妙用韦达定理解题

1、妙用韦达定理解题湖南省龙山县华塘乡初级中学杨翠碧在一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)中，如果b2-4ac>0,那么它的两个根x1、bc乂2具有如下关系：x1+x2=-一、x1x2=一。这就是一兀二次方程的根与系数的关系，间aa称韦达定理。本文就如何利用韦达定理解决一元二次方程中的有关问题略举几例，供同学们在学习中借鉴。一、巧用韦达定理求值22例1：已知x1、x2是方程3x2x4=0的两个根，求3x1+2x2的值。222解：因为x1是方程3x2x4=0的根，所以3x12x14=0即3x1=2x1+4,由韦达定理知：x1x2一一2于是3x12x2=2x142x2=2x1x24=224

2、=163一2例2：已知x1、x2是方程x2+x3=0的两个根，求代数式x1-4x2+19的值。2一22斛：由于x1、x2是万程x+x3=0的根，故有x1+x1-3=0、x2+x2-3=02-2从而有x1=3x1、x2=3x2,另一万面，由韦达定理得x1+x2=1、x1x2=3因此x13-4x2219=x1x12-4x2219=x13-x1-43-x219一2_一=3x1-x14x27=3x1-3-x14x27=4x1x24=0解题反思：上述两例，都巧妙地利用了韦达定理，但在解题过程中的灵活性，很值得我们去思考。二、利用韦达定理求作新方程例3：已知方程x2-4x+1=0,求作一个新方程，使新方程

3、的两根分别是原方程两根的2倍解：设x为原方程的任一根，y为新方程的任一根，由题意得y=2x即x=?将2x=-代入方程x2-4x+1=0得yI-4y|十1=0即y2-8y+4=0为所求新203方程。另解：设x1x2为原方程的两个根，y1y2为新方程的两个根，则y1=2x1、y2=2x2由韦达定理得：x1+x2=4、x1x2=1二y1+y2=2(x1+x2)=8、y1y2=4x1x2=4故所求新方程为y2-8y-4=0例4：已知方程x23x+2=0,求作一新方程，使新方程的两根分别是原方程两根的平方。22斛：设x1、x2为原万程的两个根，y1y2为新万程的两个根，则y1=x1、y2=x2222_由

4、韦达te理得：x1+x2=3、x1x2=21.有y1+y2=x1+x2=(x1+x2)-2x1x222.2=94=5、y1y2=x1x2=4故所求新万程为y-5y+4=0例5：已知方程x2-3x+2=0,求作一新方程，使新方程的两根分别是原方程两根的倒数。11斛：设x1、x2为原万程的两个根，y1y2为新万程的两个根，则y1=、y2=x1x2-11xxc3由韦达te理得：x1+x2=3、x1x2=2,则y1+y2=+=一x1x2x1x22y1y2=-,故所求新方程为y2_3y+3=0、即为2y23y+1=0x1x2222解题反思：求作新方程，关键是步骤与方法的把握，且有一定的规律可循。三、利用

5、韦达定理巧解方程例6：若c是实数，且x23x+c=0的一个解的相反数是方程x2+3xc=0的一个2解，求万程x3x+c=0的根。解：设方程x2-3x+c=0的两根为x1、x2,方程x2+3xc=0的两根为x1、x3由韦达定理得x1+x2=3(1)x1x2=c(2)又x1+x3=3(3)x1x3=c(4)再由(1)+(3)得x2+x3=0(5)(2)(4溜%以2+x3)=2c(6)将(5)代入(6)得c=0所以方程x23x+c=0即为x23x=0故所求方程的根为x1=0x2=3解题反思：在利用韦达定理时，应注意其相关联系，进行巧妙整合，从而使解题达到优化。四、利用韦达定理求抛物线解析式例7：抛物

6、线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，(A在B的左侧)与y轴的正半轴交于点C,MBC为RtA,A、B两点横坐标x1、x2是关于x的方程222x-2(m-1x-m+1=0的两个根，且(x1X2)=16,求抛物线解析式。2.2斛：由韦达th理信：x1+x2=2(m1)、x1x2=m+1、因为(x1x2)=16所以有(x1+x22-4x1x2=16即2(m1底-4(-m2+1)=16化简得m2-m-2=02斛得m1=-1m2=2当m=-1时，万程为x+4*=0得为=一4x2=0此时点A(-40)B(00)不合题意(舍去)当m=2时，方程为x22x-3=0解得x1=-1x2=3得A(-10)B(

7、30)满足条件。故所求抛物线解析式为y=x2-2x-3解题反思：在利用韦达定理解决二次函数的问题中，要注意结果的验证，以防出现多解或漏解等问题。五、利用韦达定理解决证明问题2例8：已知关于x的一次万程c(a-bx+b(c-ax+a(b-c)=0有两个相等实根，求证:112十一=一acb解：因为c(abW12+b(ca卜1+a(bc)=0所以x=1是原方程的根,又原方程两实根相等，所以x2=x1=1,从而由韦达定理得：x1x2=_a也=1ca-b112即ab-ac=ac-bc,所以ab+bc=2ac故十=原题得证。acb解题反思：本题运用了一元二次方程的一个重要结论“若a+b+c=0,则方程必有一根为1”反之也成立。综上所述，韦达定理在解决方程及函数等问题中应用比较广泛，其严密性、灵活性要求甚高，同学们在学习过程中应严格把握，力求达到较高层次，从而为将来的学习奠定良好的基础。8、这个世界并不是