常微分方程期末考试试题A卷

1、多练出技巧巧思出硕果常微分方程期末考试试卷一.填空题(共30分，9小题，10个空格，每格3分)。1、当时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。2、称为齐次方程。3、求包=f(x,y)满足(X。)y°的解等价于求积分方程的dx连续解。4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程dyf(x,y)dx的解y=(x,x。，y。)作为x,x。，y。的函数在它的存在范围内是。5、若xi(t),x2(t),.x3为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的充要条件是06、方程组x，A(t)x的称之为x'A(t)x的一个基本解组。7

2、、若是常系数线性方程组x/Ax的基解矩阵，则expAt=。8、满足的点(x*,y*),称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共腕虚根时，则当其实部时，零解是稳定的，对应的奇点称为o二、计算题(共6小题，每题1。分)。1、求解方程：立二x：1dxxy3多练出技巧巧思出硕果2、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程电dx313y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0,0）的一切解4、求解常系数线性方程：x"2x/3xetcost5、试求方程组x/Ax的一个基解矩阵，并计算eAt一1，其中A为46、试讨论方程组”axby,dycy（1

3、）的奇点类型，其中a,b,c为常dtdt数，且ac0o三、证明题（共一题，满分10分）。试证：如果（t）是x，Ax满足初始条件（t0）的解，那么-A(tt0)e答案多练出技巧巧思出硕果一、填空题。(30分)M(x,y)N(x,y)1、yx2、型f(y)dxxx3、y=y0+f(x,y)dxx04、连续的5、Wxi(t),x2(t,),.,xn(t)06、n个线性无关解7、(t)1(0)8、X(x,y)=0,Y(x,y)=09、为零稳定中心二、计算题。（60分）1、解：（x-y+1）dx-（x+y2+3）dy=02xdx-(ydx+xdy)+dx-ydy-3dy=01即1d2-1所以1x2x2-

4、d(xy)+dx-ldy3-3dy=0313ccxyx-y3yC32、解：曳2(xy)1,令z=x+ydx(xy)2则在1虫dxdxdz.2z1一1dxz2-z-dzz1dx所以-z+3ln|z+1|=x+C1,ln|z1|3=x+z+C1即(xy1)3Ce2xy多练出技巧巧思出硕果3、解:、3If12设f(x,y尸y3,则y3(y0)2y2故在y0的任何区域上f存在且连续,y因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,显然，y0是通过点（0,0）的一个解;13又由整2r解得，1y口产所以,通过点（0,0）的一切解为y0及|y|=(x03c)2(x(xc)c）,c0是常数4、解：(1)

5、2230,1,21.2i齐次方程的通解为x=et(c1cos.2tc2sin,2t)(2)1i不是特征根，故取x(AcostBsint)et代入方程比较系数得A=,B=-414154一,于是x(costsint)e41411通解为x=e(c1cos、.2tc2sin.2t)+(5cost4sint)e41-12c5、解：det(EA)=245043所以，11,251对应的特征向量为Vi多练出技巧巧思出硕果24V1可得Vi同理取V2所以,(t)=5tev25teAte(t)1(0)5te5te2e5t5te2et5te2e5t2et2e5t6、解：因为方程组（1）acc5t2e2e5t是二阶线性驻定方程组，且满足条件0,故奇点为原点（0,0）又由det(A-2(ac)ac所以，方程组的奇点（0,0)可分为以下类型:acc0奇点为结点a0,ca0,c0,稳定结点0,不稳定结点a,c为实数ac0奇点为鞍点（不稳定）0,奇点为退化结点0,奇点为奇结点0,c0,稳定结点0,c0,不稳定结点三、证明题。（10分）证明：设的形式为（t）=eAtC（1）（C为待定的常向量）多练出技巧巧思出