常微分方程读书报告

1、读书报告一读haroldlevine偏微分方程微分方程不经在纯粹数学而且在应用数学中都起到了中心作用，对它的研究已经提供了具有重大理论和实践价值的结果。这些方程，例如以直接的方式表示了newton的动力学运动基本定律，并且使得对行星运动的第一次定量描述成为可能。随后，陈述有关流体和带电粒子的运动、热和质量的传递、地震和大气的运动以及无数物理、化学、工程现象的基本定律的微分方程的建立和得到认同显示了微分方程的崇高地位。科学各领域的研究的开创阶段往往是比较短的，把所考虑问题的描述性变量联系起来用一个或者多个微分方程的详细描述是这个阶段的特色；而在随后时间要更长一点的发展阶段，中心问题是对上述方程求

2、解。为了从原来的微分方程已有的无穷多个解当中挑选出一个特定解，就需要补充的方程或条件；为确保整个方程组有唯一解，充分考虑这些条件就成为必要的了。通过引进新的概念，以适定问题为特征的求解方程组的巨大进步来临了，从此这个新概念被认为是数学推理发展中的一个里程碑。其中值得注意的是两位新道路的开拓者，fourier和heaviside所依靠的是猜测性推理，他们把为他们的建议提供坚实数学基础的必要工作留给其他人去做。借助于微分方程的公式化表述而得到满意解决的方程的数量以及大量可以应用的理论都在稳定的增长。这本书主要涉及比较简单的线性方程，同时伴有由于通常需要求得满足事先规定的条件的解而引起的复杂性；它是

3、在经典框架内的直接方法以及相关理论的广泛地概述。第一章为偏微分法，主要讲了偏导数概念，全微分或由自变量的无穷小改变所产生的相关函数的改变。变量变换，函数关于原来的自变量和变换后的自变量的偏导数之间的关系。自变量的变换导致的偏微分方程的转换以及复合函数微分法。第二章为偏微分方程的解及其具体确定，主要讲了通过指定数据来确定两个自变量的线性偏微分方程的特解。沿一条平面曲线给出函数值的一阶方程的解，沿一条平面曲线分别给出函数值及其法向导数值的二阶方程的解。特征线和二阶偏微分方程的标准形式。关于特征线上的数据的特性。第三章为偏微分方程和有关的任意函数，偏微分方程的解中任意函数的出现，从自变量和因变量的显

4、式或隐式关系式中削去任意函数后导出的偏微分方程。描述旋转曲面的偏微分方程。含有任意函数的偏微分方程确定了一族平行曲面或平面曲线，以及完全积分。第四章为偏微分方程的特解，主要讲了由多个函数的乘积构成的解，每个函数是一元函数且是常微分方程的解。含有分离常数或参变量的解，偏微分方程和具有物理性质的连续模型或宏观模型之间的联系。形式不变性和坐标变换，laplace微分算子和空间对称性。第五章为相似解，主要讲了根据自变量的无量纲组合构造的解，保持偏微分方程形式不变的特殊的自变量，因变量的构造性作用。适当的变量替换后偏微分方程转换为常微分方程。变换群以及与流体流过平板相关的相似解。第六章为适定问题，主要讲

5、了确定解的连续依赖性作为提得正确的问题的一条准则。不适定问题的例子。第七章为一阶线性偏微分方程的一些预备知识。主要讲了一般的两个自变量的一阶线性偏微分方程与沿特征平面曲线或迹线的一阶常微分方程的等价性。在确定解的存在区域时迹线的作用。在迹线的两侧有不同的表示式的复合解及其导数在迹线处的不连续性。能够消去偏微分方程中一项偏导数的与迹线族有关的自变量变换。第八章为两个自变量的一阶线性偏微分方程，主要讲了用三维曲面对解作几何描述。解曲面的线元和切平面，用一组带参变量的常微分方程来确定空间特征曲线。为比较求解步骤的说明性例子，初值问题：包含一条空间曲线的解曲面的选取，特征曲线和指定数据的曲线的参变量表

6、示的结合使用。非齐次偏微分方程的一个例子，描述特征曲线的带有一个参变量的三个常微分的一般特性。第九章为一阶非线性偏微分方程，主要讲了单向车流模型中提出的拟线性方程与单向波运动的线性方程相对照，并利用特征常微分方程以及初始条件来分析一个特例。解对初始数据的敏感依赖性，相交迹线和迹线的包络。非均匀解的性态，通过在其上指定数据的空间曲线的拟线性偏微分方程的积分曲面。借助于乘子的积分法，积分曲面与切平面，偏微分方程的隐式解和通解。第十章为某些技术问题和有关的偏微分方程。主要讲了守恒型关系以及在假设了模型的互相关系的描述性度量间的函数依赖性关系之后转换为偏微分方程。对于可变波长和频率的波串的详细阐述。群

7、速度和能量密度的确定，基于守恒关系和吸附剂与溶质间相互作用的速率定律的色谱模型的分析。第十一章为两个自变量的一阶偏微分方程，一般理论。主要讲了三维解曲面的几何：在任何一点处偏微分方程的积分平面元及其锥包络。曲面带或平面元素，积分特征带，积分曲面上的特征曲线的五个参数微分方程。cauchy问题：确定过一条预先选定的空间曲线的积分曲面。第十二章为多个自变量的一阶偏微分方程，主要讲了特征曲线的多参数常微分方程组，描述偏微分方程解的该微分方程组的积分，非齐次拟线性偏微分方程，euler方程及其解。第十三章为边值问题的fourier方法来源详述，主要讲了fourier对带有辅助条件的二阶偏微分方程的划时

8、代的研究工作，他的书中有关由两条平行线以及与他们垂直的一段直线所围得半无限平面区域上laplace方程解的细节，其中在两条平行线上取值为零，而在垂直线段上取值为1;解释为平板中的定长温分布。包含在两条平行边界线上取值为零且确保其正常局部形态的特殊三角函数组成的分离变量级数解的形式。把一个常数与一个三角级数及其系数的确定联系起来。验证是解，关于fourier分析的意义及其技术缺陷的评注。第十四章为本征函数与本征值，主要讲了本征函数是由一个常微分方程和一对分开的边界或端点条件组成的齐次方程组的非平凡解；本征值是使得该齐次方程组存在非平凡解的特殊的参数值，与偏微分方程边值问题的联系，由不同的边界条件

9、区分的热传递或热扩散线性偏微分方程的特殊例子。本征函数的积分性质，即两个不同的本征函数之积在边界点之间的区间上的积分为零。由给定的初始条件确定的本征函数展开，由本征函数基的积分性质来决定这种展开中的系数，既有正本征值又有负本征值的可能性及其解释，本征函数的图形。第十五章为本征函数与本征值续，主要讲了周期边界条件和具有共同本征值的相性无关本征函数的存在性。包含不同本征函数集的级数中系数的确定，带有依赖于参数的边界条件的修正扩散偏微分方程，本征值对参数的依赖性及其物理解释。第十六章为非正交本征函数，主要讲了本征函数集中不同本征函数的乘积的不为零的例子：新的特点，分别包括关于自变量的一阶偏导数的边界

10、条件，确定基于这种本征函数展开中单个系数的方法。第十七章为fourier分析中的进一步例子，主要讲了边值给定的情况下圆域内laplace方程的解，要求所建立的本征函数基具有单值性和正则性的条件下应用极坐标，本征函数级数的求和以及把解表为单个的定积分的形式，一对耦合的一阶偏微分方程边值问题的分析。第十八章为非齐次问题，主要讲了具有一个系数参数以及在两个不同点处的一对边界条件的一个常微分方程；解表为相应的其次问题的本征函数或非平凡解的级数，验证它是解，由扩散偏微分方程、两个非齐次边界条件和一个初始条件组成的方程的解，分两部分来求这个解，其一显然要满足非齐次边界条件，而另一部分则由直接应用fouri

11、er分析得到。一个例子：非齐次偏微分方程有一个特解，从而便于构造该方程的完全解。用相关的本征函数的展开式来直接求解微分方程和边界条件都是非齐次方程的解。从各常微分方程以及初始条件得到展开式中的系数函数，有关解的渐近行为的详细说明的例子和注解。第十九章为局部热源，主要讲了用处处连续但又有不连续的一阶导数的温度分布来描述局部热源，该不连续的一阶导数蕴含着热流量从源点消散，定常源两边的温度的本征函数展开，由一族常微分方程导出的解的渐进式以及相容性检验，位于闭圆环中的一般时变热源和瞬时作用热源。第二十章为一种非均一结构的问题，主要讲了由两段组成的复合杆中的一维扩散，在两段的热参数不同，在各自段中偏微分

12、方程的适当解并要求解在接触点处一致，本征函数及其在确保满足初始条件中的作用。第二十一章为其他的本征函数，主要讲了弹性波偏微分方程以及在特殊边界条件下出现的复本征值，具有混合偏导数项的修正二阶波动方程，以及复值本征函数，利用本征函数级数来满足一切初始条件，四阶偏微分方程的本征函数和本征值。第二十二章为解的唯一性，主要讲了给定一个初始条件和一对边界条件后齐次扩散偏微分方程解的唯一性的解析证明，有自变量的两对值所确定的平面矩形区域上扩散方程连续解的最大值原理。利用区域上的积分和曲线积分结合微分恒等式得到扩散和波动偏微分方程解的性质。第二十三章为解的替代表示，主要讲了具有唯一解的适定问题的不同表示形式

13、是可能的，对包含扩散偏微分方程的方程组在时间的大小值处各自的级数解是快速收敛的证明，因此具有互补作用。这本书中讨论了大量的例子，而且有许多有价值的数值方法，近年来我们亲眼目睹了迄今还是难以完全解决的微分方程，即非线性微分方程研究中取得的惊人进步，这反映了对理论分析和数值分析两者精巧的应用。篇二：偏微分方程的读书报告读书报告读王明新非线性椭圆型方程此书系统地介绍了二阶线性椭圆算子的特征值理论，半线性椭圆型方程和方程组的上下解方法及其应用，拓扑度理论和分支理论及其应用，方程组的解耦方法，nehari流形方法及其应用，p-laplace算子的特征值理论和p-laplace方程（组）的上下解方法及其应

14、用。本书选题先讲，内容新颖丰富，大部分内容取自同行近几年发表的论文（最新的内容是2009年发表的）。由于我是入学后才读此书，我只读了其中的部分内容，这里我只对前六章的内容写个读书笔记。书中罗列了同行近几年发表的论文，对读者来说，有难度，同样也是训练读者查参考文献的能力。此书的第一章内容是介绍后面要用到的相关的预备知识。第一节，书上对于banach空间，引入了frechet导数和g?ateaux导数（以下简称为f导数和g导数）。定义（f导数）称f在点x0?处是f可微的，如果存在有界线性算子a?l?x,y?,使得f（x0?u）?f?x0?au?0?r?当u?r?0时.算子a成为f在x0处的f导数.

15、定义（g导数）设f:?x?y,x0?.对任意的h?x,当t适当小时都有x0?th?,并且极限limt?0f?x0?th?f?x0?tf导？?g导.g导连续由定义我们可以看出，f导比g导难求。利用这个关系，在求算子的f导数的时候，我们可以转化为求g导，然后只需证明求得的g导是连续的，利用上面的关系，就知道，我们所求得的g导就是f导，这样，我们就把复杂的难于求的f导转化为易求的g导。而本书中后面多次提到了求f导数。第二节介绍了无条件局部极值的定义、存在性和必要性。这一节的内容类似与微积分中学过的一元或是二元函数的局部极值的定义和费马定理，学习的时候结合内容记忆起来方便。第三节介绍了在拟线性方程的边

16、值的非负非平凡解的存在性方面的一个应用，前面讲到的知识在例子中多次被用到。第二章主要介绍二阶线性椭圆算子的特征值问题。我以前读过叶其孝编写的反应扩散方程中有介绍二阶线性椭圆的特征值问题，内容较少，篇幅不多，而这本书中较大篇幅的介绍了二阶线性椭圆的特征值问题，并且内容也比较丰富，可以说是这方面内容的经典汇总。然而，对于二阶线性椭圆的特征值问题，到目前为止，只是第一特征值的研究比较全面，至于第二特征值以及再高的特征值的研究很贫乏，这方面可作的东西非常多，也可以说是对我们读者来说的一个指引作用。书中先介绍了一般形式的二阶线性椭圆算子的特征值问题：nn?lu?aij?x?diju?bi?x?diu?c

17、?x?u?u,x?i,j?1i?1?bu?0,x?这里的bu?0指的是dirichlet边值条件、neumann边值条件和robin边值条件。假设(a)l是一致椭圆的；(b)aij?x?,bi?x?,c?x?c?.由于此类算子的特征值结构非常复杂，书中介绍的主要是主特征值的内容，相关的结论是：上述的特征值问题有唯一的主特征值，与它对应的特征函数在？内是正的或者负的；其余的非主特征值对应的特征函数如果是实函数，那么它一定在？内改变符号；并且特征值的个数是可数个：？1,?2.?.?n,?。还有几个重要的结论：1.假设c?x?0,?1是特征值问题?u?c?x?u?u,x?u?a?x?b?x?u?0,

18、x?的主特征值，并且还是实的和简单的，其中(1) a?x?0,b?x?0,或者(ii)a?x?1,b?x?0.如果c?x?0或者b?x?0,则？1?0.如果c?x?b?x?0,则？1?0.2.设q?c?,k是一个常数。如果存在正函数?,使得?q?x?ku,x?0,x?则？1?q?k.进一步，如果上式不是恒等式，则？1?q?k.其次是考虑的散度型的二阶线性椭圆算子的特征值问题：n?lu?dj(aij?x?diu)?q?x?u?u,x?i,j?1?bu?0,x?假设(a) l是一致椭圆的；(b) aij?x?c1?,q?x?c?,b?x?c?.由于此算子是对称算子，故它的特征值的具有非常清晰的结构

19、。相关的结论有：(1)特征值全是实数；(2)不同的特征值所对应的特征函数是正交的；(3)特征值的极小原理和极大-极小原理；(4)特征值是无界的，即lim?k?;k?(5)特征函数系是l2?中的一个完备正交系；(6)特征值的变化(特征值关于q(x)是单调增加的，dirichlet边值问题的特征值关于区域是单调减少的)；(7)特征值连续依赖于系数aij?x?,q?x?,b?x?;(8)若q(x)?c?,k为常数，？m?q?是问题?u?q?x?u?u,x?u?0,x?的第m个特征值，则？m?q?k?m?q?k(9)非完全耦合的二阶线性椭圆方程组的特征值问题：设c?c?,算子m?i,j?1?d(a?x

20、?d)?a?x?,n?d(a?x?d)?b?x?都是ii,j?1nn区域？上的一致椭圆算子，特征值分别记为？i?i?1和？i?i?1,系数a,b,aij,bij?c?.定义l?u?v?mu?c(x)v?l?,则算子的谱仅由特征值构成，并且？?l?ii?1ii?1；?nv?(c) )poincare不等式：(与sobolev空间的poincare不等式对比记忆)(i)记？1?0是算子？?在？上带有齐次dirichlet边界条件的第一特征值，则u122?1?11?,du2,?u?h02并且?1是使得上式成立的最小常数，也称为最佳嵌入常数。(ii)记？2?0是算子？?在？上带有齐次neumann边界

21、条件的第二个特征值，则u?u?122?1?2?u2,?u?h1?,2?u?0,?并且?2是使得上式成立的最小常数，也称为最佳嵌入常数。补充：(bessel不等式)设x是一个内积空间，如果s?e?是x中的正交规范基，那么？x?x,有2?x,e?x.2?研究特征值问题的意义目前主要在于研究主特征值，因为主特征值所对应的特征函数在整个定义域内不改变符号，即恒正或是恒负，这对于后面要讲的生态模型的正共存解的存在性起到关键的作用，这也是本书中在讲共存解时多次采用的方法，这也给读者在研究问题的时候提供了一种很有用的方法。第三章介绍了椭圆型方程的上下解方法(利用上下解得到解的存在性的方法称为上下解方法)，此

22、法是研究非线性偏微分方程的一种重要方法。对于一个非线性偏微分方程的定解问题，只要比较原理成立，都可以利用上下解方法来处理。上下解方法非常简单初等，结构又非常深刻。这种方法即给出了解的存在性，又给出了解的估计。但此法也有困难的地方，那就是构造合适的上下解。下面先给出一个一般形式的比较原理，然后依次给出方程式和方程组的上下解方法，最后结合叶其孝编写的反应扩散方程总结一下构造上下解的方法。(比较原理)假设？是？中的一个有界区域，函数q?x?在？内非负连续，?(x)?l?,n?常数？?(0,1，非负函数g(s)?c?(0.?.又设函数u1,u2?c?并且在？内是正的，在1分布意义下满足?u1?(x)u

23、1?q?x?g?u1?0?u2?(x)u2?q?x?g?u2?,在边界附件满足d(x,?)?0?1?limsupu1?u?0.21?如果(1)当0?1时，函数g?ss?关于s?inf?u1,u2?,sup?u1,u2?单调不减；?(2)当？1时，q?x?是非负非平凡的连续函数,g?ss?关于s?inf?u1,u2?,sup?u1,u2?严格单增，?则u1?u2在？内恒成立。注：由上面的比较原理，得边值问题?u?(x)u?q?x?g?u?0,x?x?u?x?,有唯一的正解。下面具体来总结一下方程式的上下解方法。先对拟线性方程，利用不动点定理证明：如果所讨论的问题具有有序的上下解，那么它在上下解之

24、间一定有解；其次对半线性方程，借助有序上下解构造单调迭代序列，进而得到位于上下解之间的最大解和最小解的存在性。设？是？中的一个有界区域，边界？?cn2?,算子l?i,j?1?andij?bidi?ci?1n在？上是一致椭圆算子，系数属于c?.边界算子bu?au?b都是非负函数，并且a（x）?b（x）?0.考虑下面的边值问题?u,其中a,b?c1?nn?lu?aijdiju?bidiu?cu?f?x,u,du?,x?i,j?1i?1?bu?,x?定义（上下解）函数u,?c1?c2?分别称为上述问题的上下解，如果?lu?fx,u,du,x?x?bu?,?篇三：读书笔记常微分方程笔记一.常微分方程的

25、引入关于微分方程的引入问题，众多的教材大多有以下几种模式：1 .通过直接定义微分方程，即是个含有函数（单变量，或多变量）及其有限阶导数的方程。这种引入的前提是熟知函数，导数，微分的概念，拓广了一般的方程的概念。（这种模式常见于国内的许多常微分方程教材）2 .从最简单的一阶常微分方程开始，逐步拓展微分方程的概念。而引入一阶微分方程，则先介绍它的模型：malthus人口模型及logistic人口模型。3 .从高层次的观点看微分方程（阿诺尔德）。常微分方程理论是数学科学的一门工具，他的研究对象是指满足如下三个特征的过程：确定性，有限维性，可微性。确定性是指，过去和未来的状态都可以用现在唯一确定。有限

26、维性是指其相空间是有限维的，即表示其状态的参数是有限个的。可微性是指他的相空间具有可微流形的结构，并且它的状态随时间的改变是由可微函数来描述的。1 的实用性较高，很快就可以开始解一些非定性的线性方程，但是这种模式，不利于长期的掌握常微分方程的解法，容易遗忘，所以一般会采取多做题的方法来加深印象，故中国的许多教材均采取这一做法。2 的方法基本上就是欧美数学教材的模式，循序渐进，从令人有兴趣的问题开始，逐步加深对常微分方程的理解。其重点不在解常微分方程（这点非常好，因为很多人会以为学常微分方程就只是为了解方程），而会引入更加直观的相图。3 其实适合于已经学过常微分方程的人复习，可以很全面的把握，并

27、且有了更高的观点,有了很多新的概念，包括微分同胚，相流等。2 .常微分方程的最基本解法：变量分离常微分方程如果要想最简单，肯定是等式左边只有一阶的导数，右边只含自变量。那么这样就可以直接两边积分，从而得解。实际上，并不是且大多时候都不是这种情况，复杂情况和这种最简单的情况之间有个折中，就是两边都只有互不相同的变量，将它们分别积分即可，这就是变量分离最基本的想法。可以使用变量分离的方程：直接变量分离的方程：y=f(t)可变量分离的方程：y=g(t)f(y)可化为可变量分离的方程：可能通过变换和换元来化为可分离。(其实应该也可以化为上一类吧)其中比较特殊的是：齐次方程y=g(y/t)做变换u=y/

28、t,就有u=(g(u)-u)/t3 .一阶常系数线性微分方程1 .基本概念：方程的阶：就是最高阶导数的阶，用微分算子表示的话就类似于代数方程的次数；线性是指：微分方程的微分算子是线性的，即满足：I1(y)+l2(y)=(l1+l2)(y);l1(ky)=k*l1(y)(k为常数)。大多见到的形式就是l是多项式型的，看起来就是没有yA(i)*yA(j),0<=i,j<=n。另外若是齐次(前提是线性)的话是指：l(y)=02 .线性原理及该方程的解法步骤线性原理：基于一阶常系数线性微分方程的线性特性，所以如果微分方程是其次的话就有：若y(t)为y=a(t)y的解，那么对

29、任意常数k,有ky(t)也是方程的解。其直接推论就是解决了线性方程的通解问题将其推广可以得到非线性方程的通解为：ky_h(t)+y_p(t),其中k*y_h为对应齐次方程的通解，y_p(t)为非齐次方程的特解。所以对任意的线性微分方程，求解的顺序就是(1)齐次通解(2)非齐次特解(3)add3 .常数变易法在实践中解决一阶非线性线性微分方程时，发现其最终和齐次方程的解之间只相差一个因子，而在齐次方程中对应这个因子是个可变常数。由此有了所谓的常数变易法，可以直接求得一阶线性非齐次方程的通解。实则就是一种待4 .积分因子法积分因子法与常数变易法差别其实就是改变了实现目的的两个必经步骤的顺序。常数变

30、易法是先假设已经解决其次与非齐次之间的过渡，直接用了其次的结论：可分离变量。而积分因子法则是将方程化为可分离变量的微分方程。做法具体是：(1) 移项先化为其标准式：y+a(t)t=b(t)(2) 将上式左边看成乘积的导数用链式法则的结果，故要乘上一个参函数。m(t)y+m(t)a(t)y=m(t)b(t)假定存在：d(m(t)y(t)/dt=m(t)y(t)+m(t)y(t)=m(t)y(t)+m(t)a(t)y(t)即：m(t)=m(t)a(t)这是个齐次方程，m(t)=eA(integrala(t)dt)是一个解。于是，m(t)y(t)=integralm(t)b(t)dty(t)=1/m

31、(t)*integralm(t)b(t)dt6.数值方法：欧拉方法求微分方程y'=f(t,y),y(t_0)=y_0的解，从y_0开始按照一定的步长St,将上述问题化为y_n+1=y_n+f(t_n,y_n)8t,t_n=t_0+nSt.为了追求更高的精度，可以取一个半步长。y*_n+1=y_n+f(t_n,y_n)St,y_n+1=y_n+1/2f(t_n,y_n)+f(t_n+1,y*_n+1)8t改进的欧拉方法具有二阶精度。7. 解的存在性与唯一性存在性：f(t,y)连续区域中的一点的附近存在是初值的解。唯一性：连续区域中满足关于y的利普西斯条件1|f(t,y1)-f(t,y2)

32、|<=l|y1-y2|,其中l=const>0，则解是唯一的。唯一性可以经常简化为f对y的偏导数连续【充分不必要】，则有界。缺失唯一性【不存在偏导数】例子：y=3/2*yA1/3,y(0)=0有三个解。8. 一阶自治方程其实就是最初引入的人口模型对应的方程，y(t)=y，自治，就是表面上看不到t的影子。一阶自治方程有相线法来描述解的某些性质。由存在唯一性定理可知非稳定解的图像会无限接近稳定解但不会相交，是渐进的。平衡点的种类看t增加时的状态：若t增加，相图像箭头越靠近平衡点，则成为汇，反之称为源。若两者都不是，则成为结点。从相线上看，会就是有两边箭头指向的点，源相反

33、，而结点就是一进一出。判断平衡点方法：f(y0)=0若f(y0)>0,则y0是源；若f(y0)<0,则y0是汇；若f(y0)=0,则y0需要进一步的信息才能决定；9. 分歧单参数的微分方程族，随着参数的变化可能会改变稳定点的个数或者是符号：鞍结点分歧(2->1->0),音叉分歧(3->1),跨越分歧(改变符号)篇四：数学物理方程读书报告数学物理方程读书报告遥感与数字地球研究所徐焕201428007010031数学物理方程这门课主要是为非数学专业理工科研究生的公共选修课，介绍偏微分方程的基本解法，变分法的基本思想和在求解常微偏

34、微分方程中的应用，提高学生解决实际问题的数学能力。通过学习我基本上在原本的基础上对于定解问题、行波法、分离变量法等基本掌握，对于基本解方法和变分法等问题有了初步的熟悉和运算。具体而言本课程具体内容总结如下：第一章定解问题基本概念；三类基本方程；定解问题：第二章行波法duhamel原理；一维波动问题；空间波动方程：第三章分离变量法分离变量法的一般原则；本征值问题；曲线坐标系；特殊函数：第四章基本解方法热传导方程的基本解和初值问题；波动方程的基本解和初值问题；场位方程第一；边值问题的格林函数：第五章变分法泛函求导；泛函的极值问题；euler-lagrange方程；lagrange乘子理论。现在具体

35、分析每一章具体内容，着重分析泊松方程的格林函数法，内容如下：第一章讲了数学模型的建立以及方程的定解条件和定解问题。在研究物理、力学和工程技术的过程中会遇到一些问题，要求反映物理模型的某种规律，这就需要建立起相应的数学模型，然后运用那个数学理论和方法求解这个数学模型，掌握有关物理量的变化规律。本章首先讲了偏微分方程的一般概念，并讨论了在偏微分方程理论中经常遇到的线性算子和对于线性偏微分方程的解成立的三个叠加原理。然后介绍了三大类二阶线性偏微分方程：双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程，它们的典型代表分别为：波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程(泊松方程)。在介绍波动方程时，推导出了一维波动方程、m维

36、波动方程及梁的横振动方程。从弦的横振动方程的推导过程可以知道，物体的振动产生了波的传播。热传导方程描述了热传导现象。拉普拉斯方程描述了电场中的势的分布规律。为了描述在特定条件下的物理状态的规律，不仅需要建立方程，还需要附加反映边界状态的边界条件以及与初始状态有关的初始条件。第二章介绍了行波法和duhamel原理。在求解常微分方程时，一般先求方程通解，通解含有任意常数，再利用初始条件确定这些常数。行波法就是仿照这个办法求解偏微分方程定解问题。先求偏微分方程的通解，而通解含有任意函数，再利用定解条件确定这些函数。行波法是求解无界域内定解问题的有效方法，但是只适用于很少的定解问题，如波动方程。第三章

37、介绍了求解偏微分方程最常见、最基本的方法一分离变量法。分离变量法的物理背景是波动现象，但是它不仅适用于波动方程，也适用于热传导方程、拉普拉斯方程以及某些形式更复杂的方程和方程组。分离变量法的基本思想是：利用变量分离形式的特解，将求解偏微分方程的定解问题化为求解常微分方程的问题，再利用定解条件和有关数学理论和方法求得定解问题的解。在利用分离变量法求解定解问题的过程中，都会涉及到求解特征值的问题。一个线性变换的一个特征向量(本征向量)是一个非退化向量，其方向在该变换下不变。该向量在该变换下缩放的比例称为其特征值(本征值)。第四章介绍了基本解法。热传导方程的基本解和初值问题；热传导问题和扩散问题满足

38、热传导方程。热传导方程式(或称热方程)是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用方程式表达，其中u=u(t,x,y,z)表温度，它是时间变量t与空间变量(x,y,z)的函数。/是空间中一点的温度对时间的变化率。uxx,uyy与uzz温度对三个空间坐标轴的二次导数。k决定于材料的热传导率、密度与热容。如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程唯一解，必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点

39、源在一定的边界条件和(或)初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。一、泊松方程的格林函数法为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。设u(r)和v(r)在区域t及其边界？上具有连续一阶导数，而在t中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分？?u?v?ds?化成体积积分?u?v?ds?(u?v)dv?u?vdv?u?vdv.?ttt(12-1-1)这叫作第一格林公式。同理，又有?v?u?ds?v?udv?u?vdv.?tt(12-1-2)(12-1-1)与(12-1-2)两式相减，得?(u?v?

40、v?u)?ds?(u?v?v?u)dv,t亦即?u?v?u?v?ds?(u?v?v?u)dv.?n?n?t(12-1-3)?n表示沿边界？的外法向求导数。(12-1-3)叫作第二格林公式。现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是?u?f(r),(r?t)第一、第二、第三类边界条件可统一地表为(12-1-4)?u?u?(m),?n?(12-1-5)其中？(m是区域边界？上的给定函数。？=0,?金0为第一类边界条件，？金0,?=0是第二类边界条件，？、?都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫

41、作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。5.3中介绍的？函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v(r,r0)表示位于r0点的单位强度的正点源在r点产生的场，即v(r,r0)应满足方程?v(r,r0)?(r?r0).(12-1-6)现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以v(r,r0)乘(12-1-4),u(r)乘(12-1-6),相减，然后在区域t中求积分，得?(v?u?u?v)dv?vfdv?u?(r?r0)dv.ttt(12-1-7)应用格林公式将上式左边的体积分化成面

42、积分。但是，注意到在r=r0点，?v具有？函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域t中挖去包含r0的小体积，例如半径为？的小球k?(图12-1),?的边界面为？。对于剩下的体积，格林公式成立，？v?v?u?u(v?u?u?v)dv?v?uds?v?u?ds.?n?n?(12-1-8)t?k?n?n?把(12-1-8)代入挖去k?的(12-1-7),并注意rwr0,故？(rr0)=0,于是?v?v?u?uv?uds?v?u?ds?vfdv.?n?n?n?nt?k(12-1-9)?r当？r0?1,方程(12-1-6)的解v(r,r0)->位于点r0而电量为一？0的?r点电荷的静电场

43、中的电势，即一1/4?r0。令？-0,得(12-1-9)右边一->左？?vfdv,t边的?v?u?u?11?2?ds?d?n?n4?4?u?ud?0?nr?r?n?0?v?11?1uds?u?ds?r?4?r?4?左边的？n?12?u?rd?u(r).0?2r?这样，(12-1-7)成为(12-1-10)?u(r0)?v(r,r0)f(r)dvt?v(r,r0)?u(r)?v(r,r0)?u(r)ds.?n?n?(12-1-11)?(12-1-11)称为泊松方程的基本积分公式。(12-1-11)将(12-1-4)的解u用区域t上的体积分及其边界上的面积分表示了出来。那么，能否用(12-1

44、-11)来解决边值问题呢？我们看到，(12-1-11)?u中需要同时知道u及？n在边界？上的值，但是，在第一边值问题中，已知?u的只是u在边界？上的值；在第二边值问题中，已知的只是？n在边界？上?u的值。在第三边值问题中，已知的是u和？n的一个线性关系在边界？上的?u值，三类边界条件均未同时分别给出u和？n的边界？上的值。因此，我们还不能直接利用(12-1-11)解决三类边值问题。其实，这里距离问题的解决已经很近了。原来，对于函数v(r,r0),我们还只考虑其满足方程(12-1-6)。如果我们对v(r,r0)提出适当的边界条件，则上述困难就得以解决。对于第一边值问题，u在边界？上的值是已知的函

45、数？(m)。如果要求v满足齐次的第一类边界条件v？0,(12-1-12)？u？u则(12-1-11)中含？n的一项等于零。从而不需要知道？n在边界？上的值。满足方程(12-1-6)及边界条件(12-1-12)的解称为泊松方程第一边值问题的格林函数，用g(r,r0)表示。这样，(12-1-11)式成为？g(r,r0)u(r0)？g(r,r0)f(r)dv？(r)ds.？nt？(12-1-13)？v？v？0.？n？对于第三边值问题，令v满足齐次的第三类边界条件，(12-1-14)满足方程(12-1-6)及边界条件(12-1-14)的解称为泊松方程第三类边值问题的格林函数，也用g(r,r0)表示。以

46、g(r,r0)乘(12-1-5)式两边，得?u？g？gu？g？.？n？篇五：计算科学导论读书报告计算科学导论读书报告刘青山引言：刚入大学不长时间，我自己对专业的认识不足，不知道自己应该重点学什么，朝着什么方向发展，甚至更不知道从何学起。但是，经过将近半年的时间对计算科学导论这一课程的学习，我受益匪浅。导论老师教给了我们学什么，怎么学，这对我们计算机科学与技术专业的学生有着至关重要的影响。在老师的带领下，我们对这一专业有了清醒的认识，并对今后的发展方向有了初步的认识。一、对计算机科学与技术学科的初步认识(1)对计算机发展的初步认识计算机的发展不是一蹴而就的，而是经过漫长的历史过程。1946年由冯

47、诺依曼发明的eniac是世界上第一台电子计算机，它的产生明确了计算机的五大部分：运算器、控制器、存储器、输入设备、输出设备，并使用二进制运算代替了原来十进制运算，对今后计算机的发展有着巨大的影响。随后又经历了第一代计算机(电子管19511959)、第二代计算机(晶体管19591963)、第三代计算机(集成电路19641975)、第四代计算机(超大规模集成电路式微处理器1975至今)的四次改革，使得计算机走进寻常人家，适应了社会的需要。(2)主要课程所谓的计算机技术包括文字处理，信息管理，多媒体，网络管理等在内的计算机应用技术。而所谓的计算机科学，一般指的是数据结构，组成原理，操作系统，编译原理

48、等计算机内部实现机制。而我们这个专业的主要学习计算机科学与技术方面的基本理论和基本知识，接受应用计算机的基本训练，具有开发计算机系统的基本能力。而我校制定的我们这一专业的发展特色是软件开发。以下是我们的主要课程：c语言程序设计、计算机组成原理、编译原理、离散数学、数字逻辑、数值分析、数据结构、操作系统、微机原理及汇编语言、计算机网络、计算机系统结构、软件工程、面向对象程序设计电路原理、计算机英语等。(3)计算学科的发展主线第一层面是计算科学应用层包括人工智能与应用与系统，信息、管理与决策系统，移动计算，计算可视化，科学计算等计算机应用的各个方向；第二层面是计算科学的专业基础层，它是为应用层提供

49、技术和环境的一个层面，包括软件开发方法学，计算机网络与通信技术，程序设计科学，计算机体系结构，电子计算机系统基础；第三层面是计算科学的基础层，它包括计算的数学理论，高等逻辑等内容。这三个层面构成的计算科学发展的历程中，创造出了各种计算机系统，扩展了计算机的应用领域和应用水平。我们应正确的认识到计算机的发展主线。(4)计算机产业发展前景计算机产业作为工业革命的产物，在20世纪的出现已经极大地改变了整个世界的面貌，深刻影响并仍将继续影响世界各国政治、经济、军事、文化、环境格局，人类的生存前景和生活质量。而在我国主要是软件的发展，下面我们重点讨论软件产业在中国的发展前景。众所周知，软件的开发首先是一

50、项高智力的活动，软件产业的发展既有生产成本低，产品高附加值，高收益的特点，也有产品寿命短，升级代换快，市场变化快，投资风险大的特点。总结过去我们在发展软件产业方面的经验和教训，对今后更好的发展软件产业是十分有益的。我们过去的主要问题是没有按照软件产业发展的规律行事，过多的依赖科研机构。现在，越来越多的人已经认识到了我们处于被动的这一现状，并开始着手改革。首先，在一些高校中对人才的培养加大了基础课程和专业基础课程的改革力度，转变人才的培养观念，改革旧的教学模式。其次，产业投资主体发生了明显的变化，国家开始逐渐转到改善投资环境，扶持重点企业。这是正确的决策，相信随着国家软件政策的调整，随着对高校投入的增加，实验室的改善，随着重点企业软件自主研发与开发能力的增强，我国软件产业一定会在