多元函数微分法及其应用教案

1、第九章多元函数微分法及其应用【教学目标与要求】1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性。4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、掌握多元复合函数偏导数的求法。6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、了解二元函数的二阶泰勒公式。9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充

2、分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。【教学重点】1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法；6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；【教学难点】1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法，多兀函数的最大值和最小值。【教学课时分配】（18学时）第1次课§

3、;1第2次课§2第3次课§3第4次课§4第5次课§5第6次课§6第7次课t【参考书】37第8次课§8第9次课习题课1同济大学数学系.高等数学（下），第五版.高等教育出版社2同济大学数学系.高等数学学习辅导与习题选解，第六版.高等教育出版社3同济大学数学系.高等数学习题全解指南（下），第六版.高等教育出版社§91多元函数的基本概念、平面点集n维空间1.区域由平面解析几何知道当在平面上引入了一个直角坐标系后平面上的点P与有序二元实数组(xy)之间就建立了一一对应于是我们常把有序实数组(xy)与平面上的点P视作是等同的这种建立了坐

4、标系的平面称为坐标平面二元的序实数组(xy)的全体即R2RR(xy)|xyR就表示坐标平面坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作E(xy)|(xy)具有性质P例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C(xy)|x2y2r2如果我们以点P表示(xy)以|OP|表示点P到原点O的距离那么集合C可表成CP|OP|r邻域设P0(x0y0)是xOy平面上的一个点是某一正数与点Pb(x0y0)距离小于的点P(xy)的全体称为点P0的邻域记为U(P0即U(P。，)P|PP0|或U(P0,)(x,y)|J(x灿2(yy。)2)邻域的几何意义U(P0)表示xOy平面上以点P0(x0y0)

5、为中心、>0为半径的圆的内部的点P(xy)的全体点P0的去心邻域记作U(P0,)即U(P0,)P|0|PqP|注如果不需要强调邻域的半径则用U(P0)表示点P0的某个邻域点P0的去心邻域记作U(pq)点与点集之间的关系任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种(1)内点如果存在点P的某一邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的内点(2)外点如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的外点(3)边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点则称P点为E的边点E的边界点的全体称为E的边界记作EE的内点必属于EE的外点必定不属于E而E的边界点可能属于E也

6、可能不属于E聚点如果对于任意给定的0点P的去心邻域U(P,)内总有E中的点则称P是E的聚点由聚点的定义可知点集E的聚点P本身可以属于E也可能不属于E例如设平面点集E(xy)|1x2y22满足1x2y22的一切点(xy)都是E的内点满足x2y21的一切点(xy)都是E的边界点它们都不属于E满足x2y22的一切点(xy)也是E的边界点它们都属于E点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点开集如果点集E的点都是内点则称E为开集闭集如果点集的余集Ec为开集则称E为闭集开集的例子E(xy)|1<x2y2<2闭集的例子E(xy)|1x2y22集合(xy)|1x2y22既非开集也非闭集连通性如果

7、点集E内任何两点都可用折线连结起来且该折线上的点都属于E则称E为连通集区域(或开区域)连通的开集称为区域或开区域例如E(xy)|1x2y22闭区域y)|1x2y2有界集开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域2(x其中无界集例如；集合(xy)|2n维空间对于平面点集EO是坐标原点E如果存在某一正数r使得U(Or)则称E为有界点集一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集集合(xy)|1x2y22是有界闭区域集合(xxy1是无界闭区域y)|xy1是无界开区域设n为取定的一个自然数构成的集合即RnRR我们用Rn表示n元有序数组(x1R(x1x2x2xn)|xi刈)的全体所nRn中的元素(x1x2

8、xn)当所有的x(i1或O在解析几何中xn)有时也用单个字母x来表示2通过直角坐标n)都为零时称这样的元素为(x1x2Rn中的零元记为0R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向特别地Rn中的零元0称为Rn中的立一一对应因而Rn中的元素x(x1x2量为称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量坐标原点或n维零向量多元函数概念例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系Vr2h这里当r、h在集合(rh)|r>0h>0内取定一对值(rh)时V对应的值就随之确定例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系其中R为

9、常数这里值就随之确定RTV当V、T在集合(VT)|V>0T>0内取定一对值(VT)时p的对应定义1设D是R2的一个非空子集称映射fDR为定义在D上的二元函数通常记为zf(xy)(xy)D(或zf(P)PD)其中点集D称为该函数的定义域xy称为自变量z称为因变量上述定义中与自变量x、y的一对值(xy)相对应的因变量z的值也称为f在点(xy)处的函数值记作f(xy)即zf(xy)值域f(D)z|zf(xy)(xy)D函数的其它符号zz(xy)zg(xy)等类似地可定义三元函数uf(xyz)(xyz)D以及三元以上的函数般地把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D映射fDR就称为

10、定义在D上的n元函数通常记为Uf(x1x2或简记为Uf(x)x(Xix2也可记为Xn)(X1X2Xn)DXn)DUf(P)P(X1X2Xn)Duf(x)时就以使这个算因而对这类函数它关于函数定义域的约定在一般地讨论用算式表达的多元函数式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域的定义域不再特别标出例如函数zln(xy)的定义域为(xy)|xy>0(无界开区域)函数zarcsin(x2y2)的定义域为(xy)|x2y21(有界闭区域)二元函数的图形点集(xyz)|zf(xy)(xy)D称为二元函数zf(xy)的图形二元函数的图形是一张曲面与一元函数的极限概念类似无限接近于一个

11、确定的常数A定义2:设二元函数f(P)如果在P(xy)则称A是函数f(xf(xy)的定义域为三多元函数的极限Po(X0y0)的过程中对应的函数值f(xy)y)当(xy)(xoy。)时的极限DP0(x0y。)是D的聚点如果存在常数A对于任意给定的正数总存在正数使得当P(x,y)DU(P。，)时都有成立|f(P)A|f(xy)A|则称常数A为函数f(xy)当(xy)(X0y。)时的极限记为lim(x,y)(xo,y。)f(x,y)或f(xy)A(xy)(xoy。)也记作limf(P)A或f(P)A(PP。)PP)上述定义的极限也称为二重极限例4.设f(x,y)(x2y2)sin212求证limf(

12、x,y)0xy(x,y)(0,0)证因为|f(x,y)0|(x2y2)sin-2-1-20|x2y2|sin-2-1-2|x2y2xyxy可见>0取I则当0J(x0)2(y0)2即P(x,y)DU(O,)时总有|f(xy)0|因此limf(x,y)0(x,y)(0,0)必须注意(1)二重极限存在是指P以任何方式趋于P0时函数都无限接近于A(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时函数趋于不同的值则函数的极限不存在讨论xyx2v2022xy0函数f(x,y)xy在点(00)有无极限0x2y20提示当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时limf(x,y)limf(x,0)lim00(x,y)(0,

13、0)x0x0当点P(xy)沿y轴趋于点(00)时limf(x,y)limf(0,y)lim00(x,y)(0,0)y0y0当点P(xy)沿直线ykx有一xy一kx2klim-2lim2-2(x,y)(0,0)x2yx0x2k2x21k2ykx因此函数f(xy)在(00)处无极限极限概念的推广多元函数的极限多元函数的极限运算法则与一元函数的情况类似sin(xy)例5求lim一口(x,y)(0,2)xlim(x,y)(0,2)sin(xy)sin(xy).sin(xy).“cclimy-1ylim-limy122(x,y)(Q2)xy(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)四多元函数的连续性定

14、义3设二元函数f(P)f(xy)的定义域为DPo(x0y0)为D的聚点且BD如果limf(x,y)f(xo,yo)(x,y)(xo,y。)则称函数f(xy)在点Po(xoyo)连续如果函数f(xy)在D的每一点都连续y)是D上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到那么就称函数f(xn元函数f(P)上去y)在D上连续或者称f(x例6设f(x,y)sinx证明f(xy)是R2上的连续函数0当|xxo|时证设P0(xoyo)R20由于sinx在xo处连续故有|sinxsinxo|)则当P(xy)U(P0)时显然以上述作Po的邻域U(P0|f(xy)f(x0y0)|sinxsinx0|sinx作

15、为xy的二元函数在R2上即f(xy)sinx在点P°(x0y°)连续由P0的任意性知连续类似的讨论可知一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时它们在各自的定义域内都是连续的y0)不连续则称例如函数f(x,y)其定义域DR2定义4设函数f(xy)的定义域为DP0(x0y0)是D的聚点如果函数f(xy)在点P°(x0>0(x0y0)为函数f(xy)的间断点xyx2v20x2y2xy00x2y20O(00)是D的聚点f(xy)当(xy)(00)时的极限不存在所以点O(00)是该函数的一个间断点1又如函数zsin22其7H义域为D(xy)|x2y21圆周C

16、(xxy1y)|x2y21上的点都是D的聚点而f(xy)在C上没有定义当然f(xy)在C上各点都不连续所以圆周C上各点都是该函数的间断点注间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明多元连续函数的和、差、积仍为连续函数连续函数的商在分母不为零处仍连续多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数与一元初等函数类似多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的例如xx22y2sin(xy)ex2y2z2都是多元初等函数1y2一切多元初等函数在其定义区域内是连续的或闭区域所谓定义区域是指包含在定义域内的区域例7求

17、lim-(x,y)(1,2)xy且Po是f(P)的定义域的内点则f(P)一般地求limf(P)时如果f(P)是初等函数PPo在点Po处连续于是limpf(P)f(P3)PP0例8求lim、xy1(x,y)(o,o)xy五、多元连续函数的性质性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上有界且能取得它的最大值和最小值性质1就是说若f(P)在有界闭区域D上连续则必定存在常数MO使得对一切PD有|f(P)|M且存在R、P2D使得f(P1)maxf(P)|PDf(P2)minf(P)|PD性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值小

18、结1 .区域的概念；2 .多元函数的定义；3 .多元函数的极限及其求解；4 .多元函数的连续性。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意区域的定义和多元函数的定义，多元函数的极限和连续性的理解是本节的重点，要结合实例，反复讲解。师生活动设计课后习题：7,8,9讲课提纲、板书设计作业P63：5(2)(4)(6),6(2)(3)(5)(6)§92偏导数、偏导数的定义及其计算法对于二元函数zf(xy)如果只有自变量x变化而自变量y固定这时它就是x的一元函数这函数对x的导数就称为二元函数zf(xy)对于x的偏导数定义设函数zf(xy)在点(x0y0)的某一邻域内有定义当y固定在y0

19、而x在x0处有增量x时相应地函数有增量f(x0xy0)f(x0y0)如果极限存在则称此极限为函数zf(xxxxyy0例如类似地函数记作x0y。偏导函数这个偏导数就是偏导函数的定义式lxm0f(x0x,y0)f(x0,y0)y)在点(x0xx0yy0xyo)处对x的偏导数记作zxXx0yNo或fx(M,y0)fx(x0,y°)limfx0x0xy°)f(x0,y0)xf(xy)在点(x0y0)处对y的偏导数定义为limy0f(x0,y0y)f(x0,y0)x0y0yxx0yy0或fy(x0y0)如果函数x、y的函数f(xy)在区域D内每一点(xy)处对x的偏导数都存在它就称为

20、函数zzx那么f(xy)对自变量x的偏导函数记作fx(x,y)limx0xf(xx,y)或fx(x,y)f(x,y)类似地可定义函数zf(xy)对y的偏导函数记为zy或fy(x,y)偏导函数的定义式fy(x,y)limy0f(x,yy)f(x,y)讨论下列求偏导数的方法是否正确fx(x0,y0)fx(x,y)xxoyy。fy(x0，y。)fy(x,y)xx。yy。z)_PRTVV2VRTpTV下R所以上工VTpRTRVV2pRRT1pV例5说明的问题偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商二元函数zf(xy)在点(x0y0)的偏导数的几何意义fx(x0y0)f(xfy(x0y0)f(x0

21、偏导数与连续性y0)x是截线zf(xy)y是截线zf(x0对于多元函数来说y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率y)在点M0处切线T/对y轴的斜率即使各偏导数在某点都存在也不能保证函数在fx(x0,y0)-df(x,y0)xx0fy(x0,V0)"df(x0，y)yyouxy偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(xyz)在点(xy处对x的偏导数定义为f(xx,y,z)f(x,y,z)fx(x,y,z)lim-x0x其中(xyz)是函数uf(xyz)的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例1求zx23xyy2在点(12)处的偏导数例2求zx2sin2y的偏导

22、数例3设zxy(x0,x1)求证z2zyxInxy例4求rJx2y2z2的偏导数例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)求证_p_V二1VTp证因为pRTVRTP一该点连续例如f(x,y)xy22xy0x2y2在点(00)有fx(00)提示fy(00)但函数在点(00)并不连续f(x,0)0f(Qy)fx(0,0)5"仅，0)当点P(xy)沿x轴趋于点fy(0,0)加。y)0(00)时limf(x,y)(x,y)(0,0)limf(x,0)x0xim000当点P(xy)沿直线kx趋于点(00)时有.xylim22(x,y)(0,0)x2y2ykxlim丁x0x2kx2k2x

23、2k1k2因此limf(x,y)不存在故函数f(xy)在(00)处不连续(x,y)(0,0)类似地可定义函数zf(xy)对y的偏导函数记为偏导函数的定义式Zy或fy(x,y)fy(x,y)limy0f(x,yy)f(x,y)高阶偏导数设函数zf(xy)在区域D内具有偏导数千fx(xy)弋fy(x,y)xy那么在D内fx(xy)、fy(xy)都是xy的函数如果这两个函数的偏导数也存在则称它们是函数zf(xy)的二偏导数按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数zf(xy)在区域D内的偏导数fx(xy)、fy(xy)也具有偏导数则它们的偏导数称为函数zf(xy)的二阶偏导数按照对变量求导

24、次序的不同有下列四个二阶偏导数_2_2_q（q）胃饭（xy）-（-）不fxy（x，y）yxfyx(x,y)(-)2zy2fyy(X,y)其中？q）言fxy（X，y）-()-zfyx(x,y)称为混合偏导数xyyxx2z2zxy2zyx2z2y同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例6设zx3y23xy3xyi求一fx23zx32zz和yx2zxy由例6观察到的问题2z定理如果函数zf（xy）的两个二阶混合偏导数22一乙及一区在区域D内连续那么在yxxy该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7验证函数zlnjx2y2满足方程证因

25、为z1ndx2y211n(x2y2)所以zxxx2y2zy22yx2y22z(x2y2)x2xy2x2x2(x2y2)2(x2y2)2三(x2y2)y2yx2y2y2(x2y2)2(x2y2)2222222因此2z2zxyyx2-2T22T2T22T2xy(xy)(xy)一、ri,1-、一例8.证明函数u1满足方程r2ux22uy22uz2其中rx2y2z2u1r1xx3xr2xr2rr3同理因此2ux2提示2ux22u2uy22ux21r33xr7G3y21r32uz23x21r33z23u(2场)(工空)(工空)2(r3r5)(r3r5)(r3r5'zrrrrrr3r3r33(x2

26、y2z2)r53r33r2百0x(x-(r3)xr6r3x3r2xr6小结1 .偏导数的概念及有关结论：定义，记号，几何意义，偏导数的存在与连续性；2 .偏导数的计算方法：求导的先后顺序。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意偏导数的定义以及偏导数的求法，特别是求导先后顺序问题是本节的重点，要结合实例，反复讲解。师生活动设计x1.设zf(u),方程u(u)yp(t)dt确定u是x,y的函数，其中f(u),(u)可微,p(t),(u)连续，且(u)1,求p(y)-zp(x)。xy2.课后习题：5,6讲课提纲、板书设计作业P69:1(4)(6)(8),4,6(3),8§93全

27、微分及其应用、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系偏增量与偏微分f(xxy)f(xyy)全增量f(xf(xf(xf(xxy)f(xy)fx(xy)为函数对x的偏增量yy)f(xy)fy(xy)为函数)对y的偏增量zf(x计算全增量比较复杂xyy)我们希望用y)fx(xy)y)x为函数对x的偏微分fy(xy)y为函数对y的偏微分f(xy)x、y的线性函数来近似代替之定义如果函数zf(xy)在点(xy)的全增量f(xy)f(xy)可表不为其中A、B不依赖于x、称AxBy为函数zy而仅与x、f(xy)在点(xo()(y有关.(x)2(y)2)则称函数zf(xy)在点(xy)可微分而y)的

28、全微分记作dz即dzAx如果函数在区域D内各点处都可微分By那么称这函数在D内可微分可微与连续可微必连续但偏导数存在不一定连续从而这是因为lim0如果zf(xy)在点(xy)可微f(xy)f(xy)axByo()lim(x,y)(0,0)f(xx,yy)|imJf(x,y)zlf(x,y)因此函数zf(xy)在点(xy)处连续定理1(必要条件)如果函数zf(xy)在点(xy)可微分则函数在该点的偏导数z、z必定存在且函xy数zf(xy)在点(xy)的全微分为dzxx证设函数zf(xy)在点P(xy)可微分是对于点的某个邻域内的任意一点p(xxyy)o()特别当y0时有f(x上式两边各除以y)f

29、(xy)axo(|再令x0而取极限x|)就得lim及x0x,y)f(x,y)x从而偏导数二存在x且-zAx同理可证偏导数且一zBy所以dzx简要证明别当y0时有设函数zf(x-yyy)在点(xy)可微分于是有Byo()特上式两边各除以f(xx再令y)f(x而取极限y)Axo(|x|)就得limx0f(xx,y)及以limAx0从而一z存在x且一AA同理一z存在xy且一zB所以ydzz存在是可微分的必要条件y但不是充分条件例如xyx2y200)处虽然有fx(00)0及fy(00)xfy(00)y不是较高阶的无函数f(x,y)Jx2y2在点(00x2y200)0但函数在(00)不可微分即Zfx(0

30、穷小Zfx(0,0)xfy(0,0)y这是因为当(xy)沿直线yx趋于(00)时xyxx(x)2(y)2(x)2(x)2定理2(充分条件)如果函数zf(xy)的偏导数卫、卫在点(xy)连续则函数在该点可微分xy定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数按着习惯x、y分别记作dx、dy并分别称为自变量的微分则函数zf(xy)的全微分可写作,Z.Z.dzdxdyxy二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理也适用于二元以上的函数例如函数uf(xyz)的全微分为,u.u,u.dudxdydzxyz例1计算函数zx2yy2的全微分例2计算函数zexy在点(2

31、1)处的全微分例3计算函数uxsin-yeyz的全微分小结1 .全微分的定义；2 .可微、可导、连续性之间的关系。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意全微分的定义，可微、可导、连续性之间的关系是本节的重点，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1.函数zf(x,y)在(x0,yO)可微的充分条件是()(A)f(x,y)在(x0,y°)连续；(B)fx(x,y),fy(x,y)在(x0有0()<0,y0)的某领域内存在;(C)zfx(x,y)xfy(x,y)y当%：(x)2(y)20时是无穷小量;zfx(x,y)xfy(x，y)y22(D)J22当加x)2(y)20(x

32、)2(y)22.课后习题：5讲课提纲、板书设计作业P75：1(1)(3),3时是无穷小量§94多元复合函数的求导法则设zf(uv)而u(t)v(t)如何求"dzdt设zf(uv)而u(xy)v(xy)如何求一z和一zxy1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1如果函数u(t)及v都在点t可导函数zf(uv)在对应点(u续偏导数则复合函数zf(t)(t)在点t可导且有dzzduzdvdtudtvdt简要证明1因为zf(uv)具有连续的偏导数所以它是可微的即有v)具有连,z.z.dzdudvuv又因为u及v(t)都可导因而可微即有,dudv.dudtdvdtdtdt代入上

33、式得dzzduudtdtzdv.dtvdtzduudtzdvvdt)dt从而dzzdtu简要证明2duzdvdtvdt当t取得增量t时u、v及z相应地也取得增量u、v及z由zf(uv)、u(t)及v的可微性z7uvo(v有、zrduzrdv.)to(t)to(t)o(udtvdt(4jdudt力第t64o(t)o()duudtdvdt上式两边取极限(-u即得_Z)0(t)o()dzzduzdvdtudtvdt注行oO|im"、(u)2(v)20；(du)2(dv)20t0tt0t.dtdt推广设zf(uvw)u(t)v(t)w(t)则zf(t)(t)(t)对t的导数为dzzduzdv

34、zdwdtudtvdtwdt上述dz称为全导数dt2复合函数的中间变量均为多元函数的情形z.zuzvzzuz_vxuxvxyuyvy推广设zf(uvw)u(xy)v(xy)w(xy)z_zuzvzwzzuzvzwxuxvxwxyuyvywy定理2如果函数u(xy)vzf(uv)在对应点(uv)具有连续偏导数的两个偏导数存在且有(xy)都在点(xy)具有对x及y的偏导数函数则复合函数zf(xy)(xy)在点(xy)讨论设zf(uv)u(xy)v(y)则一z-zxy则提示zzuzdvyuyvdy(2)设zf(uxy)提示这里3与上是不同的xx且u(xy)则一zzxyf_zLufxyuyy工是把复合

35、函数zf(xy)xf是把f(uxy)中的u及y看作不变而对x的偏导数xy中的y看作不变而对x的偏导二与_L也朋类似的区别yy3.复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形函数v(y)在点y可则复合函数zf(xy)(y)在点定理3如果函数u(xy)在点(xy)具有对x及对y的偏导数导函数zf(uv)在对应点(uv)具有连续偏导数(xy)的两个偏导数存在且有z_z_u_z_z_uxuxyuy例1设zeusinvuxyvx222例2设uf(x,y,z)ey例3设zuvsint而uet例4设wf(xyzxyz)fzdvvdyy求一z和一zxy而zx2siny求一u和一uxyvcost求全导数孚d

36、t2a/I二阶连续偏导数求-w及wxxz例5设uf(xy)的所有二阶偏导数连续把下列表达式转换成极坐标系中的形式()2xy)22(2)2x2uy2解由直角坐标与极坐标间的关系式得0)uf(xy)f(cos0sin0)F(其中xcos0ysin0,yarctan-x应用复合函数求导法则得uyu-cosuysinusinucos两式平方后相加得再求二阶偏导数同理可得两式相加U)22ux22uy22ux2全微分形式不变性设zf(u(十2(/u(cos(cos22cos22!1)2usin、)cosusin)sin2.2usincosu2sincosusin2u2sin2uy2cos22u1222us

37、in2usincosv)具有连续偏导数dz如果zf(uv)具有连续偏导数,z.dzdxx2ucosu)则有全微分zdudvuv而u(xy)vdyy2ucos22(xy)也具有连续偏导数则T'C)dx(二'N)dyuxvxuyvy二(、dxdy)二(dx$dy)uxyvxydudvuv由此可见无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数它的全微分形式是一样的这个性质叫做全微分形式不变性例6设zeusinvuxyvxy利用全微分形式不变性求全微分解dzduzdveusinvdueucosvdvuveusinv(ydxxdy)eucosv(dxdy)(yeusinveucosv)

38、dx(xeusinveucosv)dyexyysin(xy)cos(xy)dxexyxsin(xy)cos仅y)dy小结1 .复合函数求导的链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导”；2 .全微分形式不变性。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意复合函数求导的链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导”，全微分形式不变性，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1 .已知f(x,y)1yx21,fi(x,y)|yx22x,求f2(x,y)|y*22 .设函数zf(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)1,上|(i,i)2,f|(1,1)3,xy(x)f(x,f(x,x

39、),求-d-3(x)|x1dx讲课提纲、板书设计作业P82:2,4,6,9,10§95隐函数的求导法则、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F(xy)在点P(x0y0)的某一邻域内具有连续偏导数F(x0y0)0Fy(x0y0)0则方程F(xy)0在点(x0y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x)它满足条件V。f(x0)并有dyFxdxFy求导公式证明将yf(x)代入F(xy)0得恒等式F(xf(x)0等式两边对x求导得上上以0xydx由于Fy连续且Fy(x0y0)0所以存在(x0y0)的一个邻域在这个邻域同Fy0于是得dyFxdxFy例1验证方程x2y21

40、0在点(01)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值解设F(xy)x2y21则Fx2xFy2yF(01)0Fy(01)20因此由定理1可知方程x2y210在点(01)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)dyFxxdy0dxFyydx*0d2yyxydx2y2yx(y)y2x2工y2y3y3隐函数存在定理还可以推广到多元函数一个二元方程F(xy)0可以确定一个一元隐函一个三元方程F(xyz)0可以确定一个二元隐函数隐函数存在定理2且F(xoyo设函数F(xyz)在点P(x0yozo)的某一邻域内具有

41、连续的偏导数zo)0Fz(xoyozo)0则方程F(xyz)0在点(xoyozo)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(xy)它满足条件zof(xoyo)并有ZFx_zFyxF公式的证明将zf(xy)代入F(xyz)0得F(xyf(xy)0将上式两端分别对x和y求导得FyFz-yo因为Fz连续且Fz(xoyozo)0所以存在点(xoyozo)的一个邻域使Fz0于是得FxFz例2.设x2y2解设F(xyz24z0求一2x2Fy2z4z)x2y2z24z则Fx2xzFx2xxxFz2z42z三(2x)xf(2x)x(核(2x)2x2x2(2z)2(2z)2(2z)3、方程组的

42、情形在一定条件下由个方程组F(xyuv)0G(xyuv)0可以确定一对二元函数uu(xy)vv(xy)例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数u号x2y2x2y2事实上xuyv0vyux/yux-u1y-yxv22-22yxyxy如何根据原方程组求uv的偏导数隐函数存在定理3设F(x连续偏导数yuv)、G(xy又F(xoyououv)在点P(xoyouovo)的某一邻域内具有对各个变量的V0)0G(xoyouovo)o且偏导数所组成的函数行列在点P(xoyoP(xoyouovv(xy)(F,G)(u,v)FuGuFvGvuovo)不等于零则方程组F(xyuv)oG(xyuv)o在点V

43、0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数它们满足条件uou(xoyo)vov(xoyo)并有uu(xy)1(F,G)J(x,v)FxGxFuGuFvGvFvGv1(F,G)J(u,x)FuFxGuG。FuGu1(F,G)J(y,v)GyGuFvGv同Gv1(F,G)J(u,y)G:Gy隐函数的偏导数设方程组F(x二元函数uu(xyy)uv)vv(xy)G(x则uv)O确定一对具有连续偏导数的偏导数ux-v由方程组xFxGxFu-GuuxuxFv-xGv-xo,o.确定FyFu-uFv-o,偏导数u-v由方程组yy确定yyGyGuuGv-vo.yy例3设xuyvoyuxv1求u

44、vxxyy解两个方程两边分别对x求偏导得关于-u和v的方程组xxuvcuxy0xx当x2y2。时解之得上空学丝Vxxyxxy两个方程两边分别对x求偏导得关于一u和一v的方程组yyxvy0yyuyx0yy当x2黄。时解之得上3T之4yx2y2yx2y2例设函数xx(uv)yy(uv)在点(uv)的某一领域内连续且有连续偏导数"0(u,v)(1)证明方程组xx(u,v)yy(u,v)在点(xyuv)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(xy)vv(xy)(2)求反函数uu(xy)vv(xy)对xy的偏导数解(1)将方程组改写成下面的形式F(x,y,u,v)xx(u,

45、v)0G(x,y,u,v)yy(u,v)0则按假设j(F,G)(x,y)0(u,v)(u,v)由隐函数存在定理3即得所要证的结论(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(xy)vv(xy)代入即得xxu(x,y),v(x,y)yyu(x,y),v(x,y)将上述恒等式两边分别对x求偏导数得1xuxvuxvxoX、_12Vuxvx由于J0故可解得u1y_viyxJvxJu同理可得u1x_v1xyJvyJu小结1 .隐函数(组)存在定理；2 .隐函数(组)求导方法：方法(1)利用复合函数求导法则直接计算；(2)利用微分形式不变性；(3)代公式。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意隐函数

46、(组)存在定理和求导方法，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1.设函数uf(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数yy(x)及zz(x)分别由下列两式确定：exyxy2,exxzsint,十dudt,求。0tdx2.设yy(x),zz(x)由方程zxf(xy)和F(x,y,z)0所确定的函数，求dzdx讲课提纲、板书设计作业P89:3,4,6,7,10(4)§96多元函数微分学的几何应用一元向量值函数及其导数x空间曲线的参数方程为：yz此方程也可以写成向量形式。若记rxiyjzk于是rf，t(t)(t),t,(t)f(t)(t)i(t)j(t)k,这就确定了一个从实数到向量的一个映射

47、。定义1：设数集DR,则映射f:DRn为一元向量值函数，记作rf(t),tD其中数集D称为函数的定义域，t称为自变量，r称为因变量。在R3中，f(t)可表示为：f(t)fi(t)if2(t)jf3(t)k,tD或者f(t)(fi(t),f2(t),f3(t),tD下面研究向量值函数的极限，连续性，导数。1 .向量值函数极限：r0,对于f(t)都满足定义2:设向量值函数f(t)在点to的某一去心领域内有定义，若存在一个常向量任意给定的正数，总存在正数，使得当t满足0|tt0|时，对应的函数值不等式If(t)r0|则称常向量r0为向量值函数f(t)当tt0时的极限，记作limf(t)rotto等价

48、于limf(t)(limf1(t),limf2(t),limf3(t)ttottottotto2 .向量值函数连续：设向量值函数f(t)在点to的某一领域内有定义，若limf(t)f(to),则称向量值函数f(t)tto在点to处连续。等价于fi(t),f2(t),f3ft)都在点to处连续。向量值函数f(t),tD,若f(t)在D上每一点都连续，则称f(t)是D上的连续函数。3 .向量值函数导数：t)f(to)存在,定义3:设向量值函数f(t)在点to的某一领域内有定义，如果rf(tolimlim一tottodr则称此极限向量为向量值函数f(t)在点to处的导数或导向量，记作f(to)或|tt。dto向量值函数f(t),tD,若f(t)在D上每一点都可导，则称f(t)是D上的导函数。等价于：fi(t),f2(t),f3(t)都在点t处可导,即f(t)f1(t)if2(t)jf3(t)k。4 .导函数的性质。5 .导函数的几何意义：向量值函数f(t)在点to处的导数表示在此处的一个切向量。例1.设f(t)(cost)i(sint)jtk,求limf(t)。t一4例2.空间曲线的向量方程为