导数证明不等式题型全

1、导数题型一：证明不等式不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点，传统证明不等式的方法技巧性强，多数学生不易想到，并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数，这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径，并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现，但现行教材对这一问题没有展开研究，使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰，方法简捷，操作性强，易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些不等式。一.构造形似函数型例1.求证下列不等式2、x(1)xln(1x)x22x2(1x)x(0,)(相减)(2) sinx丝

2、x(0,-)(相除两边同除以x得xsinx-)(3) xsinxtanxxx(0,)2(4)已知：x(0),求证In21(5)已知函数f(x)ln(x1)x,x1,证明：1;(换元：设t上ln(x1)xx1xxx巩固练习：11 .证明x1时，不等式2jx3-x2 .x0,证明：ex1xx°一、5.证明：tanxx-x,x(0,).23 .x0时，求证：xln(1x)23x1).xx4 .证明：ln(1x)x一一,(123二、需要多次求导例2.当x(0,1)时，证明：(1x)ln2(1x)x2例3.求证:x>0时,ex1x21x2例4.设函数f(x)=lnx+ax2(a+1)x(

3、a>0,a为常数).若a=1,证明：当x>12时，f(x)<lx2-2x-&.2x1三、作辅助函数型例5.已知：a、b为实数，且b>a>e,其中e为自然对数的底，求证：ab>ba.例6.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0<a<b,证明0Vg(a)+g(b)-2g(a)<(b-a)ln2.巩固练习6、证明lnb(0ab)baa(2)a0,b0,证明(立)abaabb2(3)若0XX2,证明：也乜上2tanx1x1四、同增与不同增例7.证明：对任意1xlnxx0,e例8.

4、已知函数f(x)XxInlrxx)f(x)1x2,且f(x1)f(x2)，证明x1x2五、极值点偏移（理科）例9.已知函数f(x)xex(xR).如果xi例10.已知函数f(x)(x1)e:x其中e是自然对数的底数.若xix2f(x)f,求证:xix24.六、放缩法11Inn1103n2n11例11.已知：nN且n2,求证：一2111例12.当n2且nN时，证明：Inn.In2In3Inn1/*、(nN)2n1111例13.求证：ln(n1)一一一357巩固练习7 .证明:对任意的正整数n,不等式23f口/ln(n1)都成立.49n28 .已知nN且n3,求证：Inn+1<-+-+-+.3345nIn2In3In4、/Inn1*、9 .求证：XX<(nnCN).10.证明：对任意的nN，有也上12In(n1)Innn1n2(n1)七、综合题型例13.已知函数f(x)(x1)lnxx1.(n)证明：(x1)f(x)0.例14.a为实数，函数f(x)ex2x2a,xR(1)求f(x)的单调区间(2)求证：当aln21且x0时，有exx22ax1例15.已知函数f(x)ax-(x22x)lna