绝对值(基础)知识讲解

1、绝对值(基础)【学习目标】1掌握一个数的绝对值的求法和性质；2进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3. 会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：(1)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数;的绝对值是0.即对于任何有理数a都有：a(a0)|a|0(a0)a(a0)(2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距

2、离越近，绝对值越小.(3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.2. 性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0.要点二、有理数的大小比较1. 数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.女口：a与b在数轴上的位置如图所示，则avb.-_2. 法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下:两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数数为0正数与0:正数大于0负数与0:负数小于0要点诠释：禾U用绝对值比较两个负数的大小的步骤：(1)分别计算两数的绝对值；(2)比较绝对值的大小；(3)判定两数的大小.3. 作差法：设

3、a、b为任意数，若a-b0，则ab;若a-b=0,则a=b;若a-bv0,avb；反之成立.aaa4. 求商法：设a、b为任意正数，若一1，则ab；若1，则ab；若一1，则ab；bbb反之也成立.若a、b为任意负数，则与上述结论相反.5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念1.求下列各数的绝对值.11,-0.3,0,21【思路点拨】1-,-0.3,0,213丄在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字2就是各数的绝对值还可以用绝对值法则来求解.【答案与解析】11解法一：因为1-到原点距离是1-个单位长度，所以22112112因为-0.3到原点

4、距离是0.3个单位长度，所以卜0.3|=0.3.因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|=0.因为13丄到原点的距离是2131个单位长度，所以232解法二：因为11-0,所以211112112因为-0.3V0,所以卜0.3|=-（-0.3）=0.3.因为0的绝对值是它本身，所以I0|=0.因为1310，所以231【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解（如方法1）,一种是利用绝对值的代数意义求解（如方法2），后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是0再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0.从而求出该数的绝对值.2.

5、已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是.【答案】2009或-2009【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是2009的点有两个，从原点向左侧移动2009个单位长度，得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度，得到表示数2009的点.【总结升华】已知绝对值求原数的方法：（1）利用概念；（2）利用数形结合法在数轴上表示出来.无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数举一反三：【变式1】求绝对值不大于3的所有整数.【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3.【高清课堂：绝对值比大小356845典型例题3】【变式2】如果丨x|=

6、2,那么x=;如果丨一x|=2,那么x=如果|X2|=1,那么x=;如果|x|3,那么x的范围是.【答案】2或-2；2或-2；1或3；x3或x；=;0即绝对值的非负性可知，丨2-m|0,丨n-3|0，而它们的和为0.所以|2-m|=0,|n-3|=0.因此，2-m=0,n-3=0，所以m=2,n=3.【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|=0且|2-m|0,|n-3|0所以|2-m|=0,|n-3|=0即2-m=0,n-3=0所以m=2,n=3故m-2n=2-2X3=-4.【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0，即|a|+|b|+|m|=0时，贝Ua=b=m=0.类型四、绝对

7、值的实际应用5. 正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数.检测结果（单位：克）：-25,+10,-20,+30,+15,-40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢？请说明理由.【答案】因为|+10|v|+15|v|-20|v|-25|v|+30|-40|,所以检测结果为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好.这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大.【点评】绝对值越小

8、，越接近标准.举一反三：【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有0.002L的误差.现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数.检查结果如下表：+0.0018-0.0023+0.0025-0.0015+0.0012+0.0010请用绝对值知识说明：（1）哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）？（2）哪一瓶净含量最接近规定的净含量？【答案】（1）绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018,-0.0015,+0.0012,+0.0010的这四瓶.（2）第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量.【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程（单位：cm）依次记为：+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10，在爬行过程中，