常微分方程阶段复习题

1、常微分方程第二阶段试题一.单选题1 .函数y=cos(x+C)(其中C为任意常数)所满足的微分方程是()(A)y，=_sin(x+C)；(B)y*+y2=1;(C)y，=sin(x+C)；(D)y*+2y2=2。2 .二阶线性齐次微分方程的两个解y=Q(x),y=邛20)成为其基本解组的充要条件是()(A)线性无关(B)朗斯基行列式为零(C)?®=c(常数)(D)线性相关2(x)3 .二阶线性齐次微分方程的两个解y=%(x),y=中20)不是基本解组的充要条件是()(A)线性无关(B)朗斯基行列式不为零(C)&Moc(常数)()线性相关2(x)dx4 .线性齐次微分方程组=A

2、(t)x的一个基本解组的个数不能多于()dt(A)n-1(B)n(C)n+1(D)n+25 .n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数不能多于()个.(A)n(B)n-1(C)n+1(D)n+26.设常系数线性齐次方程特征方程根r1,2=-1,区4=±i,则此方程通解为()(B)y=C1e«+C2cosx+C3sinx；(A)y=(C1+C2x)e«+C3cosx+C4sinx;(C)y=C1e"+C2cosx+C3xsinx；2x7.万程y"2y'=xe的特解具有形式(A)y*=Axe2x;(B)(C) y*=x(AxB)e2x;(D)(

3、D) y=C1e"(C2x)cosxC3sinx)。y*=(AxB)e2x;22xy*=x2(AxB)e。2(B)(Ax+Bx)cos2x(D)(AxB)cos2x8.微分方程y"+y=xsin2x的一个特解应具有形式(A)(AxB)cos2x(CxD)sin2x(C)Acos2xBsin2x9.微分方程y“+2y'+1=0的通解是()(A)y=(C1+C2x)e7；(B)y=C1ex+C2e-；2v11(C)y=C1+C2e-2x；(C)y=C1cosx+C2sinx-2x。210 .谷易验证：Yi=coswx,y2=sinwx(w>0)是二阶微分方程y+w

4、y=0的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。(式中CC2为任意常数)()(A) y=C1coswxC2sinwx(C)y=C1coswx2clsinwx(B) y=C1coswx2sinwx(D)y=C2coswxC2sinwx11 .微分方程y*-y=ex+1的一个特解应有形式()(A)aex+b；(B)axex+bx；(C)aex+bx；(D)axex+b12 .微分方程y+y'=sinx的一个特解应具有形式()(A)Asinx(B)Acosx(C)Asix+Bcosx(D)x(Asinx+Bcosx)13彳散分方程y"十y=xcos2x的一个特解应具有形式()(A)(A

5、x+B)cos2x+(Cx+D)sin2x(B)(Ax2+Bx)cos2x(C)Acos2x+Bsin2x(D)(Ax+B)cos2x14 .微分方程y+2y+1=0的通解是()(A)y=(G+Czx)e；(B)y=Ciex+C2e；2v11(C)y=C1+C2e/x；(C)y=C1cosx+C2sinxx02215 .设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y"+p(x)yq(x)y=f(x)的解，Ci,C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是()(A)C*+C2y2+y3；(B)Gy1+C2y2-(G+C2)y3；(C)Ciy+C2y2(1-CiC2)y3;(D)C1

6、y1*C2y2*(1C1C2)y316 .方程y+yP=0的通解是().(A)y=sinx+C1;(B)y=sinxcosx+C1;(C)y=sinx+cosx+C1;(D)y=C1sinxC2cosx+C3.17 .求方程y"+6y'+9y=xe,x的特解时，应令()(A)y=(axb)e"x;(B)y=x2(axb)eJ3x;(C)v=axe,x;(D)y=x(axb)e'x。18 .函数%(x),%(x)在区间a,b上的朗斯基行列式包为零，是它们在a,b上线性相关的().(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充分必要条件；(D)充分非必要条件.19 .

7、设函数中1(x),%(x)方程x"+p(t)x'+q(t)=0在区间a,b上的两个解，则其朗斯基行列式不为零，是它们在a,b上线性无关的().(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充分必要条件；(D)充分非必要条件.20 .设函数用O,%(x)方程x"+p(t)x'+q(t)=0在区间a,b上的两个解，则其朗斯基行列式区间a,b上某一点不为零，是它们在a,b上线性无关的().(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充分必要条件；(D)充分非必要条件.21 .函数邛1(x)，邛2(x)在区间a,b上的朗斯基行列式在a,b上某一点处不为零，是它们在a,b上线性无关

8、的()(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充分必要条件；(D)充分非必要条件.22 .n阶线性非齐次微分方程的所有解是否构成一个线性空间?()(A)是；(B)不是；(C)也许是；(D)也许不是.23 .两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有相同的基本解组?()(A)不可以(B)可以(C)也许不可以(D)也许可以dY.24 .若(x)是线性齐次万程组=A(x)Y的一个基解矩阵，T为非奇异nxn常数矩阵,dx那么(x)T是否还是此方程的基解矩阵.()(A)是(B)不是(C)也许是(D)也许不是25 .方程组x'=A(t)x()(A) n个线性无关的解X1(t),X2(t),Xn(t)称之

9、为方程组的一个基本解组(B) n个解Xi(t),X2(t),Xn(t)称之为方程组的一个基本解组(C) n个线性无关的解Xi(t),X2(t),Xn(t)称之为方程组的一个基解矩阵(D) n个线性相关的解Xi(t),X2(t),Xn(t)称之为方程组的一个基本解组26 .若6(t)和中(t)都是X'=A(t)X的基解矩阵，则()(A)5(t)=6(t)+C其中c为非奇异常数矩阵(B)中(t)=G(t)+C其中c常数矩阵(C)中(t)=6(t)c其中c为非奇异常数矩阵(D)甲(t)=6(t)c其中c为常数矩阵27.若(t)是X'=A(t)X的基解矩阵，则t1(A)，'(s

10、)f(s)dst0(C)；，(tr7£(t)tvJ(s)f(s)dsX=A(t)x=f满足x(t0)="的解()1t-(B);t*(t0)中力(t)f(s)dst0(D，(t)一(t0)>(t)t：j-1(s)f(s)ds28 .方程组x'=A(t)x的()称之为x'=A(t)x的一个基本解组。(A)n个线性无关解(B)n个不同解(C)n个解(D)n个线性相关解29 .n阶齐线性微分方程的()称方程的一个基本解组。(A)n个线性相关解(B)n个不同解(C)n个解(D)n个线性无关解30 .A、B为nn的常数矩阵，则下列式子错误的是()-A5A、U(A)

11、e=£(B)(e)=e«k!(C)eA4=eAeB)eT"T=T'(eA)TT为非奇异矩阵二.填空题1 .以y=4e3xcos2x为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为。2 .若X乂t),X2(t)，Xn(t)为n阶齐线性微分方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是3 .形如的方程称为欧拉方程。4 .若G(t)和中(t)都是x'=A(t)x的基解矩阵，则6(t)和中(t)具有的关系是5 .以y1=e2x,y2=xe2x为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为。6 .x(4)2x'"+x"=0的通解是7 .若(t)和中(t)都是

12、X=A(t)x的基解矩阵，则和5(t)具有的关系是8 .若(t)是x'=A(t)x的基解矩阵，则x'=A(t)x满足x(t0)="的解9 .设戟t)是x'=Ax的基解矩阵，中是x'=A(t)x+f(t)的某一解，则它的任一解穴t)可表为。10 .若x(t)(i=1,2，n)为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为11 .若Xi(t)(i=1,2，n)为齐线性方程组的n个线性无关解，则这一齐线性方程组的所有解可表为一12 .若Xi(t)(i=1,2,，n)为齐线性方程组的n个线性无关解，则这一齐线性方程组的基解矩阵为13 .若(t)是

13、x'=A(t)x的基解矩阵，则x'=A(t)x=f(t)满足x(t0)=*i的解14 .函数组e'e:e2t的伏朗斯基行列式为。15 .若x(t)(i=1,2,，n)为x'=A(t)x的一个基本解组，加)为x'=A(t)x+f(t)的一个特解，则x'=A(t)x+f(t)的所有解可表为。16 .若xi(t)(i=1,2，n)为齐线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为。一b'_.、2'_._.17 .若领t)是x=A(t)x的基解矩阵，则向量函数中(t)=是x=A(t)x+f(t)的满

14、足初始条件中(t0)=0的解；18 .若G(t)是x=A(t)x的基解矩阵向量函数中(t)=是x=A(t)x+f(t)的满足初始条件中(t0)的解。19 .若矩阵A具有n个线性无关的特征向量Vi,V2,，Vn,它们对应的特征值分别为,九2,九n，那么矩阵(t)=是常系数线性方程组x'=Ax的一个基解矩阵。20 .若x1(t),x2(t),.x3(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是21 .若(t),x2。),.为一阶齐线性方程组的n个解，则它们线性无关的充要条件是22 .方程组x/=A(t)x的称之为x/=A(t)x的一个基本解组。23 .若G(t)是常系数线性方程

15、组x/=Ax的基解矩阵，则expAt=。24 .形如的方程称为欧拉方程。25 .n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个.26 .n阶非齐次线性微分方程的任意两解必为其相应的齐次线性微分方程的解三.求高阶微分方程的解d2xtdx11.试验证2+-x=0有基本解组t,e,并求万程dt21-tdt1-t,2dxtdx1一厂+-x=t-1的通解。dt21-tdt1-tx2.2y"：；y'-y=2e3 .xx=sint-cos2t4 x'-x=costt5 .x-6x9x=e6 .求方程x''ex'+5x=e2t的解。7 .求微分方程yy"

16、;+y°=0的通解。8 .y3y-149 .求y“ay'2=0,满足y.xz0=0,y'x田=1的特解四.求解下列方程组的解x=2x3y1.解方程组iry=3x2yx=2x3y2.已知Wy的基解矩阵为y'=3x2y55te5t<ex=2x3y5tj'=3x+2y+8et的通解dx3.L吆=2x-y,dt4.dxdymt二xy-2x3y5.dx一=x+y4dtdy=4x+ymt21.6 .若A=试求方程组x=Ax的解中（t）,中（0）="=I1并求%4一也一12、7 .试求方程组x=Ax的一个基解矩阵，并计算expAt,其中A为<4

17、3J五.应用题11.试求y=x的经过点M（0.1）且在此点与直线y=jx+1相切的积分曲线.4expAt2.求微分方程y"+2y'-3y=0的一条积分曲线，使其在原点处与直线y4x相切。六.综合题x1.设f(x)=sinx-J(xt)f(t)dt,其中f(x)为连续函数，求f(x)2.设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,f'(0)=1,且为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解。七.证明题1.设Xi(t),X2。),.,%斗。)是方程x(n)+a1(t)x(n)+.十an(t)xaXt)x=f(t)的n+1个线性无关解，证明微分方程的任一解恒能表为：x(t

18、)=GX(t)qx2(t).2.n阶线性齐次微分方程一定存在a%。)+Cn平Mt)且G+C?+.十孰十a卅=1n个线性无关解。是方程组21；xii,在任何不包含原点的区间a<t<b±的基解矩阵。(0)=E),证明：4 .设6(t)为方程x'=Ax(A为nxn常数矩阵)的标准基解矩阵(即(t仲九t0)=(t-t0)其中to为某一值.5 .试证：如果中(t)是x'=Ax满足初始条件5«0)=刈的解，那么：(t)=eA(t-t0)6 .假设m不是矢I阵A的特征值，试证非齐线性方程组x'=Ax+cemt有一解形如中(t)=pemt，其中c,p是常数向量。7 .假设y=平(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题y"+ay，+by=0:y(0)=0,y，(0)=1x的解，试证y=I穴xt)f(t)dt是