对数的概念及其运算

1、4.4对数概念及其运算（1）一、教学内容解析对数概念及其运算（1）»是沪教版高中数学课本，高一年级第二学期第四章（下）第一节，属概念性知识，承接第四章（上）指数函数，对数概念及运算是在学习了“指数幕ax的意义及运算性质”、”指数函数的性质”基础上进行的，同时本节也是学习对数函数的准备知识.对数既可以看作是一个算式，又可以看作是一个数值.与指数幕具有共同的本质一一指数（对数）与幕（真数）之间的对应关系.对数作为重要而简便的计算技术，被恩格斯誉为17世纪三大重要数学成就之一，在数学和其他许多知识领域都有广泛的应用.虽然随着计算工具的飞速发展，它的地位已由计算机（器）逐步代替，但对数函数在

2、数学中的地位是不可动摇的.对数概念及其运算性质的学习过程，可以提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养，可以融合数学史的发展过程提升数学课堂的人文情怀.【教学重点】理解和掌握对数的概念，掌握对数式与指数式的互化.二、教学目标设置理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值范围；知道常用对数、自然对数的概念；掌握对数式与指数式的互化，理解同底的对数式与指数式之间的关系；经历计算-观察-猜想-论证的过程，掌握对数的常用性质；会使用计算器计算对数的值；经历“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的研究过程，提升数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养.三、学生学情分析本节课为借班上课，课前未与学生有

3、过接触.授课对象为上海市一所普通高中的高一普通班，该年级经过入学前的分流，资优生集中在两个“特色班”，普通班学生相对底子比较薄，对待抽象的数学概念往往接受起来比较困难.授课学1/13段为高一学年上学期，学生曾利用暑假复习了幕指数的运算性质，已经知道指数幕ax(xwQ)的意义及其运算性质，但并不理解指数幕ax(xwR)的意义，不知道指数函数y=ax(a>0且a=1)的性质，这些不足可能导致学生难以理解对数的意义，以及难以掌握底数、真数、对数的允许值范围.学生缺乏以函数知识为载体的学习“对应关系”的经历，缺乏运用“观察-归纳-猜想-论证”的学习经验【教学重点】理解和掌握对数的概念四、教学策略

4、分析张奠宙先生曾提出“概念教学要揭示数学的本质”、“数学概念教学的核心是它的价值、意义和作用”.本节课是一节概念课，教学策略的制定也是遵循以上基本原则.1 .基于知识本原的问题设计对数的发明并非来源于指数，而是源于数学家对简化大数运算的有效工具的追求.其关键是利用对应关系qkTk:q0,q1,q2,l|l,qn,|l|0,1,2,川,n,川1并建立起如下对应法则:mnm.n(1) q，qTm+n;(2)qqTm-n;(3) (qm)tmn;(4)qmtmn利用上述对应法则降低运算层级，达到简化运算的目的以“对应关系qkTk"(而不是运算)为依据引入对数概念，虽然观点高,但“自然度”不

5、够，难度大.因而，本节课的引入借助历史发展背景一一“简化大数运算”的需求一一创设情境，但在生成对数概念的过程中，通过数学内外的发展需要，先抽象出数学问题“一般地，我们要找到x,使得ax=N成立，这样的x存在吗？”；再类比为了解决“在xn=a中，已知n,a,如何表示x?”而引入呜一样,引入符号logaN表示ab=N(a>0,且a*1)中的b,从而得到一个数学的研究对2/13象；接下来从“对应”、”指数幕的逆运算”、“数的表示”这三个角度设计问题，深化理解对数的卞S念；再通过计算-观察-猜想-论证的过程，应用对数的概念，得出对数的基本性质；最后再回到对数产生的历史，站在现代的视角下，体会对数

6、的应用及其意义.其中驱动课堂活动的问题设计，遵循以下思维导图:为什么学？简化复杂运算的需要对数有什么性质？变化中的不变性已有哪些知识储备？指数号意义及运算性质对数究竟表示什么?深化理解对数概念什么是对数？对数概念的生成2 .符合学生认知规律的教学活动一个新概念的生成和掌握不是一蹴而就的，是在充分激发学生探究的兴趣的前提下，不断启发学生对知识的理解，以旧引新，以新强旧，层层递进，体现的是理性思维的作用.本节课借鉴已有经验，抽象出“对数”这一数学研究对象，发现和提出对数的研究内容，构建研究路径，得出结论，并用于解决问题.学生经历“现实背景一一定义一一性质一一应用”过程，鼓励学生采用独立思考、自主探

7、究、合作交流等方式展开学习.具体来说，在充分尊重学生的认知规律下，本节课设置以下四个教学环节：1 .创设情境引入问题简化大数运算的需要取材于对数发展历史背景，激发学习的内动力2 .对数概念的初步认识温故知新，从具体到抽象，得到对数的概念培养提出和发现数学问题的能力，发展数学抽象素养3 .对数概念的再认识通过实例，理解并掌握对数概念及其常用性质从特殊到一般，经历计算-归纳-猜想-论证的过程4 .总结与思考回顾对数发展历史，总结研究一个代数对象的基本过程辩证看待对数的应用及其意义，提升人文情怀3/13【环节1:创设情境引入问题】在环节1中，为了充分激发学生研究的兴趣，借助“光年”计算引入“简化大数

8、运算”的实际需求，但考虑到若是以“对应关系”为依据引入对数概念而不是从运算体系出发而得到，与中学生的认知水平不适应.故而“简化大数运算”只作为历史背景，在引例中从特殊问题出发，例如2x=8192则x=13;一般地，当M、N>0时，满足方程2x=M,10x=N,x=?再抽象出数学问题：当a>0且a#1时，已知a,NA0,方程ax=N中，x=?在环节2中，考虑到学生缺少必要的指数函数作为前继知识，但要回答上述问题，就必须要承认事实：在a>0且a#1时，只要N>0,方程ax=N总有唯一解.本节课设计了两个具体的教学活动，目的是用比较生动、具象的方式让学生体会结论的正确性.一个

9、是在研究例子“10x=2018,x=?”时用“逐步细分”的想法，借助表格，初步体会x的存在性；另一个是用几何画板展示指数函数的图像性质.在这一部分，学生经历从具体到抽象的过程，对培养发现和提出数学问题的能力，发展数学抽象素养都有作用.【环节2:对数概念的初步认识】在环节2中，通过类比根号这一数学符号的引入，自然的引入对数这一新的数学符号，一方面降低了新的数学符号给学生带来的陌生感；另一方面让学生能从对数符号的引入中初步体会对数也是指数幕的逆运算.此时教师介绍算法精蕴中对数、真数名称的由来，从“对应”的角度，让学生初步理解对数概念.例1及其变式是从“对数是指数幕的逆运算”这个角度让学生理解对数的

10、概念，通过指数到对数、对数到指数的改写，使学生逐渐认识到：当aA0且a*1时，指数式ab=N与对数式logaN=b只是对同一个事实的不同表示形式而已.例1的前3小题来源自课本例题，第4小题为自编题，除了引出常用对数的概念，还恰好与引入对数概念时所举的例子相同，既解决了4/13之前如何表示x的问题，又为最后介绍常用对数表埋下伏笔.例2是从“对数是数的表示”这个角度让学生进一步理解对数的概念，通过求对数的值，进一步强化认识：对数值即为指数幕中的指数，解决陌生对数问题就是化归为熟悉的指数幕问题，二者本质是相同的在这一部分，学生从三个角度来逐步认知并掌握对数的概念，在例题的总结与反思中形成对“同底的对

11、数式与指数式”关系的认识，对数的概念从形式的改写，到数值的计算，再到与已有知识的联系，学生的思维水平螺旋上升.【环节3:对数概念的再认识】在环节3中，对例2的回顾与反思，既是学生利用对数概念从特殊到一般抽象出对数基本性质的过程，又是检验学生是否确实理解并掌握了“对数与同底幕指数的本质相同”这一事实.这一环节学生采取自主探究、合作交流的方式展开学习，学生在对数概念的应用中再一次加深对定义的理解，在计算-观察-猜想-论证的过程中增强了研究问题、解决问题的能力.【环节4:总结与思考】在环节4中，用计算器计算对数的值，既是对“对数是数的表示"再一次的感知，又启发学生利用现有的计算工具继续提出

12、问题，思考并探究对数的其他性质，培养学生发现和提出问题的能力，提升数学抽象、直观想象素养.最后的总结，除了让学生从知识上、方法上对本节课的收获进行梳理，总结研究一个代数对象的基本过程，又回到了“简化大数运算”的历史背景中，在现代数学的观点下辩证的认识对数概念及其性质具有怎样的作用和意义，提升人文情怀.5/13五、教学过程1 .创设情境、引入问题对数的产生源于天文学的发展.【引例】一光年到底有多远？已知299792.468(km/s)是光在真空中的速度，31536000是一年的总秒数(假设一年365天)，因此两数的乘积299792.468X31536000=9,454,255,270,848即为

13、所求.“光年”是天文学中的距离单位.在16至17世纪，天文学开始迅速发展，天文学家为了计算一个行星的位置，时常需要耗费几个月甚至几年的时间，问题主要就集中在复杂的数据运算上.因此，改进运算方法成为了天文学家们的当务之急.设计意图：结合历史发展中对数发明的本源问题一一“简化大数运算”的需要，激发学生的研究兴趣.表1当时的数学家们也在试图改进运算方法，他们发现借助指数幕是有效的方法、接下来，观察表1.【问题11在不用计算器的前提下，根据表1,如何计算8192M16384=?【小结】完成MxN(M>0,N>0)计算的过程如下：MNf2为2x202x1+x2M7Xi、N0X2x1x2、把复

14、杂数据的乘法变成了较小的数的加法设计意图：初步体会简化运算的核心一一对应关系qk>k.6/13【问题2在不用计算器的前提下，如何计算299792.468x31536000=?、这里的关键是，当M、N>0时，满足方程2x=M,10x=N,x是否存在？如何表示？一例如10x=2018,借助不断的“细分”，可以观察到，确实存在这样的x.j设计意图：从特殊到一般，由具体到抽象，引导学生抽象出数学问题.2 .对数概念的初步认识/【问题3】一般地，我们要找到x,使得ax=N成立，这样的x存在吗要回答这个问题，要想保证对所有的xwR,ax都有定义，首先要假设a>0,还要假设a#1,因为如果

15、a=1,1x就包等于1,方程无解或者有解但不唯一.虽然目前还没有学到，但我们必须承认这样的事实：由指数函数的性质，随着x递增取遍所有实数，ax会取遍所有正实数，并且是一一对应的.于是，不难得到如下结论：在a>0且a¥1时，只要N>0,方程ax=N总有唯一解.不妨回顾一下，如何表示x3=2018的解.我们利用数学符号“3T来表示x=V2018；那么现在，对于3x=2018,我们也需要引入一个新的数学符号，来x.设计意图：借鉴已有知识，在研究”指数幕2、仁0躇。1）的意义及其运算性质”的基础上，类比弓I入“旷”是为了表示方程x3=2018的解，自然的引入对数概念.7/13(【

16、定义】一般地，如果a(a>0,a#1一)的b次幕等于N,即ab=N,那么数b、叫做以a为底N的对数(logarithm),记作logaN=b,其中a叫做对数的底数(base),简称底，N叫做真数.数理精蕴中把对数称为“假数”取“借来用一下”之意，N称为“真数”.1“真数”一直沿用至今，而“假数”后来被称为“对数”取“对应”之意.J设计意图：介绍对数名称的史书记载，引例中渗透的“对应”之意.把下列指数式写成对数式:(1)54=625;(2)2=；(3);1=5.73;(4)10x=2018.3213J1斛：(1)log5625=4;(2)log2一=-5;(3)log15.73=m;(4)

17、10gl02018=x.323例1'把下列对数式写成指数式：八.一,，1，一，(1) 10g5625=4;(2)log2一=-5;(3)10g15.73=m;(4)10g102018=x323I、解：(1)54=625;(2)2上=表；(3)($m=5.73；(4)10x=2018.)设计意图：巩固新学概念，熟悉各部分的名称及读法，能够从“指数幕运算的逆运算”角度，将对数式和指数式进行互换.厂【小结】由对数的定义,_logaN=b(a70,a#1)也就是ab=N.1通常将以10为底的对数叫做常用对数(commonlogarithms),10gl0N简记作lgN.科学技术中，常用到以无理

18、数e=2.718281”为底的对数，以e为底的对<一叫做自然对数(naturallogahthms),logeN简记作lnN.)设计意图：通过例1及其变式的比较，小结对数概念与同底的指数幕的关系；给出常用对数和自然对数的规定，简单介绍其应用.8/13例2试计算:(1) 10gii6；2(2) 10g2焉；1g1；标.解：（1）因为1-=16,所以logi16=-4;22'(2)因为2-1128,所以10g2=-7；(3)因为10L1,所以ig1=0；(4)因为e1=e,所以1ne=1.设计意图：理解对数是“数的表示”，再次体会解决陌生的对数问题就是转化为求同底的幕的指数问题，即同

19、底的对数与指数幕相互等价3.对数概念的再认识【问题4】回顾例2的（1）、（2）,把它们写成1og1JI=Y,1og2（2）'=-722你还有什么发现吗？试着归纳，并解释理由由定义，因为ab=N,1ogaN=b,贝U1ogaab=b(a>0,a#1).类比得到，a1ogaN=Na0,a-1,N0.由定义，因为ab=N,1ogaN=b,贝UalogaN=Na0,a=1,N0.表达方式而已.上面的式子称为对数恒等式，它看起来很玄妙，但不过是对数定义的另一个设计意图：在已得到结果上反思，从具体到抽象，从特殊到一般，归纳并证明对数恒等式，并在证明过程中再次认识对数概念.9/13【问题5】再

20、回顾例2的（3）,算一算,10g21,log31等,你有什么发现?试着归纳一下.因为a°=1(a>0,a=1),所以1oga1=0.【问题6】0的常用对数存在吗？负数的常用对数存在吗？为什么？不存在.在讨论对数的时候，我们总是假设底是不等于1的正实数，可知,零和负数没有对数，真数为正数，即N0.【问题7】回顾例2的（4）,算一算,10g22,10g33,1g10的值是多少？你有什么发现？试着归纳，并解释理由.logaa=1,因为a1=a.设计意图：学生能够通过自主探究、合作交流，经历计算-归纳-猜想-证明的研究过程，在解决问题的过程中理解并掌握对数的概念，得到对数的常用性质.4

21、 .计算与思考一在一些很特殊的情况下，可以写出对数的具体数值,而在一般的情况下，如I果没有计算器，估算对数的精确值极为困难，就需要查阅有关的对数表来得到对数的近似值.我们现在可以使用计算器，计算对数的值.用计算器计算下列各对数的值：（结果精确到0.01）1g0.021g0.31g0.91g1.11g2.831g5.241g821g348思考：猜想对数为正或为负时，真数N的取值范围.解：1g0.02=-1.70,1g0.3=0.52,1g0.9=0.05,1g1.1=0.04,1g2.83=0.45,1g5.24=0.72,1g82=1.91,1g348=2.54.、猜想：经计算发现：当1gN&

22、lt;0时，0<N<1;当1gNj>0时，N>1.设计意图：在对数是“数的表示”的角度下，引导学生用现有计算工具10/13计算对数的值，培养发现和提出问题的能力，提升数学抽象、直观想象的素养，为后续学习留下伏笔.5 .课堂小结在本节课，我们体验了对数的产生和发展历程,理解了对数的概念和它的常（用性质.在对数的发展历史中，确实是受到当时天文、航海等实际问题中简化复杂运算的需要，而当数学家们意识到对数的意义，他们就迫切的需要一张对数表，这样就可以将复杂的数对应到一个比较简洁易操作的数据.但造表的难度却相当大，不过一旦做好了，就能一劳永逸.500年前苏格兰数学家约翰纳皮尔，用

23、了20年时间，研究运算规律，并制作了一张可查的表格.数学家拉普拉斯说：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍.”现在，我们可以用计算机（器）方便快捷地进行多位数的计算，对数用于简（化计算的功能已经完成了其历史任务，但对数这个概念及其种种性质在现代数学他科学领域中的作用却有增无减，一直占据着重要的位置，并被广泛使用设计意图：在现代数学的观点下，回顾对数发展的历史，总结研究一个代数对象的基本过程，辩证的理解对数的意义和作用，提升数学课堂的人文情怀.6 .作业1）练习册4.4,A组1-4题；2）探究对数的运算性质.设计意图：检验学生是否理解并掌握对数的概念，是否能够掌握对数式与指数式的转化；进一步启发学生的研究兴趣，为下节课学习对数的运算性质做铺垫.7 .板书设计4.4对数概念及其运算1 .定义3.性质PPT投影2 .规定11/13点评：这是一节关注知识本原、尊重认知规律、具有丰富数学内涵的课。在本节课中，对数概念是核心，什么是对数？它是怎么来的？为什么要学习对数？这是首先应该思考的问题。在教学过程中，教师首先结合有关的数学史实，对概念的产生作了简明的交代：对数的产生源于天文学简化运算的需要；接着模拟展