勾股定理的证明王蕊

1、19.1 勾股定理（勾股定理（2）-勾股定理的证明勾股定理的证明 两千多年来，人们对勾股定两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣。因为这个定理的证明颇感兴趣。因为这个定理太贴近人们的生活实际，以致理太贴近人们的生活实际，以致于古往今来，下至平民百姓，上于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨它的证明至帝王总统都愿意探讨它的证明，因此不断涌现新的证法。下面，因此不断涌现新的证法。下面我们一起学习几种证明勾股定理我们一起学习几种证明勾股定理的方法。的方法。勾股定理勾股定理: :直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a a2 2+b+b2 2=c=

2、c2 2b2c2a2赵爽的赵爽的“弦图弦图” 早在公元早在公元3世纪，我国数世纪，我国数学家赵爽就用左边的图形验证学家赵爽就用左边的图形验证了了“勾股定理勾股定理”。 在北京召开的在北京召开的20022002年国际年国际数学家大会（数学家大会（TCMTCM20022002）的）的会标，其图案正是会标，其图案正是“弦图弦图”，它标志着中国古代的数学成就它标志着中国古代的数学成就. .思考思考:你能验证吗？你能验证吗？ 赵爽指出：按赵爽指出：按弦图，又可以勾股弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾之为朱实四，以勾股之差自相乘为中股之差自相乘为中黄实。加差实，亦黄实。加差实

3、，亦成弦实。成弦实。赵爽弦图朱实朱实朱实朱实朱实朱实CcABababc朱实朱实C2=(221ab）+(a-b)2a2+b2=2 (4)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(4)cccc(a-b)2(a-b)2C2421ab=a2 + b2 = c2可得：a2+b22ab = c22abbCa想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？证法一证法一bababa bacccc大正方形的面积该怎样表示大正方形的面积该怎样表示?(a+b)2=a2 + b2 + 2ab = c2+2ab可得可得: a2 + b2 = c2ab2142c证法二证法二 在在1876年一个周末的傍

4、晚年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外美国华盛顿的郊外,有一位中年有一位中年人正在散步人正在散步,欣赏黄昏的美景欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德议员伽菲尔德.他走着走着他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上突然发现附近的一个小石凳上,有两有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论时而大声争论,时而小声探时而小声探讨讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚想搞清楚两个小孩到底在干什么两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在只见一个小男孩正

5、俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是和的两条直角边分别是和4，那么斜边长为多少呢？，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔伽菲尔德答到：德答到：“是呀。是呀。”小男孩又问道：小男孩又问道：“如果两条直角边分别如果两条直角边分别为和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？为和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲伽菲尔德不假思索地回答到：尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于那斜

6、边的平方，一定等于5的平方的平方加上加上7的平方的平方”小男孩又说道：小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道先生，你能说出其中的道理吗？理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。留下的难题。证证 法法 3 (a + b)(b + a) = a2 +a2 + b2= c2aabbcc 伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统总统”证法证法。2121212121c2+ 2( )21+ ab + b2= c2abab a2