导数压轴题之隐零点问题专辑含答案纯版

1、本资料分享自千人教师QQ群323031380高中数学资源大全导数压轴题之隐零点问题导数压轴题之隐零点问题(共13题)1.已知函数f(x)=(aex-a-x)ex(a>0,e=2.718；e为自然对数的底数),若f(x)>0对于xR包成立.(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)存在唯一极大值点刈，且(瓯)得.【解答】(1)解：f(x)=ex(aexax)>0,因为ex>0,所以aex-a-x>0包成立，即a(ex-1)x包成立，x=0时，显然成立,x>0时，ex-1>0,故只需an,在(0,+8)恒成立,令h(x)=-,(x>0),ez-l<

2、;0,，/、(1-x)ez-lh(x)=t-故h(x)在(0,+8)递减,而linr-y-=1inrr=1,故a>1,x<0时，ex-1<0,0)恒成立,故h(x)在(-oo,0)递增,第1页(共14页)本资料分享自千人教师QQ群323031380高中数学资源大全而I.：=|=1，故a01,综上：a=1；(2)证明：由(1)f(x)=ex(exx1),故f(x)=ex(2exx2),令h(x)=2exx-2,h'(x)=21,所以h(x)在(-00ln、)单调递减，在(l且，+00)单调递增，22h(0)=0,h(lni)=2elnl-也-2=ln2-1<0,h

3、(-2)=2e-2-(-2)-2V>6.h(-2)h(l/)<0由零点存在定理及h(x)的单调性知，2方程h(x)=0在(-2,ln)有唯一根，设为x0且2ex0-x0-2=0,从而h(x)有两个零点x0和0,所以f(x)在(-8,x0)单调递增，在(x°,0)单调递减，在(0,+8)单调递增,从而f(x)存在唯一白极大值点x0即证,1,取等不成立，所以f(刈)得证,-x0-1)=7(-x0)(2+x0)又丁-2<x0<lg,f(x)在(-°0,x。)单调递增所以f(x0)>f(2)=e2e2(2)-1=e-4+e2>e2>0得证,

4、从而0<f(x0)成立.2,已知函数f(x)=ax+xlnx(aR)(1)若函数f(x)在区间e,+oo)上为增函数，求a的取值范围；(2)当a=1且kCZ时，不等式k(x-1)<f(x)在xC(1,+oo)上恒成立,第2页(共14页)本资料分享自千人教师QQ群323031380高中数学资源大全求k的最大值.【解答】解：(1);函数f(x)在区间e,+8)上为增函数，.f'(x)=a+lnx+10在区间e,+00)上包成立，；a>(Tnx-1)max=-2.a>-2.；a的取值范围是-2,+8).(2)a=1时，f(x)=x+lnx,kCZ时，不等式k(x1)&

5、lt;f(x)在xC(1,+oo)上包成立，.k<冲lox),、v1'niui贝(Jg'(x)=-Ty,2(x>1).3>0,，h(x)在(1,+oo)上单增，令g(x)令h(x)则h'(x)=x-Inx一=1一.h(3)=1-ln3<0,h(4)=221n2>0,存在xoC(3,4),使h(x0)=0.即当1<x<x。时h(x)<0即g'(x)<0x>x0时h(x)>0即g'(x)>0g(x)在(1,x0)上单减，在(x0+°°)上单增.令h(刈)=x01nx0

6、2=0,即1nx0=x02,xq(1+1hxo)x0g(x)min=g(x0)=x0C(3,4).soKo-1k<g(x)min=x0(3,4),且kZ,kmax=3.3.函数f(x)=a1nx-x2+x,g(x)=(x-2)ex-x2+m(其中e=2.71828).(1)当a00时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=-1,x(0,1时，f(x)>g(x)恒成立，求正整数m的最大值.【解答】解：(1)函数f(x)定义域是(0,+00)，F3/1二当了(i)当时，1+8a&0,当xC(0,+8)时f(x)<0,第3页(共14页)本资料分享自千人教师QQ群323031

7、380高中数学资源大全函数f(x)的单调递减区间是(0,+00)；(ii)当l+8a>C,2x2+x+a=0的两根分别是:8l-Vl+Ba当xC(0,xi)时f(x)<0.函数f(x)的单调递减.当xC(xi,x2)时f(x)>0,函数f(x)的单调速递增，当xC(x2,+)时f(x)<0,函数f(x)的单调递减；综上所述，(i)当时f(x)的单调递减区间是(0,+°°),8(2)当a=1,x(0,1时，f(x)>g(x),即m<(x+2)ex-lnx+x,设h(x)=(-x+2)ex-lnx+x,x(0,1,h(必二函数h(x)在(0,

8、x0单调递减，在x°,1)单调递增，.一一，、二八：Sn一一八1-.2-：；一：匚-：L.：二'一，*0工口(0,1)递减，出工/二-1十2+乐£4),xo二当m03时，不等式m<(-x+2)ex-lnx+x对任意xC(0,1恒成立,正整数m的最大值是3.第4页(共14页)本资料分享自千人教师QQ群323031380高中数学资源大全4.已知函数f(x)=ex+a-lnx(其中e=2.71828一；是自然对数的底数)(I)当a=0时，求函数a=0的图象在(1,f(1)处的切线方程;(II)求证：当方>1-工时，fe|【解答】(I)解：=a=0时，(x)&g

9、t;e+1.,f(x)-eX-lnx.FCx)-e*x-,f(1)=e,f'(1)=e-1,函数f(x)的图象在(1,f(1)处的切线方程：y-e=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y+1=0；(R)证明：F(x)二小力,I设g(x)=f'(x),则/G)=厂出k，。， ，-g(x)是增函数， ex+a>ea,.。由£>二工>” .当x>e-a时，f'(x)>0；若0<x<1?ex+a<ea+1,由巳»1<工=>工<3一1,x.,当0<x<min1,ea1时，f'

10、;(x)<0,故f'(x)=0仅有一解，记为x0,则当0Vx<x0时，f'(x)<0,f(x)递减;当x>x0时，f'(x)>0,f(x)递增；ht->>hQ)=e+l>e+1.110n=1.口+菖1口3口，本资料分享自千人教师QQ群323031380高中数学资源大全5 .已知函数f(x)=axeX-(a+1)(2x1).(1)若a=1,求函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程;(2)当x>0时，函数f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.【解答】解：(1)若a=1,贝Uf(x)=xex-2(2x-1

11、),当x=0时，f(0)=2,f(x)=xex+ex-4,当x=0时，f(0)=-3,所以所求切线方程为y=-3x+2.(3分)(2)由条件可得，首先f(1)>0,得e-1而f(x)=a(x+1)ex-2(a+1),令其为h(x),h'(x)=a(x+2)ex恒为正数，所以h(x)即f(x)单调递增，而f(0)=-2-a<0,f(1)=2ea-2a-2>0,所以f(x)存在口t一根xoC(0,1,所以函数f(x)的最小值为且函数f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0+oo)上单调递增,£(=口)=&富产°-(a+l)(2x0-l),只需

12、f(刈)>0即可，又X0满足'号n代入上式可得(a+l)J十(口十1)(0,1,.-2702+x0+1>U,即：f(x0)>0包成立，所以(13分)6 .函数f(x)=xex-ax+b的图象在x=0处的切线方程为：y=-x+1.(1)求a和b的值；(2)若f(x)满足：当x>0时，f(x)>lnx-x+m,求实数m的取值范围.【解答】解：(1)f(x)=xe<-ax+b,f'(x)=(x+1)ex-a,由函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为：y=-x+1,知：第6页(共14页)本资料分享自千人教师QQ群323031380高中数学资源大全(

13、0)=1-3=1解得a=2,b=1.(2) .f(x)满足:当x>0时,f(x)>lnx-x+m,m<xex-x-lnx+1,令g(x)=xex-x-lnx+1,x>0,则一二碗工上回",XK设g'(x。)=0,x0>0,贝已*口=,从而lnx0=-刈，支口g'。)=3(浮-l)<0,g'(1)=2(e-1)>0,&far由g'(g'(1)<0,知：为£*，1),当xC(0,x0)时，g'(x)<0；当xC(x0,+oo)时，g，(x)>0,函数g(x)在(0

14、,xO)上单调递减，在(x0,+00)上单调递增.g(x)min=g(x0)=Knc0_x0-lnx0=Xnex0lnx0=x0?x0+xd=1.u“上口m&xexxlnx+1恒成立？m<g(x)min,实数m的取值范围是：(-8,1.本资料分享自千人教师QQ群323031380高中数学资源大全7.已知函数f(x)=3ex+x2,g(x)=9x-1.(1)求函数小(x)=xex+4x-f(x)的单调区问；(2)比较f(x)与g(x)的大小，并加以证明.【解答】解：(1)(T(x)=(x-2)(ex-2),令|x)=0,得x1=ln2,x2=2;令小x)>0,得x<ln

15、2或x>2;令小x)<0,得ln2Vx<2.故小(x)在(-8,帖2)上单调递增，在(ln2,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.(2)f(x)>g(x).第7页（共14页）本资料分享自千人教师QQ群323031380高中数学资源大全证明如下：设h(x)=f(x)g(x)=3ex+x2-9x+1,=h'(x)=3ex+2x-9为增函数， 可设h'(x0)=0,.h'(0)=-6<0,h'(1)=3e-7>0,.xoC(0,1).当x>xo时，h'(x)>0;当x<x0时，h'(x)<

16、;0. h(x)min=h(x°)=3°十+1，又尺广实0，篁口+9，；卜45=-2勺+9+工口2-95+1=2Th0+10=(xoT)(x0T0), MC(0,1),(x。1)(x。10)>0,:h(x)min>0,.f(x)>g(x).8,已知函数f(x)=lnx+a(x1)2(a>0).(1)讨论f(x)的单调性；_3_(2)若f(x)在区间(0,1)内有唯一的零点x0,证明：eCCe12【解答】解：(1)F(耳产工"+1X当0<a02时，f(x)>0,y=f(x)在(0,+oo)上单调递增，当a>2时，设2aW-2

17、ax+1=0的两个根为工工£(0<工<方工工)，且_a-Va2-2a屋-加叼2自，为%，y=f(x)在(0,x1),(x2,+OO)单调递增，在(x1,x2)单调递减.(2)证明：依题可知f(1)=0,若f(x)在区间(0,1)内有唯一的零点x0,由(1)可知a>2,且和二盯E(0,y).于是：l门工口+a*口-l>2二023工口心-22又0+:0由得LnxnT一二九设式k)二D),OK11则屋(由二且苫，因此g(x)在9,5)上单调递减，2k上第8页(共14页)本资料分享自千人教师QQ群323031380高中数学资源大全J.y-i又晨已之)三亍工°

18、'式屋|)露片<口_2根据零点存在定理，故e<SQ<e-1.9.已知函数f(x)=1n工o,其中a为常数.产(1)若a=0,求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在(0,-a)上单调递增，求实数a的取值范围；2.(3)若a=-1,设函数f(x)在(0,1)上的极值点为X0,求证：f(x0)<-【解答】解：(1)f(x)且舁的定义域是(0,+oo),f，(x)上驾产，KX令f'(x)>0,解得0Vx(加，令f'(x)<0,解得：x>AK，则f(x)在(0,正)递增，在(血，+°°)递减，故f(x)极大值=f

19、d),无极小值；(2)函数f(x)的定义域为x|x>0且xw-a.-Cx+a)-lnzC2x+2a)味2bllcCi+a)4要使函数f(x)在(0,-a)上单调递增，则a<0,又xC(0,一a)时，a<x+a<0,只需1+2-2lnx00在(0,-a)上包成立,IIPa>2xlnx-x在(0,一a)上恒成立，由y=2xlnx-x的导数为y'=21+lnx)-1=1+2lnx,当xF时，函数y递增，0<x<时，函数y递减,当一a即-a<a<°时，函数递减，可得a”矛盾不成立;当a>即a<I时,Ve函数y在(0,)

20、递减，在(,a)递增,可得y<2aln(a)+a,可得a>2aln(a)+a,解彳4-10a<0,则a的范围是-1,0);第9页(共14页)本资料分享自千人教师QQ群323031380高中数学资源大全设函数f（x）在（0,1）上的极值点为X0,(JC-1)2可得1-2lnx0-L=0,xo即有21nx0=1一一一.一1七支口要证f（X。）2,即上方+20,底口一）=且。-”.2了0HqT)2。一1)由于X0C(0,1),且x0±,21nx0=1-工一不成立,2配,1nM口则.+2<0,注1)2故f（刈）-2成立.10.已知函数f(x)=1nx-x+1,函数g(

21、x)=ax?3-4x,其中a为大于零的常数.(I)求函数f(x)的单调区间；(n)求证：g(x)2f(x)>2(Ina-1n2).解答解：(I)(2分)X2£x(0,1)时，f(x)>0,y=f(x)单增；x(1,+oo)时，f(x)<0,y=f(x)单减.(4分)(H)证明：令h(x)=axe<-4x-21nx+2x2=ax02x-21nx-2(a>0,x>0):一(5分)h'+xeK)-2-=aeK(x+1)Z第10页（共14页）本资料分享自千人教师QQ群323031380高中数学资源大全故hj(x)二(工+1)gl.(7分)令h

22、9;(x)=0即已一。二2,町两边求对数得：lna+xo=ln2-Inxo即lnxo+xo=ln2-lna.3分)hn1111Mh(翼口)二日入口己"-2x021nx0-2=-2x-21nx0二一2(ln2-lna)，h(x)>2lna-2ln2(12分)11.已知函数f(x)=W-(a-2)x-alnx(aR).(I)求函数y=f(x)的单调区间；(H)当a=1时，证明：对任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2.【解答】解：(I)函数f(x)的定义域是(0,+8),f'(x)=2x-(a-2)-且-工+1)(L(2分)III;工I当a00时，f'

23、;(x)>0对任意xC(0,+8)包成立，所以，函数f(x)在区间(0,+oo)单调递增；(4分)当a>0时，由f'(x)>0得x>后,由f'(x)<0,得0Vx<2，22所以，函数在区间(+8)上单调递增，在区间(0,年)上单调递减;(H)当a=1时，f(x)=x2+x-lnx,要证明f(x)+ex>x2+x+2,只需证明exlnx2>0,设g(x)=ex-lnx-2,则问题转化为证明对任意的x>0,g(x)>0,令g，(x)=ex-十=0,彳3ex=,容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0,贝Ux0满足ex01Ho(

24、x0,00递增当x变化时，g'(x)和g(x)变化情况如下表x(0,x0)x0g'(x)-0g(x)递减g(x)min=g(x0)=ex0-lnx。2=+x0-2,第11页(共14页)本资料分享自千人教师QQ群323031380高中数学资源大全因为X0>0,且X0W1,所以g(x)min>2/y2=0,因此不等式得证.本资料分享自千人教师QQ群323031380高中数学资源大全12.已知函数Fa)二111K7x(I)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(ii)求函数f(x)的单调区间；(n)若1<a<2,求证：f(x)<-

25、1.【解答】解：(I)当a=2时，£32他一12工,定义域为(0,+00),2s,2-lm-FxNxfj-2=2，x工f'(1)=-1-2=-3,f(1)=2-2=0;所以切点坐标为(1,-3),切线斜率为0所以切线方程为y=-3；(ii)令g(x)=2-lnx-2x2,屋二所以g(x)在(0,+00)上单调递减，且g(1)=0所以当x(0,1)时，g(x)>0即f(x)>0所以当x(1,+oo)时，g(x)<0即f(x)<0综上所述，f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+8).(II)证明：f(x)<-1,即1口冥1a,Xd

26、11角v2-1设小(x)=ax2lnx+2'&)=一23乂=<Qe工所以小x)在(0,+°°)小于零包成立即h'(x)在(0,+00)上单调递减因为1<a<2,所以h'(1)=2-a>0,h'(e2)=-a<0,第12页(共14页)本资料分享自千人教师QQ群323031380高中数学资源大全所以在(1,e2)上必存在一个2+O父Ln20-1X2OXao=0即1门又口二一日君+2，所以当x(0,xo)时，h'(x)>0,h(x)单调递增,当xC(x0,+oo)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，二一