A(0,3),B(3,0),C(3,3)及其内部，而且要挖出目标函数的几何意义，本题中xy3的距离的平方，为5(可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求x2y2的最小值，即坐标原点到直线考点：线性规划求最值x25.在平面直角坐标系中，不等式组ya，表示的平面区域的面积为4，则实数a2x的值是.【答案】2【解析】试题分析:x等价于xy2x，即直线xy20的下方和直线xy20的上方，而与直线xa围成三角形区域，当a2时，不等式组xa,表示的平面区域

17、的面积为y2x考点：不等式中的线性规划问题yx026已知实数x,y满足xy2x0,y【答案】16【解析】y试题分析：如图实数x,y满足xx4.0则zW的最大值为0x0y20满足的可行域是三角形OAB的阴影部分0,y011(-)x(2)y可化为z1(孑产y.所以求z的最大值即求出m2xy的最小值.目标函数m2xy，如图所示过点B即为m所求的最小值.因为B(-2,0)所以m=-4.1所以zmax(才416.故填16.考点：1.线性规划问题.2.指数函数的运算.评卷人得分三、解答题(题型注释)x4y327已知x,y满足约束条件3x+5y25，试求解下列问题.x1(1) z=、.、x2y2的最大值和最

18、小值；z=-的最大值和最小值；x2(3)z=|3x+4y+3|的最大值和最小值.【答案】(1)zmax=5,1Zmin=2(2)zmax=1,1Zmin=4(3)Zmax=14,Zmin=5.【解析】(1)z=,x2y2表示的几何意义是区域中的点(x,y)到原点(0,0)的距离,贝Zmax=5,Zmin=.Zmax=1,_1Zmin.2(2) z=表示区域中的点(x,y)与点(一2,0)连线的斜率，则x2（3）z=|3x+4y+3|=5|3x+4y+3|,而|3x+4y+引表示区域中的点&,y到直线5 53x+4y+3=0的距离，则Zmax=14,Zmin=528设x,y满足约束条件，（1）画出不等式表示的平面区域，并求该平面区域的面积；12（2）若目标函数z=ax+by（a>0,b>0）的最大值为4,求的最小值.a3b【答案】（1）10；（2）4【解析】试题分析：（1）如图先在直角坐标系中画出各直线方程，再用特殊点代入法判断各不等式表示的平面区域，其公共部分即为不等式组表示的平面区域，用分割法即可求出其面积。（2）画出目标函数线，平移使其经过可行域当目标函数线的纵截距最大时，Z取得最