微分方程的简单总结

1、微分方程的简单总结姜秋.学号:PB08207234一、一阶线性方程1、定义 方程 （1）称为一阶线性微分方程。特点：关于未知函数及其导数是一次的。若，称（1）为齐次的； 若，称（1）为非齐次的。如：（1） （2）2、解法当时，方程（1）为可分离变量的微分方程。当时，先求其齐次方程的解再用常数变易法求其通解。 称为对应于（1）的齐次微分方程，其解为：利用常数变易法，用代替，即故得通解 ： 。  二、Bernoulli方程1、定义 称为贝努里方程。当时，为一阶线性微分方程。2、解法 两边同除得：令，则有 而 为一阶线性微分方程，故。贝努里方程的解题步骤：（1）  两端同除；（2

2、）   代换 ； （3）       解关于的线性微分方程；（4）       还原3.       利用变量代换解微分方程例 解方程 解 令 ，则 ，于是解得 ， 即 三二阶微分方程（一）：可降阶的二阶微分方程1：  y''=f(x)两次积分后就可以得到含两个独立任意常数（c1,c2）的微分方程的通解2：解y''=f(x,y'

3、)类方程可通过假设y'=p得y''=dp/dx,代入到原方程得dp/dx=f(x,p)化为一阶微分方程从而可求其通解。3：   y''=f(y,y')令y'=p,y''=p*(dp/dy)化为一阶微分方程p*(dp/dy)=f(y,p),之后再按一阶微分方程方法求通解。（二）：二阶非齐次线性微分方程 形如：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)二阶非齐次线性常系数微分方程的通解y=y1+y*(y1是对应齐次方程的通解,y* 是非齐次方程的一个特解)形如y'&

4、#39;+p(x)y'+q(x)y=0为二阶齐次线性常系数微分方程求二阶齐次线性常系数微分方程的通解的步骤:1)     写出特征方程r2+pr+q=02)     求出特征根3)     按下表得出微分方程的通解特征方程r2+pr+q=0微分方程y''+py'+qy=0通解两个不等的根r1r2y=c1er1x+c2er2x两个相等的根r1=r2y=(c1+c2x)er1x一对共轭复根r1,2=±iex

5、(c1cosx+c2sinx)二阶非齐次线性常系数微分方程形如y''+py'+qy=f(x)(p,q是常数)1)     先按照上面的方法解出对应的二阶齐次线性常系数微分方程的通解2)     下面设特解有两种方法(1)分别对各种情况进行假设(2)对各种情况的通用的设法(1). 1.f(x)=Pm(x)ex即多项式与ex(是常数) 不是特征根,则设y*=Qm(x)ex即m等于0 是单重特征根,则设y*=xQm(x)ex即m等于1 是双重特征根,则设y*=x2Qm(x)ex

6、即m等于2    特例:当等于0时,f(x)=Pm(x)ex化为f(x)=Pm(x),设为m重特征根则特解为y=xmQm(x)，其中Qm(x)与Pm(x)的次数相同。 当Pm(x)为常数A时,f(x)=Pm(x)ex化为f(x)=Aex,设特解为y*=Bxmex(k是与特征根相同的个数,不是特征根m=0,有一个特征根与相同时m=1,有两个相同时m=2).A和B都为常数.2.f(x)=ex（Acosx+Bsinx） 设方程的特解为y*=xm(acosx+bsinx)a,b是待求的常数,m是整数.当+i不是特征根r时,m=0,当+i是特征根r时,m=1(2):先将等式右边表示为等价的形如ex (cosx+sinx)的表达式，找到对应的,a,b(a,b是cosx和sinx前面表达式的系数,其中常数的次数是零).其次计算u=+i,m的值是u与1和2的值相等的个数，l是a,b中的最大值.再次根据方程y*=xKex(  Pl(x)cosx+Ql(x)sinx)，3)