考研数学一真题和答案及解析

1、2017年考研数学一真题及答案解析跨考教育数学教研室一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上1-COsTXc（i）若函数f（x）=0在x=o处连续，则（）bX兰o【答案】A【解析】limcosx=|计ax0十ax11亦,；。）在“。处连续.务（2）设函数f（x）可导，且f（x）f（x）0，贝U（）【答案】C【解析】；f（x）f（x）0,f（x）0（1）或f（x）：0（2），只有C选项满足（1）且满足，.f（x）0f（x）：0所以选Co（3）函数f（x,y,z）=x2yz2在点（1,2,0）处沿向量u

2、二1,2,2的方向导数为（）析赁乂ugradfi.:u|【答案】D2gradf=xyxzngradf(=2选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m处，图中实线表示甲的速度曲线v=V|（t）（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v=V2（t），三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（）【答案】Btt、【解析】从0到t。这段时间内甲乙的位移分别为0V1（t）dt,J0V2（t）dt,则乙要追上甲，则t。rJ0V2（t）V1（t）dt=10，当t=25时满足，故选C.（5）设：是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）【答案

3、】A【解析】选项A,由（E-。厂）口-。=0得（E-goT）x=0有非零解，故E-ooT=0。即E-?T不可逆。选项B,由r(用=1得、1J的特征值为n-1个0，1.故E亠卅用T的特征值为n-1个1,2.故可逆。其它选项类似理解。(6)设矩阵A=21,B=01.01,C=0【010,则（）2【答案】B【解析】由(，E-A)=0可知A的特征值为2,2,1因为3-r(2E-A)J,：A可相似对角化，且A广10e002由hE-B=0可知B特征值为2,2,1.因为3-r(2E-B)=2,：B不可相似对角化，显然C可相似对角化，AC，且B不相似于C(7) 设A,B为随机概率，若0P(A):1,0：P(B

4、):1，则P(AB)P(AB)的充分必要条件是()【答案】A【解析】按照条件概率定义展开，则A选项符合题意。-1n(8) 设XX2Xn(n_2)为来自总体N(=1)的简单随机样本，记XXx，则下列结nim论中不正确的是()【答案】B【解析】由于找不正确的结论，故B符合题意。二、填空题：9：14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸.指定位置上.(9) 已知函数f(x)=，贝Uf(0)=1+x【答案】f(0)6【解析】(10) 微分方程y+2y+3y=0的通解为y=【答案】yreGcos、.2xc2sin2x)，(q,c2为任意常数)【解析】齐次特征方程为，22飞二0二】,21，2i故通

5、解为e(c1cos-、2xc2sin，2x)(11) 若曲线积分xfx-aydy在区域D(x,y)|x2y2d内与路径无关，则Lx+y-1【答案】a=1【解析】cP-2xycQ:y(x2y2-1)2；:x=占条，由积分与路径无关知;:P：:y(12) 幕级数h(-1严nxnJL在区间(-1,1)内的和函数S(x)=n二【答案】s(x)=1(1+x)【解析】二(-1)2nxndn4iv-1)nJxn,nd1(1x)210(13)设矩阵A=111112,ssg为线性无关的3维列向量组，则向量组A(1,At2,A(3的秩为【答案】2【解析】由冷，2,3线性无关，可知矩阵1,2，3可逆，故rA1,A2

6、,A3=rAi：.,：2,：3=rA再由rA=2得rA1,A2,A3=2x4(14)设随机变量X的分布函数为F(x)=0.5：(x)0.5：(二一)，其中门(x)为标准正态分布函数，贝UEX=【答案】205x4-be05x4【解析】F(x)=0.5(X)号4)，故EX=0.5一x(x)dx于。于)dxx(x)dx=EX=0。令二t，则2beX4-be-be.x()dx=2._42t(t)dt=814._(t)dt=8因此E(X)=2.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数f(u,v)具有2阶连

7、续偏导数,y=f(ex,cosx)，x=0x-0(1心=fn(1,1),Xz0【解析】结论：(16)(本题满分nkI八10分)求lim、pin1-nk4n(nJ【答案】14【解析】(17)(本题满分10分)已知函数y(x)由方程x3y-3x，3y-2=0确定，求y(x)的极值【答案】极大值为y(i)=1,极小值为y(-i)=o【解析】两边求导得:3x23y2y-33y=0(1)对(1)式两边关于x求导得226x6yy3y2y3y=0将x=_1代入原题给的等式中，得xory二1y=0将x=1,y=1代入(2)得y“(1)=1：0将x=-1,y=0代入(2)得y”(-1)=20故x=1为极大值点，

8、y(1)=1；x-1为极小值点，y(-1)=0(18) (本题满分10分)设函数f(x)在区间0,1上具有2阶导数，且f(1).0,1计凹：0,证明:Tx()方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根;2(二)方程f(x)f(x)(f(x)=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。【答案】【解析】(I)f(x)二阶导数，f(1)0,lim也：0x解：1)由于lim他：0,根据极限的保号性得xTx、0,-x(0,、J有少：0,即f(x)：0x进而Xo(0,、J有f0又由于f(x)二阶可导，所以f(x)在0,1上必连续那么f(x)在.,1上连续，由f(J：0,f(1).0根据零点定理得：

9、至少存在一点二(、,1)，使f()=0,即得证(II)由(1)可知f(0)=0，王E(0,1),使f(S=0，令F(x)=f()f(x，则f0=f)2由罗尔定理“一-(0,),使f()=0，贝UF(0)=F()=F)=0,对F(x)在(0,),(,)分别使用罗尔定理：(0,),(,)且1,2,(0,1),2，使得F(1)=F(2)=0,即卩2F(x)=f(x)f(x)+(f(x)=0在(0,1)至少有两个不同实根。得证。(19) (本题满分10分)设薄片型物体S是圆锥面z二_x(20) (本题满分11分)设3阶矩阵A二r,:2,：-3有3个不同的特征值，且3=：22()证明r(A)=2.(二)

10、若-*2叱3，求方程组AX=?的通解y2被柱面z2=2x割下的有限部分，其上任一点的密度为二=9；x2y2z2。记圆锥面与柱面的交线为C()求C在xOy平面上的投影曲线的方程；(二)求S的M质量。【答案】64【解析】z=jx2+y2(1) 由题设条件知，C的方程为y=x2y2=2xz2=2x则C在xoy平面的方程为阳r2丄2x+yz=0=2x【答案】(I)略；(II)通解为k(1、r2+1I,kR【解析】(I)证明：由:3=：12*2可得：122-：3=0，即：1,：2,线性相关,因此，A=0,即A的特征值必有0。又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0,另外两个非0.仏且由于A必

11、可相似对角化，则可设其对角矩阵为A=人2，人式人2式0Ir(A)=r(一1)=2(II)由(1)r(A)=2，知3-r(A)=1，即Ax=0的基础解系只有1个解向量,1、由十2口2_3=0可得(,口2,口3)2=A2=0，则Ax=0的基础解系为2，厂1厂1由于f（Xi,X2,X3）=XTAX经正交变换后，得到的标准形为_2_21y1，2y2故r(A)=2=|A|=21-41-11-41将a=2代入，满足r（A）=2，因此a=2符合题意，此时-2-14-1：:1-14-1-2=0=_3,九2=,*3=6,由（-3E-A）x=，可得A的属于特征值-3的特征向量为由（6E-A）x=0，可得A的属于特

12、征值6的特征向量为-2-由（OE-A）x=O，可得A的属于特征值的特征向量为：3令P=:“二宀，则P4AP二1T桂1T1一31,1，22_1，1，则Q=：1：2：3二13_1_3131：21壽2恵1-6（22）（本题满分11P(X=)=P(X二2专，21-41-11121-11-41，则，由于123彼此正交，故只需单位化即可:-36设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为_L2y，：y：1Y的概率密度为f（y,其他当z_O,Fz（z）二P（zXjz）二P（.二一zXj乞一z）=Fx（；z）F（.二一z）0：z：1所以fz(Z)JFz(Z)；_20：z:12z3()求P(丫乞EY)（二）求Z=

13、XY的概率密度。4z,【答案】(I)p丫日专(II)fz(Z)z_2,23【解析】（1）当z：0,z_2：0，而z：0，则FZ（Z）=O(2) 当z2_1,z.1,即z_3时，Fz(Z)=1(3) 当0乞z：1时，Fz(Z-z221(4) 当1岂z：2时，Fz(Z)二一2(5) 当2空z：3时，Fz(Zz_31(2)222gzco12一z2,0兰zv12i1所以综上Fz(Z)二丄,1乞z：22112_+_(z_2)2,2z322（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果XX2Xn相互独立且均服从正态分布N（巴坊2）。该工程师记录的是n次测量的绝对误差乙=|Xj-円（i=1,2厂n）利用Z1Z2Zn估计二（）求Zi的概率密度;（二）利用一阶矩求二的矩估计量【答案】【解析】（DFz（z）=P（Zi兰z）=P（Xj円兰z）当z：0,Fz=0当