导数与解析几何大题解题技巧

1、导数与解析几何大题解题技巧参考资料一：不等式恒成立问题中的参数求法已知含参数不等式恒成立求其中参数取值范围问题是高考热点，这里汇集了这类问题的通法和巧法，包括直接求导法、二次求导法、特值压缩法、分离lnx法、重构函数法、解不等式法、设而不求法等,都是高考压轴题最常用到的方法.一、直接求导法1x题目：当xw(0,1)时，f(x)=e*x>1恒成立，求a的取值范围.1-x分析：注意ex|_f(x)型函数不分离最好，这里f(x)是有理函数，它的导数为exLf(x)=exf(x)+ex|_f<x)=exf(x)+f'(x),这里f(x)+f'(x)是有理函数，容易讨论其性质

2、.1x、.-ax1xz_ax、.2ax1x_axi,、解：f(x)(-)e-(e)-jLe-e(-a)1-x1-x(1一x)1一x%2a(1立皿2=e2-=e2(1-x)21-x(1-x)2a(1-x2)(1-x)2(1-x)2-axe,(2由ax+2-a可知，我们可以按照二次函数的讨论要求处理，比较复杂,于是可以考虑分离参数a,r12_2_2222即ax2-a=a(x-1)2=(x-1)(a)=(x-1)(a2),xT1-x,2.,_.注意到当xw(0,1)时，2w(2,)，所以当aW2时，f(x)>0,f(x)是增函数,1一x所以f(x)>f(0)=1,当a>2时，f(x

3、)=a；：a-<0可解得0<x<Ja三2,即当0<x<J三二时,f(x)是减函数，所以f(x)<f(0)=1,不合题意.综上，a的取值范围(g,2.二、二次求导法题目：当x之0时，f(x)=ex-1xax230恒成立，求a的取值范围分析：f(x)=kexax2-bx-c型函数一般用到二次求导法.解：f(x)=ex12ax,f"(x)=e-2a因为x20,所以ex之1,1.一.一一.一当2aM1即aM时，f(x)之0,f(x)是增函数，所以f'(x)Af'(0)=0,所以f(x)是增函数，所以f(x)之f(0)=0;1当2aa1即aa

4、一时，则当0<x<ln(2a)时，f(x)<0,f(x)是减函数，所以2f'(x)<f'(0)=0,所以f(x)是减函数，所以f(x)<f(0)=0.，一1所以a的取值氾围(-00,.2三、特值压缩法题目：当x之2时，f(x)=2kex(x+1)x24x220恒成立，求k的取值范围.分析：特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视.解：由Jf(-2)=2ke(-2+1)-(-2)2-4x(-2)-2,0#f(0)=2keO(01)-02-40-2_02_2_-2ke+220,日2得1<k<e,2k-2.0

5、f'(x)=2kex(x+1)+ex2x4=2(x+2)(kex-1),191当1MkMe2时，由f(x)=2(x+2)(kex1)=0得ex=weN,1=x=Inw2,0,kk当卜=32时，显然当x之-2时，f'(x)0,f(x)为增函数，从而f(x)>f(-2)=0,21当1Ek<e2时，则lnw(-2,0,所以k，一1、当xy_2,ln)时，f'(x)<0,f(x)为减函数,k1当x=(ln,")时，f'(x)>0,f(x)为增函数,k11ln：11o1所以f(x)的取小值为f(ln)=2kek(ln-+1)(ln)4(l

6、n-)2kkkk1,、，1、2,1、八，1、21-2(ln1)-(ln)-4(ln)-2-(ln)-2lnkkkkk1212-(ln)-2ln=-(lnk)2lnk=(2-lnk)(lnk)-0kk'所以求k的取值范围是1wkwe2.四、分离lnx法lnx1lnxk题目：当*>0且*#1时，十1+k恒成立，求k的取值范围.x1xx-1x分析：把lnx分离出来可以使导数非常简单.如lnxlnx,k1,11、1k1-2,-k1解：()=()xn=xl-nx1x-1xxx1x-1xx-1x1k-12111_2lnx(x-1)=-2lnx-(k-1)(x)x-1xx-1x(这一步的目的是

7、提取因式2,分离出lnx,由于24的符号不确定，所以分类讨论x-1x-1如下)1 .令设g(x)=2lnx-(k-1)(x-),于是原题等价于xg(x)0,-x(1，二),g(x)：0,-x(0,1).21、g'(x)=(k-1)(1+-),若是通分，分子是一个关于x的二次函数，讨论比较复杂,xx1不如再次提取(1+),分离参数k,这样会转化为对号函数，可谓一举两得：x21121于是g(x)=-«-1)(1=)=(1二)一丁-(k-1)12下x-xx(k1)121-(1-)-7-(k-1)=(1-)xx1xxh(x)在(1,收)单调递减,人2令h(x)=,由对号函数的单倜性，

8、x-x,，一1当x>1时，x+->2,从而h(x)W(0,1),所以当(k1)21,x即kM0时，g'(x)之0恒成立，从而g(x)为增函数，所以g(x)ag(1)=0恒成立;当kA0时，(k-1)<1,所以存在>1，使得当xW(1,%)时，g'(x)<0,从而g(x)为减函数，所以g(x)<g(1)=0,不合题意同理可讨论当0<xc1时,仍然是kw0时，g'(x)至0恒成立，从而g(x)为增函数，所以g(x)<g(1)=0恒成立;当k>0时，_(k1)<1,所以存在x°w(0,l),使得当xw(x0

9、,1)时，g'(x)<0,从而g(x)为减函数，所以g(x)>g(1)=0,不合题意.综上，k<0五、重构函数法题目：ex-(a+1)xb20恒成立，求(a+1)b的最大值.分析：构造以参数为自变量的函数是经常考的常规题型解：令f(x)=ex-(a+1)xb,则f(x)=ex(a+1)(1)当a+1W0时，f'(x)之0,f(x)在R上单调递增，当xt8时，f(x)T3,不合题意.(2)当a+1A0时，则当x<ln(a+1)时，f'(x)<0,f(x)是减函数，当xln(a+1)时，f'(x)>0,f(x)是增函数，所以当x=

10、ln(a+1)时，f(x)min=f(ln(a+1)=a+1(a+1)ln(a+1)一b至0,所以b<a+1-(a+1)ln(a+1),所以(a+1)b<(a+1)2(a+1)2ln(a+1),其中a+1>0,令g(x)Ex2-x2lnx(x>0),则g'(x)=2x-(2xlnx+x)=x(1-2lnx),当0<x<je时，g'(x)>0,g(x)是增函数,当xje时，g'(x)<0,g(x)是减函数,所以当x=je时，g(x)max=g(A)=eeM；=；,所以(a+1)b的最大值是-.2六、解不等式法mx2题目：设函

11、数f(x)=e+x-mx.(1)证明：f(x)在(*,0)单调递减，在(0,依c)单调递增；(2)若对于任意x,x2引,1,都有|f(xjf区)怪e1,求m的取值范围.分析：求参数范围时，把参数看成未知数，解不等式.解：(1)f'(x)=memx+2xm,f"(x)=m2emx+2,因为f“(x)=m2emx+2A0,所以f'(x)=memx+2x-m在R上是增函数，注意到f(0)=0,所以当x<0时，(x)<r(0)=0,当x>0时，(x)>(0)=0,所以f(x)在(q,0)单调递减，在(0,8)单调递增.(2)由(1)可知，f(x)在1,

12、1上的最小值为f(0)=1,f(x)的最大值是f(1)=em1-m和fD=e+1+m,所以|f(xj-f(x2)|的最大值为em-m或e"+m,所以只要em-m<e-1或e+mWe-1,令g(m)=emm,则g'(m)=em1,当m<0时，g'(m)<0,g(m)是减函数,当m>0时,g'(m)0,g(m)是增函数,1而g(1)=e1,g(-1)=+1,且g(1)>g(1)所以存在mo<-1,使得eg(mo)=g所以由em-m<e1即g(m)<g(1)可得m0<m<1,其中mb<-1而e口+m&

13、lt;e-1即g(5)<g(1),所以mo<m<1,即1<m<-m0,其中m()<1,由、得-1:二m七、设而不求法已知函数f(x)=ex-e-2x,(1)设g(x)=f(2x)4bf(x),当x>0时，g(x)>0,求b的最大值，(2)已知1.4142<应<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001)分析：设而不求那些不容易求出的极值点.解：(1)g(x)=e2x-ex-4x-4b(ex-e-2x),g'(x)=2(e2x+e4x-2)-4b(ex+e、-2),令ex+e=t,则e2x+ex=t2-2,所以g(x)=

14、2(t2-4)-4b(t-2)=(t-2)(t2-2b)=(t-2)t-(2b-2),注意到t=exe'2.exe'=2(x0),所以当2b2W2即bW2时，g'(x)主0,g(x)为增函数，所以g(x)>g(0)=0,当b>2时，存在>0,当xw0)X0时，g'(x)<0,g(x)为减函数，所以g(x)<g(0)=0,不合题意，所以b的最大值2.(2)考虑g(in衣=e2ln*e=1n避4ln应4b(eln。e"一21n72)=2JZin24b(、-2一停1n2)=|2，,2b(4b2)1n2,由(1)知道，当b=2时，

15、g(1n72)=2-275x2+(4x2-2)102>0,所以in24、,254空2-1.5=0,6928,66'那么，下一步如何再取b的值呢？这是不可以随意取的，我们不得不考虑第二问中的x=x0这个分界点满足的条件，可以考虑x=1nJ2满足ex+e(2b2)E0,考虑到满足等号成立的b的值，e1n#en"(2b2)=0,解得b=*2+1,4则由(1)知,当bM+l时，g(1n扬=|2正父(342+1)+4父(342+1)21n2<0,所以1n2/=11-,，所以0,6928<1n2<0,6934，所以1n2=0.691.参考资料二：“一定二动斜率定值

16、”问题的高等背景与初等解以下四个例题，都有类似条件：A是圆锥曲线C上的定点，E,F是圆锥曲线C上的两个动点，求证直线EF的斜率为定值.我们把这类问题简称“一定二动斜率定值”问题，笔者经过仔细分析发现，这类问题的命题者利用了导数法研究曲线的切线斜率，也就是利用了导数产生的几何背景，本文利用极限与导数这一高等数学的方法先探求这个定值，然后利用初等方法给出证明.223例1、如图1,已知E,F是椭圆七十匕=1上的两个动点，A(1；)是椭圆上432的定点，如果直线AE与AF关于直线x=1对称，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.高等背景：当AE与AF的倾斜角都趋近于90：时，直线EF的斜率就趋向于

17、过322A(1=3)的切线斜率.在左+匕=1中，两243边对x求导有，&+2!上=0,把Ay,-3)432-，3、.212(-”1代入有：幺+2=0,解得y'=.4321因此，可以确定所求的定值为-.2初等解法：因为直线AE与AF关于直线x=1对称，所以直线AE的斜率与AF的3斜率互为相反数.设直线AE的万程为y=k(x-1)+；,则直线AF的方程为3y二k(x-1)2.322把y=k(x1)+一代入土+匕=1得:2432232(3+4k)x+4k(3-2k)x+4(-k)12=0|3|(1),2设E（X1,yJ,F（X2,y2）,注意到x=1是方程（1）的一个根，由根与系数关

18、系得,324(2-k)-12X1=-2，34k2同理可求X221-2)K3-234k2kEF=jX-X233NX")二/刈一1)-31k(XiX2)-2kX-X2X1-X2把X1,X2代入上式得kEF例2、如图2,已知E,F是椭圆+'=1上的两个动点，A（T3,V3）是椭圆上的定点，如果直线AE与AF关于直线y=“对称，证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.背景：当AE与AF的倾斜角一个趋近于180°时，另一个趋近于0，时，直线ef的斜率就趋向于过a（-V3,V3）的22切线斜率.在工+匕=1中，两边对X求124F导有，/卜。,把人（-£圾代入有:八3

19、、3y八”日1+-=0，解得y=.623因此，可以确定所求的定值为1.3初等解法：设直线AE的方程为y=k(x-V3)+W,22代入看十=1得：(1+3k2)x2+6T3k(1k)x+9k2-18k-3=0|(1),9k2-18k-3一3(1-3k2)同理可求乂2=29k2_18k二3.3(13k2)'E(x1,yJFU*),注意到x=/3是方程的一个根，所以x1=kEF=y=kJ+x"2瓜，把,x2代入得kEF=Lx1-x2X-x23例3、如图3,已知E,F是抛物线y=x2上的两个动点，A(1,1)是抛物线上的定点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜

20、率为定值，并求出这个定值.高等背景：当AE与AF的倾斜角一个趋近于0时，另一个趋近于180时,直线EF的斜率就趋向于过A(-1,1)的切线斜率.而y'=2x,所以y'|x-1=-2,因此，可以确定所求的定值为-2.初等解法：设直线AE的方程为y=k(x-1)+1,代入y=x2得：x2-kx+k-1=0|HI(1),设E(x1,y1),F(x2,y2),注意到x=1是方程的一个根，所以x1=k-1,同理可求x2=-k-1,_2_2K-x2所以kEF=y2=x+”，把x1,x2代入上式得kEF=-2.例4、如图4,已知E,F是抛物线y2=x上的两个动点，A(1,1)是抛物线上的定点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定佰，并求出这个定值.背景：当AE与AF的倾斜角都趋近于90：时，直线EF的斜率就趋向于过A(1,-1)的切线斜率.由y2=x解得y=±&而在A(1,-1)附近导数y'=图4一,1所以y上二二-2,因此，可以确定所求的定值初等解法：设直线ae的方程为y-1y=k(x-1)+1SMk0,x=+1,k代入y2=x得：y2-+1-1=0|(1),kk设E(x1，),F(x2,