电子科技大学概率论-c2-1-改ppt课件

1、2022-4-301随机变量的分布函数随机变量的分布函数 第第 二二 章章随随 机机 变变 量量 及及 其其 分分 布布2022-4-302随机变量的分布函数随机变量的分布函数 定义：设定义：设E E的样本空间为的样本空间为W W，对于每一个样本点，对于每一个样本点w Ww W，都有唯一实数，都有唯一实数X(w)X(w)与之对应与之对应, ,且对于任意实且对于任意实数数x x，事件，事件 w| X(w) x w| X(w) x 都有确定的概率，则称都有确定的概率，则称X(w) X(w) 为随机变量，简记为为随机变量，简记为X. X. 摸彩赌博摸彩赌博 2022-4-303随机变量的分布函数随机

2、变量的分布函数 注注:（1分布函数分布函数F( x )的函数值表示事件的函数值表示事件“随机点随机点X落在落在(, x 内的概率内的概率.OxxX （2） F( x )的改变量的改变量 DF = F( x +Dx) - F( x ) = Px X x +Dx 是事件是事件“随机点随机点X落在落在(x , x +Dx 内概率内概率.Oxxx+DxX2022-4-304随机变量的分布函数随机变量的分布函数 摸彩试验摸彩试验例如例如射击试验射击试验仪器寿命问题仪器寿命问题 随机变量的好处：随机变量的好处：(1)(1)将样本空间数值化、变量化将样本空间数值化、变量化( (但不同于通常变量但不同于通常变

3、量) )，(2)(2)可以完整地描述随机试验可以完整地描述随机试验, ,(3)(3)可以借用其它高数工具来解决随机问题可以借用其它高数工具来解决随机问题. .2022-4-305随机变量的分布函数随机变量的分布函数 分布函数的性质分布函数的性质:（1） F( x ) 为单调不降函数，为单调不降函数， 即若即若 x1 x2 ，则，则有有F( x1 ) F( x2 ) .（2） 0F( x ) 1，且，且limF( x ) = 0 , limF( x ) = 1 .x-x+（3） F( x ) 是右连续函数，是右连续函数， 即即F( x +0 ) = F( x ) . 分布函数的性质可以分布函数的

4、性质可以 用来确定某一函数是否为一用来确定某一函数是否为一个随机变量的分布函数，还可以用来求解分布函数个随机变量的分布函数，还可以用来求解分布函数.分布函数的确定分布函数的确定例如例如2022-4-306例例1 1 一个庄家在一个签袋中放有一个庄家在一个签袋中放有8 8个白、个白、8 8个黑的围棋子。个黑的围棋子。规定：每个摸彩者交一角钱作规定：每个摸彩者交一角钱作“手续费手续费”，然后从，然后从 一一个袋中摸出五个棋子个袋中摸出五个棋子, ,按下面按下面“摸子中彩表给摸子中彩表给“彩金彩金”。摸到摸到五个白五个白四个白四个白三个白三个白其它其它彩金彩金2元元1元元5角角共乐一次共乐一次解：用

5、解：用“i ”表示摸出的五个棋子中有表示摸出的五个棋子中有 i 个白子，则试验个白子，则试验的样本空间为的样本空间为W = 0，1，2，3，4，52022-4-307 用用Y (Y (单位单位: :元元) )表示赌徒摸一次得到的彩金，则表示赌徒摸一次得到的彩金，则有有Y ( i ) = 0，i = 0，1，2Y ( 3 ) = 0.5， Y ( 4 ) =1，Y ( 5 ) = 2 Y是定义在是定义在W上的随机变量，对于每一个上的随机变量，对于每一个 i ，都有，都有一个实数与之对应。一个实数与之对应。 并且并且 5001. 0 0128. 01282. 03589. 012 , 1 , 00

6、= =- - - -= = = =PYP0128. 05251658= = = = =CCPYP1282. 0415164818= = = = =CCCPYP3589. 035. 05163828= = = = =CCCPYP2022-4-308 对于任意实数对于任意实数x x，Y(w) x Y(w) x 实际表示一个随实际表示一个随机事件，从而有确定的概率。机事件，从而有确定的概率。例如例如1)(5= = =W WPYP9872. 00128. 014 , 3 , 2 , 1 , 02 . 1= =- -= = =PYP0)(5 . 0= = =- -PYPf f 总结：从本例中可看到，随机

7、变量总结：从本例中可看到，随机变量Y完整地描述完整地描述了试验的全过程，而不必对每一个事件进行重复讨论。了试验的全过程，而不必对每一个事件进行重复讨论。进一步，我们可以把高等数学工具用在对随机试验的进一步，我们可以把高等数学工具用在对随机试验的分析。分析。2022-4-309例例2.2.一袋中有依次标有一袋中有依次标有-1-1、2 2、2 2、2 2、3 3、3 3数字的六个数字的六个球，从中任取一球，试写出球上号码球，从中任取一球，试写出球上号码X X 的分布函数。的分布函数。解：由题意有解：由题意有313,212,61 1= = = = = =- -= =XPXPXP当当x -1时时,F(

8、x) = P Xx = P(f ) = 0。x-123xX2022-4-3010当当-1 x 2时时,F(x) = PXx = PX = - 1 = 1/6 。x-123xX当当2 x 3时时,F(x) = P Xx = PX = - 1 + PX = 2 =2/3 。x-123xX当当3 x 时时,F(x) = PXx = P W = 1 。x-123xX2022-4-3011综上所述综上所述,可得可得 - - - = =313232216110)(xxxxxFx1O-123F(x)1 这是一个右连续的单调不降阶梯函数，在不连续点这是一个右连续的单调不降阶梯函数，在不连续点处的阶跃值恰为处的

9、阶跃值恰为PX=k, k=-1,2,3。2022-4-3012例例3.3.一个靶子是半径为一个靶子是半径为2 2米的圆盘米的圆盘, ,设击中靶上任一同心设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用X X 表示弹着点与圆心的距离。试求表示弹着点与圆心的距离。试求X X 的分布函数。的分布函数。解：由题意有解：由题意有当当x 0时时, F(x) = P Xx = P( f ) = 0。当当x 2时时, F(x) = P Xx = P( W ) = 1。 当当0 x 2时时, 由题意知由题意知 P 0 Xx = k x2 其中其中

10、k为一常数。为一常数。Xx2022-4-3013 由题意可得由题意可得 1 = P 0 X 2 = 4 k k = 1 = P 0 X 2 = 4 k k = 。x1O2从而有从而有 F(x) = P Xx = P X0 + P 0 Xx =241x所以分布函数为所以分布函数为: 0 l 0 为一常数为一常数, ,试写试写出电子管的寿命出电子管的寿命T T 的分布函数。的分布函数。解：由题意解：由题意 当当t 0，由题设条件有，由题设条件有 P T t + Dt |T t = lDt + o(Dt ), F( t + Dt ) = PT t + Dt = PT t + Pt T t + Dt

11、从而有从而有 DF = F( t + Dt ) - F( t ) = Pt T t + Dt 2022-4-3015又因为又因为 t t T t t T t + Dt t + Dt DF = PT t PT t + Dt | T t =1 - F(t )lDt + o(Dt )求解方程得分布函数求解方程得分布函数. 0, 0; 0,e1)( - -= =- -tttFtl l令令 Dt 0时，得到关于函数时，得到关于函数F(t )的微分方程的微分方程= =- -= =0)0()(1 )(FtFdttdFl l2022-4-3016解：解：例例5.5.随机变量随机变量X X 的分布函数为的分布函数为xeex11xxF = =d;a)(dcxxbx+ + +ln 0FxFx= =- -