波函数的统计解释

1、第二章 波函数和薛定谔方程1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释)(expEtrpiA自由粒子自由粒子描写粒子状态描写粒子状态的波函数，它的波函数，它通常是一个复通常是一个复函数。函数。（一）波函数（一）波函数dedeBroglie Broglie 波波 3 3个问题？个问题？ (1) (1) 是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2) (2) 如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3) (3) 描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？),(tr 如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动？如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动？量子力学第一条假设量子力学第一条假设（

2、1 1）波？）波？1. 1. 波由粒子组成波由粒子组成感光时间较短感光时间较短感光时间足够长感光时间足够长最终最终实验结果：实验结果：电子双电子双缝衍射缝衍射实验实验单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性2. 2. 粒子由波组成粒子由波组成什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。电子是波包电子是波包实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小原子内，其广延不会超过原子大小1 1 。电子究竟是电子究竟是粒子？粒子？波？波？“ 电子既不是粒子也不是波电子既

3、不是粒子也不是波 ”“ 电子既是粒子也是波电子既是粒子也是波”粒子和波动二重性矛盾的统一粒子和波动二重性矛盾的统一经典概念粒子经典概念粒子1. 1. 有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ; 2 2有确定的运动轨道有确定的运动轨道3. 3. 每一时刻有一定位置和速度每一时刻有一定位置和速度1. 1. 实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ;2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概念波经典概念波 Born解释解释(1926年年)感光时间较短感光时间较短感光时间足够长感光时间足够长最终最终实验结果：

4、实验结果：电子双电子双缝衍射缝衍射实验实验衍射波的强度分布对应于衍射波的强度分布对应于电子数的密度分布电子数的密度分布电子聚集密度的分布决定电子聚集密度的分布决定于单个电子在底板上出现于单个电子在底板上出现概率的分布概率的分布电子出现的概率分布规律电子出现的概率分布规律表现为波强度的分布规律表现为波强度的分布规律电子在空间出现的概率电子在空间出现的概率分布显示了电子运动的分布显示了电子运动的波动性波动性德布罗意波或物质波（概率波德布罗意波或物质波（概率波Probability Wave）分析及讨论：分析及讨论：底板接收的电底板接收的电子是一个一个子是一个一个的完整体的完整体粒子性表现粒子性表现

5、条纹由大量电条纹由大量电子密集与稀疏子密集与稀疏有规律交替出有规律交替出现形成现形成波动性表现波动性表现粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运动的性质动的性质波粒二象性（波粒二象性（Wave particle duality）微观粒子的波动性乃是粒子统计运动规律的一种特殊表现微观粒子的波动性乃是粒子统计运动规律的一种特殊表现电子电子双缝双缝衍射衍射二、波函数的物理意义二、波函数的物理意义衍射条纹衍射条纹极大值极大值衍射条纹衍射条纹极小值极小值波动观点波动观点粒子观点粒子观点波的强度最大波的强度最大波函数振幅绝对值的波函数振幅绝对值的平方即平方即

6、 最大最大感光点的密度最大感光点的密度最大电子到达的数目多电子到达的数目多电子出现的概率大电子出现的概率大2波的强度为零波的强度为零波函数振幅绝对值的波函数振幅绝对值的平方平方 =0感光点的密度为零感光点的密度为零到达的电子数目为零到达的电子数目为零电子出现的概率为零电子出现的概率为零2感光强度的分布感光强度的分布电子出现的概率分布电子出现的概率分布感光强度的分布感光强度的分布电子波函数振幅绝对值的平方电子波函数振幅绝对值的平方结论结论某时刻某时刻t，在空间某点，在空间某点r处，粒子出现的几处，粒子出现的几率正比于该时刻、该点处的波函数的模率正比于该时刻、该点处的波函数的模的平方的平方 。2,

7、tr总结：总结：衍射实验揭示的电子的波动性是：衍射实验揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，在此基础上，Born Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。2 与粒子与粒子(某时刻、在空间某处某时刻、在空间某处)出现的几率成正比出现的几率成正比波函数是什么呢？波函数是什么呢？物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是物质波既不是机械波，又

8、不是电磁波，而是物质波是什么呢？物质波是什么呢？几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的单次过程。单次过程。宏观物体：讨论它的位置在哪里宏观物体：讨论它的位置在哪里微观粒子：研究它在某地点出现的几率有多大微观粒子：研究它在某地点出现的几率有多大区别区别 对微观粒子，讨论其运动轨道是没有意义对微观粒子，讨论其运动轨道是没有意义的。波函数反映的只是微观粒子运动的统计规的。波函数反映的只是微观粒子运动的统计规律。律。结论结论三、波函数的归一性：三、波函数的归一性：设波函数设波函数 描写粒子的状态描写粒子的状态tzyx,在空间一点在空间一点（x,

9、y,z）处和时刻处和时刻t:2波的强度是波的强度是表示表示的共轭复数的共轭复数),(tzyxdW在时刻在时刻t，在坐标在坐标xx+dx、y y+dy、z z+dz的无限小区域内找到粒子的几率的无限小区域内找到粒子的几率dxdydzddW2),(tzyxdWdtzyxCtzyxdW2),(),(C为比例常数为比例常数几率密度几率密度 2),(),(),(tzyxCdtzyxdWtzyx表示某时刻、在空间某点附近表示某时刻、在空间某点附近单位体积内粒子出现的几率单位体积内粒子出现的几率粒子在整个空间出现的几率：粒子在整个空间出现的几率： 1),(2dtzyxCdtzyxC2),(1),(tzyx)

10、,(tzyxC和和的的相对概率相对概率是相同的是相同的概率波概率波2222211122222111),(),(),(),(tzyxCtzyxCtzyxtzyx波函数乘以一常数，其波函数乘以一常数，其描述的概率波不变，即描述的概率波不变，即描写的粒子状态不变。描写的粒子状态不变。dtzyxC2),(1),(),(tzyxCtzyx),(),(tzyxtzyx和和描写的是粒子的同一状态描写的是粒子的同一状态dtzyxtzyxdW2),(),(2),(),(),(tzyxCdtzyxdWtzyx2),(),(tzyxtzyx1),(2dtzyxC) 1 (1),(2dtzyx满足（满足（1）的波函数

11、）的波函数归一化波函数归一化波函数) 1 (1),(2dtzyx波函数的归一化条件波函数的归一化条件),(),(tzyxtzyx把把换成换成的步骤的步骤C归一化常数归一化常数归一化归一化(Normalization)dtzyxC2),(1若若dtzyx2),(发散，发散，0C则无意义！则无意义！经典波经典波和微观粒子和微观粒子几率波几率波的区别：的区别：1、经典波经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而描述某物理量在空间分布的周期变化，而几几 率波率波描述微观粒子某力学量的几率分布；描述微观粒子某力学量的几率分布；2、经典波经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍的波幅增大一倍，相应波动

12、能量为原来四倍, 变成另一状态；变成另一状态；几率波几率波的波幅增大一倍不影响粒子的波幅增大一倍不影响粒子 在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数, 所描述的粒子的状态并不改变；所描述的粒子的状态并不改变；例例1：有一微观粒子，沿：有一微观粒子，沿x轴方向运动，描述其运动的波函数为轴方向运动，描述其运动的波函数为ixAx1)(1）将此波函数归一化；）将此波函数归一化；2）求出粒子坐标的概率分）求出粒子坐标的概率分布函数；布函数；3）求在何处找到粒子的概率密度最大？）求在何处找到粒子的概率密度最大？解：解：1）令）令 11)(2dxxxdxx或或

13、 ixAx1 ixAx1112222AxarctgAxdxA1A归一化的波函数为归一化的波函数为 ixx112)粒子坐标概率密度分布函数为粒子坐标概率密度分布函数为 211xxxx3） 求出，在求出，在x=0处概率密度最大处概率密度最大1)0(max 0 x令1)(cos2/2/22bbdxbxA即：即：1| ),(| ),(| ),(|2/22/2/22/2bbbbdxtxdxtxdxtx解解:(1)其中其中A为任意常数，为任意常数，E和和b均为均为确定的常数确定的常数求：求：(1)归一化的波函数；归一化的波函数；(2)几率密度几率密度 ？例例2、设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为

14、：、设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：)cos()exp(),(bxtiEAtx0),(tx)2/, 2/(bxbx)2/2/(bxb122bAbA2(2)几率密度为：几率密度为：)(cos2),(),(22bxbtxtx)2/),2/(bxbx)2/2/(bxb0),(),(2txtx归一化的波归一化的波函数为：函数为：)cos()exp(2),(bxtiEbtx0),(tx)2/, 2/(bxbx)2/2/(bxb如图所示，在区间（如图所示，在区间（ b/2,b/2)以外找不到粒子。在以外找不到粒子。在x=0处找处找到粒子的几率最大。到粒子的几率最大。xob/2-b/22),(

15、txtx,1.1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长 时间亦显示衍射图样时间亦显示衍射图样; ;电子源电子源感感光光屏屏QQOPP电子的衍射实验电子的衍射实验2. 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. .波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，基础上，Born Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。 正正比于电子出现在比于电子出现在 r r 点附近的几率点附近的几率在电子衍射实验中，照相底片上在电子衍射实验中，照相底片

16、上 结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是许多电子在同一个结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。统计结果。r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目正比于该点附近感光点的数目 正比于该点附近出现正比于该点附近出现 的电子数目的电子数目描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数波函数 (r) (r)有时也称为几率幅。有时也称为几率幅。 这就是首先由

17、这就是首先由 Born Born 提出的波函数的几提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理。率解释，它是量子力学的基本原理。衍射花纹的强度则用衍射花纹的强度则用 | (r)|2 描述，但意义与经典波不同。描述，但意义与经典波不同。| (r)| (r)|2 2 xx yy zz表示在表示在 r 点处，体积元点处，体积元x y z中找到粒子的几率中找到粒子的几率假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r) 描述描述| (r)|2 的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r r 点附近几率的大小点附近几率的大小波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成波函数在空间某点

18、的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，比例，（三）波函数的性质（三）波函数的性质（1 1）几率和几率密度）几率和几率密度2 2 在在 t t 时刻时刻 r r 点，单位体积内找到粒子的几率是点，单位体积内找到粒子的几率是1 1 在在t t时刻时刻，r r点，点，d = dx dy dz 体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数 (r,t(r,t) ) 描写描写的粒子的几率是：的粒子的几率是：C C是比例系数。是比例系数。d W( r, t) = C| (r,t)|d W( r, t) = C| (r,t)|2 2 dd几率密度几率密度 ( r, t ) = ( r, t )

19、= dW(rdW(r, t )/ , t )/ dd = C| (r,t)| = C| (r,t)|2 2 3 3 在体积在体积 V V 内，内，t t 时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为： W(t) = V dW = V( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d（2 2）平方可积平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，所以在全空间找到粒子的几率应为一，这即是要求描写粒子量子这即是要求描写粒子量子状态的波函数状态的波函数 必须是绝必须是绝对值平方可积的函数。对值平方可积的

20、函数。若若 | (r , t)| (r , t)|2 2 dd , , 则则 C C 0, 0, 这是没这是没有意义的。有意义的。)(exp),(EtrpiAtr注意：自由粒子波函注意：自由粒子波函数数 不满足这一要求不满足这一要求即：即： C| (r , t)|C| (r , t)|2 2 dd= 1, = 1, 常数常数 C C 之值为：之值为： C = 1/ | (r , t)|C = 1/ | (r , t)|2 2 dd（3 3）归一化波函数）归一化波函数 (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 所描写状态的相对几率所描写状态的相对几率是

21、相同的，这里的是相同的，这里的 C C 是常数是常数. . 因为在因为在 t t 时刻，空间任时刻，空间任意两点意两点 r r1 1 和和 r r2 2 处找到粒子的相对几率之比是：处找到粒子的相对几率之比是： 221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 可见，可见， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是同一几率描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。波，所以波函数有一常数因子不定性。 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的（原来的 2 2倍），则相应的波动能量将倍），则相应的波动能量将为原来的为原来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。动状态。经典波无归一化问题。由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，