物理第十八章波动学基础教学提纲

1、物理第十八章波动学基础v 固体中固体中的振源可以产生的振源可以产生横波横波和和纵波纵波. .v 水面波既不是纵波水面波既不是纵波, , 又不是横波又不是横波. .一般波动均可分解为横波和纵波进行研究一般波动均可分解为横波和纵波进行研究. 3. 类型类型横波横波纵波纵波简谐波简谐波非简谐波非简谐波脉冲波脉冲波持续波持续波线性波线性波非线性波非线性波简谐波简谐波：若媒质中的所有质元均按一定的相位传播规律做简谐：若媒质中的所有质元均按一定的相位传播规律做简谐 振动，此种波称为振动，此种波称为简谐波简谐波(simple harmonic wave). 2. . 波前波前(wave front) 波源最

2、初振动状态传播到的各点所连成的面波源最初振动状态传播到的各点所连成的面. .根据波前的形状可分为根据波前的形状可分为平面波平面波、球面波球面波、柱面波柱面波等等.三、基本术语三、基本术语1. 波面波面(wave surface) 振动相位相同的各点连成的面振动相位相同的各点连成的面. . 3. 波线波线(wave line) 沿波的传播方向画一些带箭头的线沿波的传播方向画一些带箭头的线; ; 各向同各向同 性介质中波线与波面垂直性介质中波线与波面垂直. .球面波球面波(spherical wave) 平面波平面波(plane wave) 波波线线 波面波面4. 4. 行波、驻波行波、驻波v 行

3、波行波: : 前进的波前进的波, , 有能量损失有能量损失v 驻波驻波: : 没有振动状态或能量的传播没有振动状态或能量的传播 四、简谐波的形成过程四、简谐波的形成过程 t = T/4t = 3T/4t = 0048162012t = T/2t = Txxxxxxy以弹性绳上的横波为例以弹性绳上的横波为例 结论：结论：1) 波的传播不是媒质质元的传播波的传播不是媒质质元的传播, , 而是而是振动状态的传播振动状态的传播, , 某某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游下游”某处出某处出现现. .2) “ “上游上游”的质元依次带动的质元依次带动“下游下游”的

4、质元振动的质元振动 (依靠质元依靠质元间的弹性力间的弹性力) .3) 沿波的传播方向沿波的传播方向, , 各质元的相位各质元的相位依次落后依次落后. .4) 同相位点同相位点质元的振动状态相同的点质元的振动状态相同的点, , 相邻同相位点间的相邻同相位点间的距离称为一个波长距离称为一个波长, , 相位差相位差2 .xyu 五、描述波的几个物理量五、描述波的几个物理量 1. 波长波长 (wavelength) 波传播时波传播时, 在同一波线上两个相邻的相在同一波线上两个相邻的相位差为位差为2 的质点之间的距离的质点之间的距离.v 横波横波: : 相邻的波峰或波谷间距离相邻的波峰或波谷间距离; ;

5、v 纵波纵波: : 相邻的密集或稀疏部分中心间距离相邻的密集或稀疏部分中心间距离. .2. 周期周期T T (period) 波前进一个波长的距离所需的时间波前进一个波长的距离所需的时间. .v 波长反映波的空间周期性；波长反映波的空间周期性；v 周期反映波的时间周期性；周期反映波的时间周期性；波的频率波的频率 = 波源的振动频率波源的振动频率s 也指单位时间传过媒质中某点的波的个数也指单位时间传过媒质中某点的波的个数.频率频率 (frequency) 周期的倒数称为频率，即单位时间内周期的倒数称为频率，即单位时间内波前进的距离中所含完整波长的数目波前进的距离中所含完整波长的数目.4. 物理量

6、间的关系物理量间的关系T1 uT v 波速波速u : : 决定于介质决定于介质v 频率频率 : : 决定于波源决定于波源 同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时, , 频率频率不变不变, , 波速不同波速不同, , 因而波长不同因而波长不同. .vv 因振动状态由相位决定因振动状态由相位决定, 所以波速也就是相位传播的所以波速也就是相位传播的 速度速度, 亦称亦称相速度相速度 (phase velocity) 3. 波速波速(wave velocity) u 振动状态的传播速度振动状态的传播速度. 即即单位时间单位时间 内内, 振动状态所传播的

7、距离振动状态所传播的距离. 大小决定于介质的性质大小决定于介质的性质.若波源和介质中的质点都作简谐振动若波源和介质中的质点都作简谐振动, , 这种波称之为这种波称之为简谐波简谐波. .一、平面简谐波的波函数一、平面简谐波的波函数 (wave function) （波动方程）（波动方程） 设有一平面简谐波设有一平面简谐波, , 在无吸收、均匀、无限大的介质中传播在无吸收、均匀、无限大的介质中传播. .对对O点点：)cos(0 tAy0( )()pxyty tu 对对P 点：点： 18-2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数Ox xuyP1. 沿沿x 轴正方向传播轴正方向传播 P 点是任意的点是

8、任意的 ( , )cos ()xy x tAtu 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 即即 2( , )cos()y x tAtx u,2)(2cos xtAy 1. 1. 波动方程的另外几种形式波动方程的另外几种形式 )(2cos xTtAcos() Atkx 讨论讨论 角角(圆圆)波数波数：即：即2 长度内含的波长数目长度内含的波长数目 2=ku 波数波数：单位长度内含的波长数目（波长倒数）：单位长度内含的波长数目（波长倒数）1 cos () Ak utx2. 如果参考点在如果参考点在 x =d 处处, 则波函数的表达式为则波函数的表达式为 2cos()yAtxd xxdo任一点任一点p

9、参考点参考点a 写波的表达式用图写波的表达式用图 u)(cos uxtAy2. 沿沿 x 轴负向传播轴负向传播对对O点点：)cos(0 tAyb点比点比a点的相位落后点的相位落后22()baxxx ab xxu传播方向传播方向对对P 点点：3. 相位滞后与超前相位滞后与超前)(2cos xtA)(2cos xTtAxPx uyOcos() Atkx 二、波函数的物理意义二、波函数的物理意义 1. x = x0 时时, ,为该处质点的振动方程为该处质点的振动方程, , 对应曲线为该处质点对应曲线为该处质点振动曲线振动曲线; ;2. t = t0 时时, ,为该时刻各质点位移分为该时刻各质点位移分

10、布布, , 对应曲线为对应曲线为t0时刻时刻波形图波形图; ;)(cos uxtAy)cos(0 uxtAy)cos(0 uxtAyxxuyopt 确定时确定时x 确定时确定时tyot0 x 3. 如看定某一相位，即令如看定某一相位，即令( t kx+ ) =const. 求全微分可得相速度求全微分可得相速度 ddxutk 波形曲线波形曲线( (波形图波形图) )v 不同时刻对应有不同的波形曲线不同时刻对应有不同的波形曲线; ;v 波形曲线能反映横波、纵波的位移情况波形曲线能反映横波、纵波的位移情况. .t + t x=u txuyot5. . 物理意义物理意义波函数描述了波形的传播波函数描述

11、了波形的传播. .)(cos)( : uxtAtytx)()(cos)( :tyutuxttAttyttxxx 平面简谐波平面简谐波4. t, x 都变化时都变化时, 表示波线上所有质点在各个时刻的位移情表示波线上所有质点在各个时刻的位移情 况况 行波行波(travelling wave).sin ()yxAttu v三、波动中质点振动的速度和加速度三、波动中质点振动的速度和加速度222cos ()yxaAttu 适用于一切适用于一切平面波平面波 v : 波形传播速度波形传播速度, , 对确定的介质是常数对确定的介质是常数v : 质点振动速度质点振动速度, , 是时间的函数是时间的函数注意：注

12、意：222221tyuxy 四、平面波波动方程四、平面波波动方程 (wave equation) 将波动方程分别对将波动方程分别对 t 和和 x 求二阶导数求二阶导数 )(cos2222 uxtuAxy比较得比较得 )(cos222 uxtAty1) 弹性绳上的横波弹性绳上的横波2) 固体棒中的纵波固体棒中的纵波Y杨氏弹性模量杨氏弹性模量 体密度体密度0llYSF Yu Tu T绳中的张力绳中的张力, 绳的线密度绳的线密度l0l0 + l FF拉伸拉伸 给出几种介质中的波速：给出几种介质中的波速：4) 流体中的纵波流体中的纵波 Bu = Cp/Cv (比热容比比热容比) , 摩尔质量摩尔质量V

13、0+ V容变容变pppp0VpBV RTu 理想气体理想气体: :B容变模量容变模量, 流体密度流体密度3) 固体中的横波固体中的横波 Gu G 切变弹性模量切变弹性模量F切切 切变切变G Y, 固体中固体中 u横波横波 u纵波纵波FGS 例例1(补补): 有一平面简谐波沿有一平面简谐波沿Ox轴正方向传播轴正方向传播,已知振幅已知振幅 A=1.0m, 频率频率 =1/2Hz, 波长波长 =2.0m. 在在t =0时时, 坐标原点处质点位于平坐标原点处质点位于平衡位置沿衡位置沿oy 轴的正方向运动轴的正方向运动. 求：求：(1) 波函数波函数; (2) t =1.0s 时各质点的位移分布时各质点

14、的位移分布, 并画出该时刻的波并画出该时刻的波形图形图; (3) x =0.5m处质点的振动规律处质点的振动规律, 并画出该质点位移与时间并画出该质点位移与时间的关系曲线的关系曲线.) (2cos xtAy解解: : (1) 按所给条件按所给条件, , 取波函数为取波函数为2 00cos00 sin0yAtA v代入所给数据代入所给数据, , 得波函数得波函数(2) 将将 t =1.0s 代入式代入式(1), 得此时刻各质点的位移分别为得此时刻各质点的位移分别为 20 . 20 . 20 . 12cos0 . 1 xy(m) 20 . 20 . 22cos0 . 1 xty(1)2cos0 .

15、 1x (2)(m) 按照式按照式(2)可画出可画出t =1.0s时的时的波波形曲线形曲线(wave form curve )(3) 将将 x =0.5m代入式代入式(1), 得该处得该处质点的振动规律为质点的振动规律为2)0 . 25 . 00 . 2(2cos0 . 1 ty(m) cos0 . 1 t 由上式可知该质点振动的由上式可知该质点振动的初相为初相为- . 由此作出其由此作出其 y-t 曲曲线线t/sy/m1.02.00-1.0 x/my/m1.02.000 . 1O.ux0 xPx解解：任取一点：任取一点P, 坐标为坐标为x, 其振动其振动 落后于落后于 x0点点（x-x0)/

16、u 时间时间, 其振动相位落后其振动相位落后 2 (x-x0 ) / 则波函数为则波函数为 )(cos0uxxtAy )(2cos0 xxtA 22cos xtA)4(2cos xtAt=0时的波形即时的波形即 t=T 时的波形时的波形 t=5T/4时的波形沿时的波形沿 x 前进了前进了 /4 y/mx/m02 32 TA/ 4 TT例例2 (p211-18.1): 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 x 轴正向传播轴正向传播, 波长为波长为 .已知已知 x0 = /4 处的质元的振动表达式为处的质元的振动表达式为 求求: 波函数波函数, 并在同一张坐标图中画出并在同一张坐标图中画出t =T 和和t

17、 =5T/4时的波形图时的波形图 0cosxyAt 例例3 (p212-18.2): 一条长线用水平力张紧一条长线用水平力张紧, 其上产生一列简谐横波其上产生一列简谐横波向左传播向左传播, 波速为波速为20m/s. 在在 t =0 时刻的波形如图所示时刻的波形如图所示.试求试求:(1) A、 、T ,a,b运动方向运动方向; (2) 波函数波函数; (3) 质点的振动速度表达式质点的振动速度表达式; 2/10 my /mx0.2 0.4 4 . .abO -4 u解解: (1) 由图由图 0, 0abvv0.04m 0.4mA 0.41 (s)2050Tu oocos00 sin0yAtA v

18、2 o0.04cos(2)tyT 0.04cos(100) (m)2t (2) 波函数波函数 0.04cos100 () (m)202xyt 由图由图 (3) 位于位于 x 处的介质质元的振动速度为处的介质质元的振动速度为 -112.6cos(1005) (ms )ytxt v例例4(补补): 一平面简谐波沿一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅为轴正向传播，其振幅为A, 频率为频率为， 波速为波速为u. . 设设t = =t时刻的波形曲线如图所示，时刻的波形曲线如图所示，求求: : (1) x = =0处质点振动方程；处质点振动方程； （2）该波的波函数）该波的波函数yxOu tt 解解: (1

19、) 设设 ocos(2)yAtoocos(2)0 2sin(2)0yAtttAtv 由图可知由图可知: 22 t22 t 即即ocos2()2yAtt (2) 波函数波函数 2)(2cos uxttAy法法 设设 ttt 0 ttt时，时，则则由图由图 oocos00 2sin0yAtA v 2 ocos(2)2yAt 2) (2cos ttA18-3 波的能量和强度波的能量和强度 波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播. . 质元振动动能质元形变势能质元中波的能量质元振动动能质元形变势能质元中波的能量一、一、 机械波的能量机械

20、波的能量 能量密度能量密度 对于对于“流动着流动着”的能量，要由的能量，要由能量密度能量密度和和能流密度能流密度两个概两个概念来描述念来描述.对一弹性媒质质元对一弹性媒质质元 1. 机械波的能量机械波的能量 2. 机械波的能量密度机械波的能量密度 波场中单位体积的能量波场中单位体积的能量 kpWwwwV mV 即即 kpWWWmV 以无限长均匀细棒中的简谐纵波为例以无限长均匀细棒中的简谐纵波为例 ,VS x t 时刻时刻 自由状态自由状态 xoxx + xxyy+yS质量为质量为mVSx 22k11( ) ()22yWmVt v 振动动能振动动能: :2p1( )2Wky 弹性势能弹性势能:

21、:?k 设波在体密度为设波在体密度为 的弹性介的弹性介质中传播质中传播, 在波线上坐标在波线上坐标 x 处处取一个体积元取一个体积元V, 在时刻在时刻 t 该体积元各量如下该体积元各量如下:oxx+xxyy+y振动动能振动动能:由棒的杨氏模量的定义由棒的杨氏模量的定义 / / FSyYFYSyxx Fk y YSkx2222p1111( )( ) () ()22 22YSyyWkyyYS xY Vxxx Yu 221()2yVux 该质元中波的能量为该质元中波的能量为 222kp1122yyWWWVuVtx cos()xyAtu 222k1sin ()2xWAVtu 细棒纵谐波的细棒纵谐波的动

22、能动能和和势能势能分别为分别为2221122WyywuVtx 如果细棒中传播的是如果细棒中传播的是平面谐波平面谐波, 则波的表达式为：则波的表达式为：则能量密度则能量密度 sin ()yxAttu vsin ()yAxtxuu 二、平面简谐波的能量和能量密度二、平面简谐波的能量和能量密度 1. 平面简谐波的能量平面简谐波的能量 222p1sin ()2xWAVtu 2) 固定固定tWk, Wp随随 x 周期分布周期分布y = 0 Wk, Wp 最大最大y 最大最大 Wk, Wp 为为 0Wk, Wp均随均随 t 周期性变化周期性变化, Wk = Wp 1) 固定固定x分析：分析：yx = x0

23、otTWkWp(1/4) 2A2oy xWkWpt = t0u(1/4) 2A2222kpsin ()xWWWVAtu 平面简谐波的波能量平面简谐波的波能量: :(18.27)PQ左图作出某时刻的波形曲线左图作出某时刻的波形曲线. .max y0v P P点处的质元状态为点处的质元状态为因而因而P质元有：质元有：Wk = =0 但是但是P P点两侧相邻质元沿同一侧发生形变点两侧相邻质元沿同一侧发生形变, , 结果使其两侧结果使其两侧0yx 的相对形变的相对形变，因此势能有，因此势能有 Wp =0同步同步同理对同理对Q 点处质元点处质元，因而有因而有Wk = max同时，其两侧形变的位移方向相反

24、，同时，其两侧形变的位移方向相反，因此其相对形变：因此其相对形变：maxyx 从而有从而有 Wp =max同同步步0 ymaxv Y x表明：表明：v总能量随时间作总能量随时间作周期性变化周期性变化, , 变化周期是波动周期的一半变化周期是波动周期的一半; ;v振动中动能与势能相位差为振动中动能与势能相位差为 /2, 波动中动能和势能波动中动能和势能同相同相;v波动是能量传播的一种形式波动是能量传播的一种形式, 能量本身具有波动性能量本身具有波动性.3) Wk、Wp、W 中均含有行波的相位传输因子中均含有行波的相位传输因子 ( t-x/u )+ ，能量的传输速度等于波相速能量的传输速度等于波相

25、速 u .Euu 相位传播相位传播 运动状态传播运动状态传播 能量传播能量传播 v在波的传播过程中，任意质元的能量不守恒在波的传播过程中，任意质元的能量不守恒. 每一质元都从每一质元都从 上游接收能量，又向下游传去上游接收能量，又向下游传去.max0WW2. . 能量密度能量密度(energy density): 单位体积介质中的波动能量单位体积介质中的波动能量. .3. . 平均能量密度平均能量密度: : 能量密度在一个周期内的平均值能量密度在一个周期内的平均值 222sin ()WxwAtVu22222011sin ()d2TxwAttATu (18.28)T 其中其中 (18.29)表明

26、表明: 波的能量密度与总能量波的能量密度与总能量 W均随时间作周期性变化均随时间作周期性变化, 且同相且同相.表明表明: 波的平均能量密度与振幅的平方成正比波的平均能量密度与振幅的平方成正比, 与频率的与频率的 平方成正比平方成正比.2. 平均能流：平均能流：单位时间内垂直通过介质某一单位时间内垂直通过介质某一 截面的平均能量截面的平均能量.222dd sin () xPuw Su AStu三、能流密度三、能流密度通过垂直于波的传播方向上单位面积的平均能流通过垂直于波的传播方向上单位面积的平均能流.3. . 平均能流密度平均能流密度( ) udSudtxdt 时间内流过时间内流过dS 的能量的

27、能量 ddd Ww Su tdd WPt单位单位:W221dd2Puw Su AS221d2PIwuAuS(18.31)1. 能流能流(energy flux): 单位时间垂直通过介质某一截面的能量单位时间垂直通过介质某一截面的能量.单位单位: : W.m-2 矢量形式矢量形式: : 2212IAu 波强度波强度: 平均能流密度的大小平均能流密度的大小. 2212IwuuA vv 媒质的媒质的特性阻抗：特性阻抗： Z = u， 是反映媒质特性的一个常量是反映媒质特性的一个常量, Z 较大称为较大称为波密介质波密介质, Z 较较 小者称为小者称为波疏介质波疏介质.vv 可见，对于可见，对于弹性媒

28、质中的简谐波弹性媒质中的简谐波 波的强度波的强度 I A2， 2， uvv 均匀媒质中，均匀媒质中， u 不随地点变，不随地点变， 强度强度 I A2四、四、 声强声强 声强级声强级 声波声波(sound wave)是机械是机械纵波纵波，频率范围，频率范围 2020000Hz；低于低于20Hz的声波称为的声波称为次声波次声波(infrasonic wave)，高于，高于20000Hz的声波称为的声波称为超声波超声波(supersonic wave).声波的传播速度声波的传播速度（固固体体中中） /Yu （液体中）（液体中） /Bu （理理想想气气体体中中） RTPu/2. . 正常人听声范围正

29、常人听声范围 20Hz20000Hz III下下上上1. 声强声强: 声波的平均能流密度声波的平均能流密度. .2212IwuAu 普通人耳的听觉范围普通人耳的听觉范围I上上1000o2020000 (Hz)I下下I痛阈痛阈 听阈听阈 3. . 声强级：声强级：声强级的单位为：声强级的单位为： 分贝分贝(db)-1220010lg(10W/m )ILII 其其中中：例：例：L=1db, 即即 I/I0=100.1=1.26 ; L=60db, I/I0=106 I0测定声强标准，即测定声强标准，即 =1000Hz 的声波能引起听觉的的声波能引起听觉的最弱的声强最弱的声强1000Hz 时时，12

30、2210Wm ,1WmII下下上上 vv 引起痛觉：引起痛觉：120 db；繁忙街道：；繁忙街道：70 db； 正常谈话：正常谈话： 60 db； 耳语：耳语： 20 db； 树叶沙沙响：树叶沙沙响：10 db.波的吸收系数为常数时波的吸收系数为常数时const. xeAA 0振幅按指数规律衰减振幅按指数规律衰减xeII 20 强度比振幅衰减快强度比振幅衰减快xAAdd 波传播波传播dx,振幅的衰减为振幅的衰减为 分离变量并积分分离变量并积分 xAAxAA0dd0 得得 xAA 0ln*五、波的吸收五、波的吸收例例: : 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进试证明在均匀不吸收能量的

31、媒质中传播的平面波在行进 方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比. .证明证明：对平面波对平面波 在单位时间内通过在单位时间内通过 1S和和2S面的能量应该相等面的能量应该相等 2211SISI SSS 21SAuSAu2222122121 21AA u 1S2S所以所以, ,平面波振幅相等：平面波振幅相等： 2224 rS 2211rArA ;4211rS 由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：波类似，球面简谐波的波函数：)(cos0 urtrAy222

32、212122121SAuSAu 对球面波：对球面波：1r2r介质不吸收能量介质不吸收能量, , 通过球心位于通过球心位于波源的任意球面的平均能流都相等波源的任意球面的平均能流都相等. .rA1 A0: 距波源单位距离处的振幅距波源单位距离处的振幅 一、惠更斯原理一、惠更斯原理 (Huygens principle 1678) 介质中波动传播到的各点介质中波动传播到的各点, , 都可以视为发射球面都可以视为发射球面子波子波(wavelet)的波源的波源, , 在其后任一时刻在其后任一时刻, , 这些子波的前方包络就这些子波的前方包络就是新的波前是新的波前. . 18- -4 惠更斯原理惠更斯原理

33、1. 惠更斯原理惠更斯原理 原理给出的方法原理给出的方法 (惠更斯作图法惠更斯作图法) 是一种处理波传播方向的是一种处理波传播方向的普遍方法普遍方法. 只要已知某时刻的波面和波速，可以确定下时刻的波面只要已知某时刻的波面和波速，可以确定下时刻的波面和波的传播速度和波的传播速度. .v 适用于各种波适用于各种波, , 机械波、电磁波等机械波、电磁波等; ;v 适用于非均匀的、各向异性的介质适用于非均匀的、各向异性的介质. .3. . 惠更斯原理的局限性惠更斯原理的局限性v没有说明子波的强度分布没有说明子波的强度分布, , 相位变化相位变化. .v没有说明子波只向前传播没有说明子波只向前传播, ,

34、 而不向后传播的问题而不向后传播的问题. .2. . 惠更斯原理意义惠更斯原理意义 二、二、 惠更斯原理的应用惠更斯原理的应用 解释波的衍射解释波的衍射( (绕射绕射), ), 波的散射波的散射, , 波的反射波的反射, , 波的折射等现象波的折射等现象. .1. 波在各向同性均匀介质中的传播波在各向同性均匀介质中的传播 球面波球面波 ttStS传播方向传播方向平面波平面波t+ t时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向t 时刻波面时刻波面2. 波的衍射波的衍射(wave diffraction) 波在传播过程中遇到障碍时波在传播过程中遇到障碍时, , 能够绕过障碍物的边缘继能够绕过障碍物的

35、边缘继续向前传播续向前传播 波动的特征之一波动的特征之一衍射现象显著与否衍射现象显著与否, , 与障碍物的大小与波长之比有关与障碍物的大小与波长之比有关. . 1. 1. 你家在大山后你家在大山后, , 听广播和看电视哪个更容易听广播和看电视哪个更容易? ?(若广播台、电视台都在山左侧若广播台、电视台都在山左侧) aCAI波的衍射波的衍射 aa 1谐频谐频 称为称为本征频率本征频率，对应的振动对应的振动模式模式简正模式简正模式 (normal mode) . 波长波长“量子化量子化” 频率频率“量子化量子化” 弦线驻波弦线驻波2 11,2unL 22,unL 2 444,2 unLvv凡是有边

36、界的振动物体凡是有边界的振动物体, 其上都存在驻波其上都存在驻波 弦乐器、管乐器中空气柱、锣面、鼓皮等都是驻波系统弦乐器、管乐器中空气柱、锣面、鼓皮等都是驻波系统. 2 333,2 unLvv 在驻波共振现象中在驻波共振现象中, 系统按何种模式振动系统按何种模式振动, 取决于初始条件取决于初始条件, 一般情况下一般情况下, 是系统各种简正模式的叠加是系统各种简正模式的叠加.弦线驻波弦线驻波18-7 多普勒效应多普勒效应 如果波源或观察者或两者相对于介质运动，则观察者接收如果波源或观察者或两者相对于介质运动，则观察者接收到的波频率到的波频率R不同于波源的频率不同于波源的频率 S 的现象的现象(

37、(机械波机械波). ).波的频率就是单位时间内通过介质某点的完整波的数目波的频率就是单位时间内通过介质某点的完整波的数目一、多普勒效应一、多普勒效应 (Doppler Effect) 二、机械波的多普勒效应二、机械波的多普勒效应 vv 参考系：介质参考系：介质vv 设设 S 和和 R 的运动沿二者连线的运动沿二者连线 vv 符号规定：符号规定： S 和和 R 相互靠近时相互靠近时 vS 0, vR 0 SvRvvv 三个频率三个频率 S：波源振动频率波源振动频率，即波源单位时间所发波的个数，即波源单位时间所发波的个数.2. .波源不动波源不动 观察者运动观察者运动 (vS = 0, vR 0

38、) SvS = 0RvRuRRRR/ uvuvuvuuRRS uvu ：波的频率波的频率，即媒质质元的振动频率，数值上等于单位时间，即媒质质元的振动频率，数值上等于单位时间 内通过波线上一固定点完整波形的个数内通过波线上一固定点完整波形的个数. R：接收频率接收频率，即单位时间内接收器所接收到的波的个数，即单位时间内接收器所接收到的波的个数. 分四种情况讨论分四种情况讨论 1. 波源和接收器都静止波源和接收器都静止 (vS = 0，vR = 0) R = = S 此情况下，此情况下， = S (18.46) 接收者运动接收者运动3.观察者不动，波源运动观察者不动，波源运动 (vR = 0, ,

39、设设 vS 0) vSS RSSSSSuuuuTTu vvRSS uu v讨论讨论: 观察者接近波源时观察者接近波源时(vR 0): RS 观察者远离波源时观察者远离波源时(vR 0) ) RS 波源背离观察者运动波源背离观察者运动( (vS 0) RRSSuu vv说明说明: : 1) 若若S 和和 R 的运动不在二者连线上的运动不在二者连线上 RS S RvSvRRRRSSScoscosuu vvRRRSSSuuuTT vvv2) 机械波没有横向多普勒效应机械波没有横向多普勒效应. 3) vR, vS 均为相对于媒质的速度均为相对于媒质的速度. 此情况下，此情况下， S R (18.50)

40、 4) 若波源速度超过波速若波源速度超过波速(vSu)，将产生以，将产生以S为顶点的圆锥形的波为顶点的圆锥形的波.Ssinu v uSv 1SS波源速度超过波速时发出的波源速度超过波速时发出的一系列波和它们的锥形包络一系列波和它们的锥形包络实例：超音速飞机会在空气中激起冲击波实例：超音速飞机会在空气中激起冲击波(shock wave).后发出的波面将超越先发出的波面后发出的波面将超越先发出的波面,形成锥形波阵面形成锥形波阵面 冲击波（船舷波）冲击波（船舷波） 形成的锥叫形成的锥叫马赫锥马赫锥, 锥形的顶角为锥形的顶角为Suv 马赫数马赫数(Mach number) 多普勒超音速的子弹超音速的子

41、弹在空气中形成在空气中形成的激波的激波（马赫数为（马赫数为2 ） 电磁激波电磁激波切连科夫辐射切连科夫辐射 (Cherenkov radiation) 高能带电粒子在介质中的速度超过光在介质中的速度时高能带电粒子在介质中的速度超过光在介质中的速度时,将发生锥形的电磁波将发生锥形的电磁波切连柯夫辐射切连柯夫辐射. 它发光持续时间短它发光持续时间短(数量级数量级10 -10 s), 不易引起脉冲重叠不易引起脉冲重叠,可用来探测高能带电粒子可用来探测高能带电粒子,也可用来作起始脉冲和截止脉冲也可用来作起始脉冲和截止脉冲. 电磁波的多普勒效应电磁波的多普勒效应 特点：特点： 1）由光速不变原理只存在源

42、与探测器之间的）由光速不变原理只存在源与探测器之间的 相对速度相对速度 v 2 ) 既有纵向效应又有横向效应既有纵向效应又有横向效应221cos1cc vv R S R参照系参照系vv S, R 相对速度的绝对值相对速度的绝对值; ; c 光速光速1. 1. 纵向效应纵向效应 ( =0, )22cvcv 2. . 横向效应横向效应 ( =/2 ) 22cvc 横向效应的频移横向效应的频移( = - ) 纵向效应的频移纵向效应的频移三、多普勒效应的应用三、多普勒效应的应用(几例几例) 1. 测量天体相对地球的视线速度测量天体相对地球的视线速度 vv 恒星的可辨认的谱线有显著的恒星的可辨认的谱线有

43、显著的“红移红移”(red shift) (频率变频率变低低 波长变长波长变长). vv 由红移可得恒星的由红移可得恒星的退行速度退行速度(retreating velocity).根据根据“大爆炸大爆炸”(big bang)理论理论，现今已知的宇宙是约，现今已知的宇宙是约21010年前的一次年前的一次“大爆炸大爆炸” 形成的形成的. “爆炸爆炸”后的产物后的产物以不同速度飞散而以不同速度飞散而“膨胀膨胀”为宇宙，且在继续为宇宙，且在继续“膨胀膨胀”.2.光谱线的多普勒增宽光谱线的多普勒增宽(由发光原子的热运动引起由发光原子的热运动引起). 3. 技术上，多普勒效应可用于测量运动物体的技术上，

44、多普勒效应可用于测量运动物体的视线速度视线速度 (如测飞机接近雷达的速度，汽车的行驶速度，人造地球卫星如测飞机接近雷达的速度，汽车的行驶速度，人造地球卫星 的跟踪的跟踪)，以及流体的流速，以及流体的流速(如如“激光流速仪激光流速仪”的应用的应用).vv 医学上医学上“D超超”：利用超声波的多普勒效应检查人体的：利用超声波的多普勒效应检查人体的内内 脏、血管的运动和血液的流速、流量等情况脏、血管的运动和血液的流速、流量等情况. 例例1 1( (补补): ):利用多普勒效应监测汽车行驶的速度利用多普勒效应监测汽车行驶的速度. . 一固定波源发一固定波源发出频率为出频率为100Hz的超声波，当汽车迎着波源驶来时，与波源安的超声波，当汽车迎着波源驶来时，与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的超声波的频率为装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的超声波的频率为110Hz，已知空气中声速为，已知空气中声速为330m.s-1，求汽车行驶